Bài giảng Toán 10 (Kết nối tri thức) - Chương IV: Vectơ - Bài 7: Các khái niệm mở đầu

 CHƯƠNGCHƯƠNG IV I. VECTƠ
§7. Các khái niệm mở đầu
§8. Tổng và hiệu của hai vectơ
§9. Tích của một vectơ với một số
§10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ
§11. Tích vô hướng của hai vectơ
Bài tập cuối chương 4 CHƯƠNGCHƯƠNG IV .I VECTƠ
 7 CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
I KHÁI NIỆM VECTƠ
II HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU
3 THUẬT NGỮ KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
● Vectơ ● Nhận biết khái niệm vectơ, hai vectơ cùng phương, hai 
● Vectơ-không vectơ cùng hướng, hai vectơ bằng nhau, vectơ-không.
● Độ dài của vectơ
● Hai vectơ cùng phương ● Biểu thị một số đại lượng như lực, vận tốc bằng vectơ.
● Hai vectơ cùng hướng
● Hai vectơ bằng nhau Nhiệt độ và gió là hai yếu tố luôn cùng được
đề cập trong các bản tin dự báo thời tiết.
Tuy nhiên, nhiệt độ là đại lượng chỉ có độ
lớn, còn gió có cả hướng và độ lớn. Với một
đơn vị đo, ta có thể dùng số để biểu diễn
nhiệt độ. Đối với các đại lượng gồm hướng
và độ lớn như vận tốc gió thì sao? Ta có thể
dùng đối tượng toán học nào để biểu diễn
chúng? I KHÁI NIỆM VECTƠ
 .A 10 km
 N
 HĐ1: Một con tàu khỏi hành từ đảo , đi thẳng về 10 km
 hướng đông km rồi đi thẳng tiếp km về hướng 
 W E
 nam thì tới đảo (H.4.2). Nếu từ đảo , tàu đi thẳng 
 (không đổi hướng) tới đảo , thì phải đi theo hướng . B
 nào và quãng đường phải đi dài bao nhiêu kilômét? S Hình 4.2
 Bài giải
Nếu từ đảo , tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo , thì phải đi theo hướng đông nam và quãng 
đường phải đi là: = + = km .
Ta có thể gắn cho quãng đường thẳng từ đảo tới đảo đồng thời hai yếu tố, đó là độ dài và hướng 
(hướng đi thẳng từ đảo tới đảo ). Từ thực tế này, ta đi tới khái niệm toán học sau:
 ● Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là, trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ 
 điểm đầu, điểm cuối.
 ● Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
 Chú ý
 ● Vectơ có điểm đầu và điểm cuối được kí hiệu là , 
 đọc là vec tơ (H.4.3)
 ● Để vẽ một vectơ, ta vẽ đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm 
 cuối của nó, rồi đánh dấu mũi tên ở điểm cuối (H.4.3). 
 ● Vectơ còn được kí hiệu là , , 풙, 풚, . . . . (H.4.4).
 ● Độ dài của vectơ , tương ứng được
 kí hiệu là , . I KHÁI NIỆM VECTƠ
 Ví dụ 1.
 Cho hình vuông 푪푫 với cạnh có độ dài bằng 1. 
 Tính độ dài các vectơ 푪, 푪 , 푫
 Bài giải
 Vì cạnh của hình vuông 푪푫 có độ dài bằng 1 nên các 
 đường chéo của hình vuông này có độ dài bằng .
 Vậy 푪 = 푪 = , 푪 = 푪 = , 푫 = 푫 = .
 , 
 , 
 . I KHÁI NIỆM VECTƠ
 Luyện tập 1.
 Cho tam giác đều 푪 với cạnh có độ dài bằng . Hãy chỉ ra các vectơ có 
 độ dài bằng và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác 푪.
 Bài giải
 Các vectơ có độ dài bằng và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của 
 tam giác 푪 là: , 푪, 푪, , 푪 , 푪 .
 . II HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU
HĐ2: Quan sát các làn đường trong hình 4.5 và cho biết những nhận xét nào sau đây là đúng.
a) Các làn đường song song với nhau.
b) Các xe chạy theo cùng một hướng.
c) Hai xe bất kì đều chạy theo cùng một hướng hoặc
hai hướng ngược nhau.
Giải
a) Các làn đường song song với nhau là nhận xét đúng.
b) Các xe chạy theo cùng một hướng là nhận xét sai.
C) Hai xe bất kì đều chạy theo cùng một hướng hoặc
hai hướng ngược nhau là nhận xét đúng. II HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU
• Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một 
 vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
• Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá 
 song song hoặc trùng nhau.
 Trong cùng Hình 4.7, mỗi cặp vectơ trong các vectơ
 , , 풙, 풚, 풛 đều cùng phương,
 nhưng vectơ không cùng phương với mỗi
 vectơ trên. I
 HĐ3: Xét các vectơ cùng phương trong Hình 4.7. Hai 
 vectơ và được gọi là cùng hướng, còn hai vectơ và
 풙 được gọi là ngược hướng. 
 Hãy chỉ ra các vectơ cùng hướng với vectơ và các vectơ 
 ngược hướng với vectơ .
 Bài giải
 Các vectơ cùng hướng với vectơ là: 풚.
 các vectơ ngược hướng với vectơ là: 풙 , 풛 II HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU
 Đối với hai vectơ cùng phương thì chúng 
 cùng hướng hoặc ngược hướng.
 z
Hai vec tơ và được gọi là bằng nhau, kí hiệu =
 , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. II HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU
 Chú ý:
● Ta cũng xét các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng 
nhau (chẳng hạn , , 푴푴),
 gọi là các vectơ-không. A
 ● Ta quy ước vectơ-không có độ dài bằng 0, cùng
 hướng (do đó cùng phương) với mọi vectơ. 
 ●
● Các vectơ-không có cùng độ dài và cùng hướng nên
bằng nhau và được kí hiệu chung là . O
 Hình 4.8
● Với mỗi điểm 푶 và vectơ cho trước, có duy nhất
điểm sao cho 푶 = (H.4.8). I II HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU
 Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật 푪푫. Hãy chỉ ra mối quan hệ về độ dài, phương, hướng giữa
 các cặp vectơ: 푫 và 푪, và 푪푫, 푪 và 푫. 
 Những cặp vectơ nào trong các cặp vectơ trên là bằng nhau?
 Bài giải
 ● Hai vectơ 푫 và 푪 có cùng độ dài và cùng hướng. Do đó,
 hai vectơ 푫 và 푪 bằng nhau.
 ● Hai vectơ và 푪푫 có cùng độ dài và ngược hướng, Do đó, 
 hai vectơ và 푪푫 không bằng nhau.
 ● Hai vectơ 푪 và 푫 có cùng độ dài nhưng không cùng phương
 nên không cùng hướng. Do đó, hai vectơ 푪 và 푫 không bằng
 nhau.
Vậy trong các cặp vectơ đang xét,
chỉ có cặp vectơ 푫 và 푪 là bằng nhau 푫 = 푪 . HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU
Luyện tập 2. Cho hình thang cân 푪푫 với hai đáy 
 , 푪푫, < 푪푫 (H.4.10). Hãy chỉ ra mối quan hệ về độ dài, 
phương, hướng giữa các cặp vectơ 푫 và 푪, và 푪푫, 푪 và
 푫. Có cặp vectơ nào trong các cặp vectơ trên bằng nhau không?
 Lời giải:
• Hai vectơ 푫 và 푪 cùng độ dài nhưng không cùng phương.
• Hai vectơ và 푪푫 cùng phương nhưng ngược hướng và chúng có độ dài khác nhau.
• Hai vectơ 푪 và 푫 cùng độ dài nhưng không cùng phương.
Vậy trong các cặp vectơ trên không có cặp vectơ nào bằng nhau. Ví dụ 3. Chứng minh rằng ba điểm 퐀, 퐁, 퐂 thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ 퐀퐁 và 퐀퐂 
cùng phương.
 Lời giải:
• Giả sử ba điểm , , 푪 thẳng hàng. Khi đó chúng cùng thuộc một đường thẳng 풅. Vậy hai 
 vectơ , 푪 có cùng giá là đường thẳng 풅. Suy ra chúng cùng phương.
• Giả sử hai vectơ , 푪 cùng phương. Khi đó, chúng cùng giá hoặc có hai giá song song với 
 nhau. Mặt khác, giá của các vectơ trên đều đi qua điểm A nên chúng trùng nhau. Vậy , , 푪 
 thẳng hàng.
Nhận xét: Ba điểm , , 푪 thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ , 푪 cùng phương. Luyện tập 3. Trong các điều kiện dưới đây, chọn điều kiện cần và đủ để một điểm M 
nằm giữa hai điểm phân biệt và .
a) và 푴 ngược hướng. b) 푴 và 푴 cùng phương.
c) và 푴 cùng hướng. d) 푴 và 푴 ngược hướng.
 Lời giải:
a) Sai, do khi điểm 푴 nằm giữa hai điểm phân biệt và thì hai vectơ và 푴 cùng hướng.
b) Sai, do khi hai vectơ 푴 và 푴 cùng phương thì chỉ suy ra được ba điểm 푴, , thẳng 
hàng.
c) Sai, do khi hai vectơ và 푴 cùng hướng thì suy ra điểm 푴 nằm giữa hai điểm phân biệt 
và hoặc điểm nằm giữa hai và 푴.
d) Đúng. Do khi điểm 푴 nằm giữa hai điểm phân biệt và thì hai vectơ 푴 và 푴 ngược 
hướng. Và ngược lại, khi hai vectơ 푴 và 푴 ngược hướng thì suy ra ba điểm 푴, , thẳng 
hàng và điểm 푴 nằm giữa hai điểm phân biệt và . Chú ý: Ta có thể dùng vectơ để biểu diễn các đại lượng như lực, vận tốc, gia 
tốc. Hướng của vectơ chỉ hướng của đại lượng, độ dài của vectơ thể hiện cho 
độ lớn của đại lượng và được lấy tỉ lệ với độ lớn của đại lượng. Ví dụ 4. Một vật A được thả chìm hoàn toàn dưới đáy một cốc chất lỏng. Biết rằng trong 
ba cách biểu diễn lực đẩy Archimedes ( Ác-si-mét) 푭và trọng lực 푷 tác động lên vật A ở 
Hình 4.11 có một cách biểu diễn đúng.
Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa trọng lượng riêng của vật A và trọng lượng riêng của chất 
lỏng trong cốc.
 Lời giải:
Lực đẩy Archimedes và trọng lực đều tác động lên vật A theo phương thẳng đứng, hai lực này 
cùng phương nhưng ngược hướng. Do đó Hình 4.11a không đúng. Vật A chìm xuống đáy nên 
trọng lực P (có hướng từ trên xuống) lớn hơn lực đẩy Archimedes F (có hướng từ dưới lên). Do 
vậy, Hình 4.11c không đúng. Ví dụ 4. Một vật A được thả chìm hoàn toàn dưới đáy một cốc chất lỏng. Biết rằng trong ba cách 
biểu diễn lực đẩy Archimedes ( Ác-si-mét) 푭và trọng lực 푷 tác động lên vật A ở Hình 4.11 có một 
cách biểu diễn đúng.
Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa trọng lượng riêng của vật A và trọng lượng riêng của chất lỏng 
trong cốc.
 Lời giải:
Vậy hình biểu diễn đúng là Hình 4.11b. Theo đó, vectơ biểu diễn lực 푷 có độ dài gấp 3 lần độ dài của 
vectơ biểu diễn lực 푭. Độ lớn của trọng lực và lực đẩy Archimedes tác dụng lên A là: 푷 = 풅′. 푽, 푭 =
풅. 푽. Trong đó V (m3) là thể tích của vật A và 풅′, 풅(N/m3) tương ứng là trọng lượng riêng của vật A và của 
chất lỏng. Do 푷 = 푭 ( theo H.4.11b) nên 풅′ = 풅. Vậy trọng lượng riêng của vật A gấp 3 lần trọng 
lượng riêng của chất lỏng trong cốc.