Bài giảng Toán 10 (Kết nối tri thức) - Bài 9: Tích của 1 vectơ với 1 số

 CHƯƠNGCHƯƠNG IV .I VECTƠ
§7. Các khái niệm mở đầu
§8. Tổng và hiệu của hai vectơ
§9. Tích của một vectơ với một số
§10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ
§11. Tích vô hướng của hai vectơ
Bài tập cuối chương 4 CHƯƠNGCHƯƠNG IV .I VECTƠ
 9 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
1 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
 2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ
 3 BÀI TẬP 9 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Với mỗi cặp vật đặt trên hai đầu của một cánh 
tay đòn , luôn có duy nhất một điểm 푴 
thuộc để nếu đặt trụ đỡ tại 푴 thì cánh tay 
đòn ở trạng thái cân bằng (H.4.20). Điều trên 
còn đúng trong những trường hợp tổng quát 
hơn, chẳng hạn, cánh tay đòn được thay bởi 
một tấm ván hình đa giác 풏 đỉnh 
 , , . . . , 풏, tại mỗi đỉnh 풊 có đặt một vật 
năng 풊 (kg). Ở đây, ta coi cánh tay đòn, tấm 
ván là không có trọng lượng. Trong Vật lý, 
điểm 푴 như trên được gọi là điểm khối tâm 
của hệ chất điểm , , . . . , 풏 ứng với các 
khối lượng , , . . , 풏 (kg). 9 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
1. TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
 Giải:
 HĐ1: 
 Ta có ቊ + = + 푪 = 푪 
 Cho vectơ = . Hãy xác định điểm 푪 = 
sao cho 푪 = .
 Do đó, , 푪 cùng hướng và độ dài 
 Tìm mối quan hệ giữa và + . vectơ 푪 gấp đôi độ dài vectơ . 
Vectơ + có mối quan hệ như thế nào về Hay , + cùng hướng và độ dài 
hướng và độ dài đối với vectơ ? vectơ + gấp đôi độ dài vectơ .
 Do , 푪 cùng hướng và độ dài vectơ
 푪 gấp đôi độ dài vectơ . 
 Suy ra vectơ + cùng hướng với vectơ
 và độ dài của vectơ + gấp đôi độ dài 
 của vectơ . 9 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Tích của một vectơ ≠ với một số thực 
풌 > là một vectơ, kí hiệu là 풌 , cùng và có bằng nhau hay không?
hướng với và có độ dài bằng 풌 . 
 Giải:
 và có bằng nhau nên = 9 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
 Giải:
HĐ2: 
 Ta có vectơ 푶푴 cùng hướng với vectơ 
 và độ dài vectơ 푶푴 bằng lần độ dài 
Trên một trục số, gọi 푶, , 푴, 푵 tương 
 vectơ . Vectơ 푶푵 ngược hướng với vectơ 
ứng biểu thị các số ; ; ; − . Hãy 
nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của và độ dài vectơ 푶푵 bằng lần độ dài 
 vectơ . 
mỗi vectơ 푶푴, 푶푵 với vectơ = 푶 . 
Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa Ta có 푶푴 = 푶 
hai vectơ 푶푴 và 푶 . 
 Hình 4.22 9 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Tích của một vectơ ≠ với một số • Chú ý: Ta quy ước 풌 = nếu = 
 hoặc 풌 = .
thực 풌 < là một vectơ, kí hiệu là 풌 , 
ngược hướng với và có độ dài bằng
 −풌 . 
 Hình 4.24
 Trong Hình 4.24, hai trung tuyến 푴 và 푵 
 của tam giác 푪 cắt nhau tại 푮.
 Ta có 푮 = − 푮푴; 푴푵 = − . 
 9 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
• Nhận xét: Vectơ 풌 có độ dài 
 bằng 풌 và cùng hướng với nếu 
 풌 ≥ , ngược hướng nếu ≠ và 
 풌 < .
 − và − có mối quan hệ gì?
 Giải
 Vectơ − và − có cùng hướng và 
cùng độ dài 
 Nên − = − . 9 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
 Ví dụ 1.
Chứng minh rằng hai vectơ và , ≠ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số 풌 để
 = 풌 . 
 Giải
 Thật vậy, nếu = 풌 thì và cùng phương. Ngược lại, giả sử và cùng phương.
 Ta lấy 풌 = nếu và cùng hướng và lấy 풌 = − nếu và ngược hướng.
 Khi đó = 풌 . 9 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
 Luyện tập 1.
Cho đường thẳng 풅 đi qua hai điểm phân biệt và (H.4.25). Những khẳng định nào 
sau đây là đúng?
 a. Điểm 푴 thuộc đường thẳng 풅 khi và chỉ khi tồn tại số 풕 để 푴 = 풕 .
 푴
 b. Với điểm 푴 bất kì, ta luôn có 푴 = . .
 c. Điểm 푴 thuộc tia đối của tia khi và chỉ khi tồn tại số 풕 ≤ để 푴 = 풕 . 
 Giải
 Những khẳng định đúng là a); c). 9 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ
 HĐ3: 
Với 풖 ≠ và hai số thực 풌, 풕, những khẳng định nào sau đây là đúng?
 Hai vectơ 풌 풕풖 và 풌풕 풖 có cùng độ dài bằng 풌풕 풖 .
 Nếu 풌풕 ≥ thì cả hai vectơ 풌 풕풖 , 풌풕 풖 cùng hướng với 풖. 
 Nếu 풌풕 < thì cả hai vectơ 풌 풕풖 , 풌풕 풖 ngược hướng với 풖. 
 Giải
Những khẳng định đúng là a); b); c). 9 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
 2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ
 HĐ4: 
Hãy chỉ ra trên hình 4.26 hai vectơ 풖 + 풗 và 풖 + 풗. Từ đó, nêu mối 
quan hệ giữa 풖 + 풗 và 풖 + 풗.
 Giải Hình 4.26
 풖 + 풗 = 푶푴 = 푶푪
 Ta có: ൝
 풖 + 풗 = 푶 + 푶 = 푶푪
 ⇒ 풖 + 풗 = 풖 + 풗. 9 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Với hai vectơ , và hai số thực 풌, 풕, Ví dụ 2.
ta luôn có:
풌 풕 = 풌풕 ; Cho đoạn thẳng có trung điểm 푰. Chứng 
 minh rằng với điểm 푶 tùy ý, ta có: 
풌 + = 풌 + 풌 ; 푶 + 푶 = 푶푰. 
 Giải
풌 − = 풌 − 풌 ;
 Vì 푰 là trung điểm của nên
 풌 + 풕 = 풌 + 풕 ;
 푰 + 푰 = (Ví dụ 3a, Bài 8).
 = ; − = − . 
 Do đó 푶 + 푶 = 푶푰 + 푰 + 푶푰 + 푰 
 = 푶푰 + 푰 + 푰 = 푶푰. 9 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
 Luyện tập 2.
Cho tam giác 푪 có trọng tâm 푮. Chứng minh rằng với điểm 푶 tùy ý, 
 ta có 푶 + 푶 + 푶푪 = 푶푮. 
 Giải
푮 là trọng tâm tam giác 푪 khi và chỉ khi 푮 + 푮 + 푮푪 = (Ví dụ 3b, Bài 8).
 Ta có: 푶 + 푶 + 푶푪 = 푶푮 + 푮 + 푶푮 + 푮 + 푶푮 + 푮푪
 = 푶푮 + 푮 + 푮 + 푮푪 = 푶푮
• Nhận xét: 
• Điểm 푰 là trung điểm của đoạn thẳng khi và chỉ khi 푰 + 푰 = .
• Điểm 푮 là trọng tâm của tam giác 푪 khi và chỉ khi 푮 + 푮 + 푮푪 = . 9 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
 Luyện tập 3. • Chú ý: Cho hai vectơ không cùng 
 phương , (H.4.28). 
Trong hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vectơ
풖, 풗 theo hai vectơ , tức là tìm các số 
풙, 풚, 풛, 풕 để 풖 = 풙 + 풚 ,
 풗 = 풕 + 풛 .
Giải
 Hình 4.27 Khi đó, mọi vectơ 풖 đều biểu thị (phân tích) 
 được một cách duy nhất theo hai vectơ , , 
 풖 = + 
 Ta có: ൝ . nghĩa là có duy nhất cặp số 풙; 풚 sao cho
 풗 = − + 풖 = 풙 + 풚 . 9 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
 Ví dụ 3. Cho tam giác 푪. Hãy xác định điểm 푴 để 푴 + 푴 + 푴푪 = . 
• Lời giải 
• Đẳng thức vectơ đã cho tương đương với:
• 푴 + 푴 + + 푴 + 푪 = 
• ⇔ 푴 + + 푪 = 
• ⇔ 푴 = + 푪 
• Lấy điểm 푬 là trung điểm của và điểm 푭 thuộc 
 cạnh 푪 sao cho 푭 = 푪.
• Khi đó 푬 = và 푭 = 푪. Vì vậy 푴 = 푬 +
 푭.
• Suy ra 푴 là đỉnh thứ tư của hình bình hành 푬 푭푴. 9
 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Ta trở lại vấn đề đã được nêu trong phần đầu bài học. Điểm khối tâm 푴 của hệ các 
chất điểm , , . . . , 풏 với các khối lượng tương ứng , , . . . , 풏 được xác định 
bởi đẳng thức vectơ 
 푴 + 푴 +. . . + 풏푴 풏 = .
Vì vậy, việc xác định điểm khối tâm được quy về xác định điểm thỏa mãn đẳng thức 
vec tơ tương ứng. 9
 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ
 CÂU 1
 Trên đường thẳng 푴푵 lấy điểm 푷 sao cho 푴푵 = − 푴푷. Điểm 푷 được xác định 
 đúng trong hình vẽ nào sau đây?
A Hình 1. B Hình 2.
C Hình 3. D Hình 4.
 Bài giải
 Vì 푴푵 = − 푴푷 nên 푴 nằm giữa 푵, 푷 và 푴푵 = 푴푷.
 Chọn C 9
 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
 CÂU 2
 Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ bên:
 I B
 A
AA 3 + = 0 B 3 + = 0. C + 3 = 0 D + 3 = 0.
 Bài giải
 Vì nằm giữa 푰, và = 푰 nên 푰 + = .
 Chọn A 9
 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
 CÂU 3
 Cho đoạn thẳng và điểm I thỏa mãn 푰 + 푰 = . Hình nào sau 
 đây mô tả đúng giả thiết này?
A Hình 1. B Hình 2.
C Hình 3. D Hình 4.
 Bài giải
 Vì 푰 + 푰 = nên 푰 nằm giữa , và 푰 = 푰 .
 Chọn D