Bài giảng Toán 10 (Kết nối tri thức) - Chương IV: Vectơ - Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

 Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
 CHƯƠNGCHƯƠNG IV . IVECTƠ
 TOÁN HÌNH 
 10
 ➉HỌC VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
 1 TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ
 2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
 3 BÀI TẬP Hình 4.31. Ta có thể
 dùng một phần mặt
 phẳng tọa độ để mô tả
 một phạm vi nhất định
 trên Trái Đất mà vị trí
 x0 vĩ bắc, y0 kinh đông
từ vị trí có tọa độ (13,1;119,2) đến vị trí có tọa độ (14,3;116,3) của tâm ấp thấp được
 thể hiện bởi điểm có
 tọa độ (x;y). Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ
❑ HĐ1: Trên trục số 푶풙, gọi là điểm biểu diễn số và đặt 푶 = 풊Ԧ 푯. ퟒ. . 
 Gọi 푴 là điểm biểu diễn số , 푵 là điểm biểu diễn số − . Hãy biểu thị mỗi 
 vectơ 푶푴, 푶푵 theo vectơ 풊Ԧ.
➢ Đáp án:
• 푶푴 = 푶 = 풊Ԧ 푶푵 = − 푶 = − 풊Ԧ
❖ Trục toạ độ (còn gọi là trục, hay trục số ) là một đường thẳng mà trên đó 
 đã xác định một điểm 푶 và một vectơ 풊Ԧ có độ dài bằng 1. Điểm 푶 gọi là gốc 
 toạ độ, vectơ 풊Ԧ gọi là vectơ đơn vị của trục. Điểm 푴 trên trục biểu diễn số 
 풙 (hay có toạ độ 풙 ) nếu 푶푴 = 풙 풊Ԧ.
▪ Chú ý: Điểm gốc 푶 có tọa độ là . Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ
❑ HĐ2: Trong hình 4.33: ➢ Hướng dẫn:
a) Hãy biểu thị mỗi vectơ 푶푴, 푶푵 theo các vectơ 풊Ԧ, 풋Ԧ. a) Ta có:
b) Hãy biểu thị vectơ 푴푵 theo các vectơ 푶푴, 푶푵; từ • 푶푴 = 풊Ԧ + 풋Ԧ
đó biểu thị vectơ 푴푵 theo các vectơ 풊Ԧ, 풋Ԧ. • 푶푵 = − 풊Ԧ + 풋Ԧ
 2 b) Ta có:
 • 푴푵 = 푶푵 − 푶푴
 = − 풊Ԧ + 풋Ԧ − 풊Ԧ + 풋Ԧ
 = − 풊Ԧ − 풊Ԧ + 풋Ԧ − 풋Ԧ
 1 = − 풊Ԧ − 풋Ԧ
 Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ
❖ Với mỗi vectơ 풖 trên mặt phẳng 푶풙풚, có duy nhất 
cặp số 풙 ; 풚 sao cho 풖 = 풙 풊Ԧ + 풚 풋Ԧ. Ta nói vectơ 풖 
có tọa độ 풙 ; 풚 và viết 풖 = 풙 ; 풚 hay 풖 풙 ; 풚 .
Các số 풙 ; 풚 tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của 풖.
➢ Ví dụ 1:
   5
• 푶푴 = 풊Ԧ + 풋Ԧ =OM (3;5) ; 푶푵 = − 풊Ԧ + 풋Ԧ ON = −2;
 2
  5
• 푴푵 = − 풊Ԧ − 풋Ԧ MN = −5; −
 2
✓Nhận xét: Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có 
 풙 = 풙′
cùng tọa độ. 풖 풙; 풚 = 풗 풙′; 풚′ ⇔ ቊ
 풚 = 풚′. Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
❑ HĐ3: Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho 풖 = ; − , 풗 = ퟒ; , = ; − .
a) Hãy biểu thị mỗi vectơ 풖, 풗, theo các vectơ 풊Ԧ, 풋Ԧ.
b) Tìm tọa độ của các vectơ 풖 + 풗, ퟒ풖.
c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ 풖, .
➢ Hướng dẫn: 풖 = 풙 풊Ԧ + 풚 풋Ԧ ⇔ 풖 = 풙 ; 풚 
a) 풖 = ; − ⟹ 풖 = . 풊Ԧ − . 풋Ԧ ;
 풗 = ퟒ; ⟹ 풗 = ퟒ. 풊Ԧ + . 풋Ԧ ; 
 = ; − ⟹ = . 풊Ԧ − . 풋Ԧ
b) 풖 + 풗 = + ퟒ 풊Ԧ + − + 풋Ԧ = 풊Ԧ − 풋Ԧ ⟹ 풖 + 풗 = ; − 
 ퟒ풖 = ퟒ . 풊Ԧ − . 풋Ԧ = . 풊Ԧ − . 풋Ԧ ⟹ ퟒ풖 = ; − 
 
c) 풖 = ; − ; = ; − =−4( 2; 3) =au4 Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
❖ Cho hai vectơ 풖 = 풙; 풚 và 풗 = 풙′; 풚′ . Khi đó:
 • 풖 + 풗 = 풙 + 풙′; 풚 + 풚′ • 풖 − 풗 = 풙 − 풙′; 풚 − 풚′ • 풌풖 = 풌풙; 풌풚 với 풌 ∈ ℝ
 VD2: Cho = − ; và = ; − .
a) Tìm tọa độ vectơ + ; + . b) Hỏi , có cùng phương hay không?
➢ Hướng dẫn:
 ퟒ
a) Vì = − ; , = ; − nên + = − ; .
• Ta có = ; − nên + = ; .
b) Do + = = − nên hai vectơ , cùng phương.
✓ Nhận xét: Vectơ 풗 = 풙′; 풚′ cùng phương với vectơ 풖 = 풙; 풚 ≠ khi và chỉ 
 풙′ 풚′
 khi tồn tại số 풌 sao cho 풙′ = 풌풙, 풚′ = 풌풚 (hay là = nếu 풙풚 ≠ ).
 풙 풚 C Câu hỏi trắc nghiệm:
 CÂU 1
 Vectơ = −ퟒ; được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?
A = −ퟒ풊Ԧ + 풋Ԧ. B = −풊Ԧ + ퟒ풋Ԧ. C = −ퟒ풋Ԧ. D = −ퟒ풊Ԧ.
 Bài giải
 Chọn D
 Ta có : Ԧ = −4; 0 ⇒ Ԧ = −4푖Ԧ + 0푗Ԧ = −4푖Ԧ. III Câu hỏi trắc nghiệm:
 CÂU 4
 Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho = − ; , = ; − . Tọa độ của vec tơ − là
A ; − . B ퟒ; − . CC − ; . D − ; − ퟒ .
 Bài giải
 Chọn C
 Ta có: − = − − ; + = − ; . III Câu hỏi trắc nghiệm:
 CÂU 5
 Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho = ; , = − ; , = − ; − . Tọa độ của 
 풖 = + − ퟒ là
A ; − . B ; . CC ; . D − ; .
 Bài giải
 Chọn C
 Ta có: 풖 = + − ퟒ = . + . (− ) − ퟒ. (− ); . + . − ퟒ. (− ) = ; . III Câu hỏi trắc nghiệm:
 CÂU 7
 Cho = − ; , = ퟒ; 풙 . Hai vectơ và cùng phương nếu số 풙 là
A − . B ퟒ. C − . DD .
 Bài giải
 Chọn D
 , cùng phương ⇔∃ : Ԧ= Ԧ⇒ = .0=0 Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
❑ HĐ4: Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho điểm 
 푴 풙 ; 풚 . Gọi 푷, 푸 tương ứng là hình chiếu 
 vuông góc của điểm 푴 trên trục hoành 푶풙 và 
 trục tung 푶풚 푯. ퟒ. 
a) Trên trục 푶풙, điểm 푷 biểu diễn số nào? Biểu 
thị 푶푷 theo 풊Ԧ và tính độ dài của 푶푷 theo 풙 . Hình 4.35
b) Trên trục 푶풚, điểm 푸 biểu diễn số nào? Biểu ➢ Hướng dẫn:
 a)
thị 푶푸 theo 풋Ԧ và tính độ dài của 푶푸 theo 풚 .
c) Dựa vào hình chữ nhật 푶푷푴푸, tính độ dài • Điểm 푷 biểu diễn số 풙 .
 • 푶푷 = 풙 . 풊Ԧ
của 푶푴 theo 풙 , 풚 .
 • 푶푷 = 푶푷 = 풙 .
d) Biểu thị 푶푴 theo các vectơ đơn vị 풊Ԧ, 풋Ԧ. Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
❑ HĐ4: Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho điểm 
 푴 풙 ; 풚 . Gọi 푷, 푸 tương ứng là hình chiếu 
 vuông góc của điểm 푴 trên trục hoành 푶풙 và 
 trục tung 푶풚 푯. ퟒ. 
a) Trên trục 푶풙, điểm 푷 biểu diễn số nào? Biểu 
thị 푶푷 theo 풊Ԧ và tính độ dài của 푶푷 theo 풙 . Hình 4.35
b) Trên trục 푶풚, điểm 푸 biểu diễn số nào? Biểu ➢ Hướng dẫn:
 b)
thị 푶푸 theo 풋Ԧ và tính độ dài của 푶푸 theo 풚 .
c) Dựa vào hình chữ nhật 푶푷푴푸, tính độ dài • Điểm 푸 biểu diễn số 풚 .
 • 푶푸 = 풚 . 풋Ԧ
của 푶푴 theo 풙 , 풚 .
 • 푶푸 = 푶푸 = 풚 .
d) Biểu thị 푶푴 theo các vectơ đơn vị 풊Ԧ, 풋Ԧ. Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
❑ HĐ4: Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho điểm 
 푴 풙 ; 풚 . Gọi 푷, 푸 tương ứng là hình chiếu 
 vuông góc của điểm 푴 trên trục hoành 푶풙 và 
 trục tung 푶풚 푯. ퟒ. 
a) Trên trục 푶풙, điểm 푷 biểu diễn số nào? Biểu 
thị 푶푷 theo 풊Ԧ và tính độ dài của 푶푷 theo 풙 . Hình 4.35
b) Trên trục 푶풚, điểm 푸 biểu diễn số nào? Biểu ➢ Hướng dẫn:
 c) Độ dài của vectơ 푶푴
thị 푶푸 theo 풋Ԧ và tính độ dài của 푶푸 theo 풚 .
c) Dựa vào hình chữ nhật 푶푷푴푸, tính độ dài • 푶푴 = 푶푴
 = 푶푷 + 푶푸 
của 푶푴 theo 풙 , 풚 .
d) Biểu thị 푶푴 theo các vectơ đơn vị 풊Ԧ, 풋Ԧ. = 풙 + 풚 Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
❑ HĐ4: Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho điểm 
 푴 풙 ; 풚 . Gọi 푷, 푸 tương ứng là hình chiếu 
 vuông góc của điểm 푴 trên trục hoành 푶풙 và 
 trục tung 푶풚 푯. ퟒ. 
a) Trên trục 푶풙, điểm 푷 biểu diễn số nào? Biểu 
thị 푶푷 theo 풊Ԧ và tính độ dài của 푶푷 theo 풙 . Hình 4.35
b) Trên trục 푶풚, điểm 푸 biểu diễn số nào? Biểu ➢ Hướng dẫn:
 d)
thị 푶푸 theo 풋Ԧ và tính độ dài của 푶푸 theo 풚 .
c) Dựa vào hình chữ nhật 푶푷푴푸, tính độ dài • 푶푴 = 푶푷 + 푶푸
 = 풙 . 풊Ԧ + 풚 . 풋Ԧ
của 푶푴 theo 풙 , 풚 .
d) Biểu thị 푶푴 theo các vectơ đơn vị 풊Ԧ, 풋Ԧ. Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
❖ Nếu điểm 푴 có tọa độ 풙; 풚 thì vectơ 푶푴 có tọa độ 풙; 풚 và có độ dài 
 푶푴 = 풙 + 풚 .
➢ Chẳng hạn, cho 푴 ; ퟒ thì vectơ 푶푴 = ( ; ퟒ) và 푶푴 = + ퟒ = .
✓Nhận xét: 
• Với 풖 = 풙; 풚 , ta lấy điểm 푴 풙; 풚 thì 풖 = 푶푴. Do đó 풖 = 푶푴 = 풙 + 풚 .
➢ Chẳng hạn, vectơ 풖 = ; − có độ dài là 풖 = + − = . Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
❑ HĐ5: Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, ➢ Hướng dẫn:
 cho các điểm 푴 풙; 풚 và 푵 풙′; 풚′ . a) Ta có
a) Tìm tọa độ của các vectơ 푶푴, 푶푵. • 푴 풙; 풚 ⟹ 푶푴= 풙; 풚 .
b) Biểu thị vectơ 푴푵 theo các vectơ • 푵 풙′; 풚′ ⟹ 푶푵= 풙′; 풚′ .
푶푴, 푶푵 và tìm tọa độ của vectơ 푴푵. b) Ta có
c) Tìm độ dài của vectơ 푴푵. • 푴푵 = 푶푵 − 푶푴
 ⟹ 푴푵 = 풙′ − 풙; 풚′ − 풚 .
 c) Ta có
 • 푴푵 = 풙′ − 풙; 풚′ − 풚
 ⟹ 푴푵 = 풙′ − 풙 + 풚′ − 풚 . Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
❖ Với hai điểm 푴 풙; 풚 và 푵 풙′; 풚′ thì ➢ Hướng dẫn:
 푴푵 = 풙′ − 풙; 풚′ − 풚 và khoảng cách a) Ta có
 giữa hai điểm , là
 푴 푵 • = − ; − (− ) = ; ퟒ .
 푴푵 = 푴푵 = 풙′ − 풙 + 풚′ − 풚 .
 • 푪 = − ; ퟒ − = ퟒ; .
 Khoảng cách từ tới và 푪 là:
 VD3: Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, 
cho ba điểm ; − , ; , 푪 ; ퟒ . • = = + ퟒ = .
a) Tìm tọa độ của các vectơ , 푪. • 푪 = 푪 = ퟒ + = .
So sánh các khoảng cách từ tới và 푪. ⟹ = 푪.
b) Ba điểm , , 푪 thẳng hàng không? b) Hai vectơ = ; ퟒ , 푪 = ; 
 ퟒ
c) Tìm điểm 푫 풙; 풚 để 푪푫 là một hình không cùng phương (vì ≠ )
thoi. 
 Do đó , , 푪 không thẳng hàng.