Bài giảng Toán 10 (Kết nối tri thức) - Bài 11: Tích vô hướng của 2 vec tơ

 CHƯƠNG I
 TOÁN 10: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ 
1 GÓC GIỮA HAI VECTƠ
2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
3 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ
HĐ1. Trong hình 4.39 , số đo góc BAC cũng 
được gọi là số đo góc giữa vectơ và 푪 . 
Hãy tìm số đo các góc giữa 푪 và 푫, 푫 và
푫 . 
 푫
Cho hai vectơ 풖 và 풗 khác vec tơ . Từ một 푪
 Hình 4.39 
điểm A tuỳ ý , vẽ các vec tơ = 풖 và
 푪 = 풗 (H 4.40). Khi đó, số đo của góc BAC 
được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ 풖 và
풗 hay đơn giản là góc giữa hai vectơ 풖, 풗, kí 푪
hiệu là 풖, 풗 . 풖
 Hình 4.40 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Chú ý
•Quy ước rằng góc giữa hai vectơ 풖 và có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ ∘đến ∘.
•Nếu vectơ 풖, 풗 = ∘thì ta nói rằng 풖 và 풗 vuông góc với nhau, kí hiệu là 풖 ⊥ 풗 hoặc
풗 ⊥ 풖. 
• Đặc biệt vectơ được coi là vuông góc với mọi véctơ.
? Khi nào thì góc giữa hai vec tơ bằng ∘, bằng ∘?
Giải: 
• Góc giữa hai vec tơ bằng ∘khi hai vec tơ cùng hướng.
• Góc giữa hai vec tơ bằng ∘khi hai vec tơ ngược hướng. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
• Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A 
 và ෡ = ∘. 
Tính , 푪 , 푪 , 푪 , , 푪 . 
 푪
Giải ( H 4. 41) 
Ta có: , 푪 = 푪෣ = °,
 푪 , 푪 = 푪 ෣ = °, 푫
 , 푪 = 푫, 푪 = 푫 푪෣ = °. Hình 4.41 
Luyện tập 1. Cho tam giác đều ABC, tính
 , 푪 .
• Giải: Vẽ vectơ = ′. Ta có
 , 푪 = ′, 푪 = ෣′ 푪 = °. Đặt vấn đề
 S Trong chương trình vật lý 8, khi 
 lực tác dụng vào vật và làm vật di 
 chuyển thì lực sinh công.
 Công của lực F là: Công là một đại lượng vô hướng.
 A=F.S (Jun) Đặt vấn đề
 AFS= . .cos 
 S
 S TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1. Định nghĩa
 u. v= u . v .cos( u , v )
 v
 A
 u 
 u u. v= OAOB . .cos 
 v B
 O TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
• Trong Vật lí, nếu lực 푭không đổi tác dụng vào một vật và 
 điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ M tới N, thì công 
 A của lực 푭được tính theo công thức:
 = 푭 . 푴푵 . 풐풔 푭, 푴푵
• Trong đó 푭 là độ lớn của lực 푭 (theo đơn vị Newton);
• 푴푵 là độ dài của vectơ MN (theo đơn vị mét);
• 푭, 푴푵 góc giữa hai vec tơ 푭và 푴푵.
• Toán học gọi giá trị A (không kể đơn vị đo) trong biểu thức 
 nói trên là tích vô hướng của hai vec tơ 푭và 푴푵. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
• Tích vô hướng của hai vectơ 풖 và 풗 là một số , kí 
 hiệu là 풖. 풗, được xác định bởi công thức sau: 
 풖. 풗 = 풖 . 풗 . 풐풔 풖, 풗 .
? Khi nào tích vô hướng của hai vectơ 풖, 풗 là một số 
dương? Là một số âm? 
Giải: 
• Tích vô hướng của hai vectơ 풖, 풗 là một số dương 
 khi góc giữa hai vectơ đó là góc nhọn ( hoặc bằng 
 ∘).
• Tích vô hướng của hai vectơ 풖, 풗 là một số âm khi 
 góc giữa hai vectơ đó là góc tù
( hoặc bằng ∘). TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Chú ý 
• 풖 ⊥ 풗 ⇔ 풖. 풗 = .
• 풖. 풖 còn được viết là 풖 và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ 풖 .
Ta có 풖 = 풖 . 풖 . 풐풔 ∘ = 풖 .
? Khi nào thì 풖. 풗 = 풖 . 풗 ?
 풖, 풗 = ∘
• Giải: 풖. 풗 = 풖 . 풗 ⇔ ቈ
 풖, 풗 = ∘ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
• Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD có cạnh 
 bằng.Tính các tích vô hướng sau: 
 . 푫, . 푪, . 푫. 
• Giải: Vì . 푫 = ∘ nên . 푫 = .
Hình vuông có cạnh bằng nên có đường chéo là 
 . 
 푪
Mặt khác, , 푪 = ퟒ ∘, , 푫 = ∘, do đó 푫
 Hình 4.43 
 . 푪 = . 푪. 풐풔 ퟒ ∘ = . . = ; 
 Chú ý 
 Hình vuông có cạnh bằng a 
 . 푫 = . 푫. 풐풔 ∘
 nên đường chéo là 
 = . . − = − .
 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
• Luyện tập 2. Cho tam giác ABC có 
 푪 = , 푪 = , = .
Hãy tính . 푪 theo , , . 
• Giải: 
Từ định lí Cô sin trong tam giác ABC ,
suy ra 
 + − 
 풐풔 =
Ta có:
 . 푪 = 푪 풐풔 = . . 풐풔 
 + − + − 
 = . . = . 
 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
3. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
• HĐ2: Cho hai vectơ cùng phương 풖 = (풙; 풚) và 풗 = (풌 풙 ; 풌 풚). Hãy kiểm tra công thức
 풖. 풗 = 풌(풙 + 풚 ) theo từng trường hợp sau:
a) 풖 = ; b) 풖 ≠ và 풌 ≥ ; c) 풖 ≠ và 풌 < .
b) Giải: 
a) Khi 풖 = ; ta có 풖. 풗 = ; 풌 풙 + 풚 = . Vậy công thức đã cho đúng. 
b) Khi 풖 ≠ và 풌 ≥ thì công thức đã cho không đúng vì sẽ xảy ra trường hợp
풖. 풗 ≠ ; 풌 풙 + 풚 = . 
c) Khi 풖 ≠ và 풌 < thì công thức đã cho không đúng vì sẽ xảy ra trường hợp
풖. 풗 > ; 풌 풙 + 풚 < . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
• HĐ3: Trong mặt phẳng toạ độ Ox풚, cho hai vectơ 
 không cùng phương 풖 = (풙; 풚) và 풗 = (풙′; 풚′)
a) Xác định toạ độ của các điểm A và B sao cho 푶 =
풖, 푶 = 풗.
b) Tính , 푶 , 푶 theo toạ độ của A và B. 
c) Tính 푶 . 푶 theo toạ độ của A, B. 
Giải: a) Ta có 풙; 풚 , 풙′; 풚′ .
b) Ta có = = = . 
 ′ ′ 
 = 풙 − 풙 + 풚 − 풚 .
 푶 = 푶 = 푶 = 풖 = 풙 + 풚 .
 푶 = 푶 = 푶 = 풗 = 풙′ + 풚′ . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
• HĐ3: Trong mặt phẳng toạ độ Ox풚, cho hai vectơ không cùng phương 풖 = (풙; 풚) và 풗 = (풙′; 풚′)
a) Xác định toạ độ của các điểm A và B sao cho 푶 = 풖, 푶 = 풗.
b) Tính , 푶 , 푶 theo toạ độ của A và B. 
c) Tính 푶 . 푶 theo toạ độ của A, B. 
Giải: 
• Tích vô hướng của hai vectơ 풖 = (풙; 풚) và 풗 = (풙′; 풚′) được tính theo công thức:
• Nhận xét:
 •Hai vectơ 풖 và 풗 vuông góc với nhau khi và chỉ khi 풙풙′ + 풚풚′ = .
 •Bình phương vô hướng của vectơ 풖(풙; 풚) là 풖 = 풙 + 풚 . 
 풖.풗 풙풙′+풚풚′
 •Nếu 풖 ≠ và 풗 ≠ thì cos 풖, 풗 = = .
 풖 . 풗 풙 +풚 . 풙′ +풚′ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
• Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tính tích vô hướng của các cặp vectơ sau:
a) 풖 = ; − và 풗 = ; ;
b) Hai vec tơ đơn vị 풊Ԧ và 풋Ԧ tương ứng của các trục Ox, Oy. 
• Giải
a) Ta có: 풖. 풗 = . + (− ). = − = .
b) Vì 풊Ԧ = ( ; ) và 풋Ԧ = ( ; ) nên 풊Ԧ. 풋Ԧ = . + . = .
• Luyện tập 3. Tính tích vô hướng và góc giữa hai vec tơ 풖 = ( ; − ), 풗 = ; 
 풖.풗 − − 
• Giải: * cos 풖, 풗 = = = = −
 풖 . 풗 
Ta có: 풖. 풗 = . + − . + (− ) . ( ) + 
 = − = − . ⇒ 풖, 풗 = ∘. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
• HĐ4: Cho ba vectơ 풖 = (풙 ; 풚 ), 풗 = 풙 ; 풚 , 풘 = 풙 ; 풚 .
a) Tính 풖. (풗 + 풘), 풖. 풗 + 풖. 풘 theo toạ độ của các vectơ 풖, 풗, 풘.
b) So sánh 풖. (풗 + 풘) và 풖. 풗 + 풖. 풘.
c) So sánh 풖. 풗 và 풗. 풖.
• Giải:
a) Ta có 풗 + 풘 = 풙 + 풙 ; 풚 + 풚 . 
Suy ra: 풖. (풗 + 풘) = 풙 . 풙 + 풙 + 풚 풚 + 풚 .
b) Ta có 풖. 풗 + 풖. 풘 = 풙 풙 + 풚 풚 + 풙 풙 + 풚 풚 = 풙 풙 + 풙 + 풚 풚 + 풚 .
Suy ra: 풖. (풗 + 풘) = 풖. 풗 + 풖. 풘.
c)Ta có 풖. 풗 = 풙 풙 + 풚 풚 và 풗. 풖 = 풙 풙 + 풚 풚 . Suy ra: 풖. 풗 = 풗. 풖. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
3. Tính chất của tích vô hướng
• Với ba vectơ 풖, 풗, 풘 bất kì và mọi số thực • Chú ý: Từ các tính chất trên, ta có thể 
 k, ta có: chứng minh được:
• 풖. 풗 = 풗. 풖 (tính chất giao hoán); • 풖. 풗 − 풘 = 풖. 풗 − 풖. 풘 (tính chất phân 
 phối đối với phép trừ);
• 풖. 풗 + 풘 = 풖. 풗 + 풖. 풘 
 • 풖 + 풗 = 풖 + 풖. 풗 + 풗 ;
 (tính chất phân phối đối với phép cộng);
 • 풖 − 풗 = 풖 − 풖. 풗 + 풗 ;
• 풌풖 . 풗 = 풌 풖. 풗 = 풖. 풌풗 .
 • 풖 + 풗 . 풖 − 풗 = 풖 − 풗 . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
 Ví dụ 4. ( Ứng dụng của vectơ trong bài toán hình học)
Cho điểm M thay đổi trên đường tròn tâm O Do đó 풙 + 풙 + 풙푪 = và 풚 + 풚 + 풚푪 = . 
ngoại tiếp tam giác đều ABC cho trước. Chứng Vì 푶푴 = 푶 = 푹 nên 
minh rằng 푴 + 푴 + 푴푪 không đổi.
 풙 + 풚 = 풙 + 풚 = 푹 . 
 Lời giải Vậy 푴 = (풙 − 풙 ) + (풚 − 풚 )
 Cách 1: (Dùng tọa độ). = (풙 + 풚 ) + (풙 + 풚 ) − 풙풙 − 풚풚 
 Xét hệ trục tọa độ có gốc trùng với tâm O = 2R − 풙풙 − 풚풚 .
 của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tương tự 푴 = 푹 − 풙풙 − 풚풚 và 푴푪 =
 Gọi tọa độ của các điểm 푹 − 풙풙푪 − 풚풚푪.
 là Do đó 푴 + 푴 + 푴푪 =
 (풙 ; 풚 ) , ( 풙 ; 풚 ) , 푪( 풙 ; 풚 ) , 푴( 풙; 풚) . 
 푪 푪 = 푹 − 풙 풙 + 풙 + 풙푪 − 풚 풚 + 풚 + 풚푪
 Vì tam giác ABC đều nên tâm đường tròn 
 = 푹 (không đổi).
 ngoại tiếp 푶( ; ) đồng thời là trọng tâm của 
 tam giác.