Bài giảng Toán 10 (Kết nối tri thức) - Chương IV: Vectơ - Bài 8: Tổng và hiệu của 2 vectơ

 CHƯƠNGCHƯƠNG IV .I VECTƠ
§7. Các khái niệm mở đầu
§8. Tổng và hiệu của hai vectơ
§9. Tích của một vectơ với một số
§10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ
§11. Tích vô hướng của hai vectơ
Bài tập cuối chương 4 CHƯƠNGCHƯƠNG IV. IVECTƠ
 TOÁN HÌNH 
 ➉ 8 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
1 TỔNG CỦA HAI VECTƠ
2 HIỆU CỦA HAI VECTƠ
3 BÀI TẬP 8 8 TỔNGTỔNG VÀVÀ HIỆUHIỆU CỦACỦA HAIHAI VECTƠVECTƠ
Một con tàu chuyển động từ bờ bên này sang bờ bên kia của một dòng sông với vận tốc
riêng không đổi. Giả sử vận tốc dòng nước là không đổi và đáng kể, các yếu tố bên
ngoài khác không ảnh hưởng đến vận tốc thực tế của tàu. Nếu không quan tâm đến
điểm đến thì cần giữ lái cho tàu tạo với bờ sông một góc bao nhiêu để tàu sang bờ bên
kia được nhanh nhất? 8 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ
 HĐ1: Với hai vectơ và cho trước. Lấy một điểm tùy ý, vẽ
 = , 푪 = . Lấy điểm ′ khác và cũng vẽ các vectơ ′ ′ = ,
 ′푪′ = . Hỏi hai vectơ 푪 và ′푪′ có mối quan hệ gì?
 Lời giải
 Ta thấy hai vectơ 푪 và ′푪′ bằng nhau. 8 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ
• Cho hai vectơ và . Lấy một điểm tùy ý, 
 vẽ = , 푪 = (H4.13). Vectơ 푪 được
 gọi là tổng của hai vectơ và và được kí 
 hiệu là + 
• Phép lấy tổng của hai vec tơ được gọi là 
 phép cộng véc tơ. 8 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ
 HĐ2: Cho hình bình hành 푪푫. 
 Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ + 푫 và 푪.
 Lời giải
 Do 푪푫 là hình bình hành nên 푫 = 푪. 
 Suy ra + 푫 = + 푪 = 푪 .
 Vậy + 푫 = 푪. 8 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ
• Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì 
 , , 푪, ta có + 푪 = 푪.
• Quy tắc hình bình hành: Nếu 푪푫 là 
 một hình bình hành thì
 + 푫 = 푪. 8 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
 1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ
• HĐ3: a) Trong hình 4.14 a, hãy chỉ ra vectơ + và vectơ + 
 b) Trong hình 4.14 b, hãy chỉ ra vectơ + + và vectơ + + 
.
 Lời giải
 • Dựa vào hình 4.14 a ta có:
 + = + 푪 = 푪 ; + = 푫 + 푫푪 = 푪.
 • Dựa vào hình 4.14 b ta có:
 + + = + 푪 + 푪푫 = 푪 + 푪푫 = 푫
 + + = + 푪 + 푪푫 = + 푫 = 푫 8 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ
• Với ba vectơ , , tùy ý:
• Tính chất giao hoán: + = + 
• Tính chất kết hợp: + + = + + 
• Tính chất của vectơ – không: 
 + = + = 
• Chú ý. Do các vectơ + + và + + bằng nhau, nên ta còn viết chúng dưới 
 dạng + + và gọi là tổng của ba vectơ , , . Tương tự, ta cũng có thể viết tổng 
 của một số vectơ mà không cần dùng dấu ngoặc 8 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ
• Ví dụ 1. Cho hình vuông 푪푫 với độ dài cạnh bằng . Tính độ dài của các 
 vectơ + 푪 , + 푫푪 + 푫
 Lời giải
 Do = 푫푪 nên + 푪 = 푫푪 + 푪 = 푫 . 
 Vậy + 푪 = 푫 = 푫 = 
 Ta có + 푫푪 + 푫 = + 푫 + 푫푪 = 푫 + 푫푪 = 푪
 Do đó: + 푫푪 + 푫 = 푪 = 푪 = 8 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
 1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ
• Luyện tập 1. Cho hình thoi 푪푫 với cạnh có độ dài bằng và 푫෣ = °. 
 Tính độ dài của các vectơ 푪 + 푪푫, 푫 + 푪푫 + .
 Lời giải
 Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có 푪 + 푪푫 = 푪 
 Do hình thoi 푪푫 có 푫෣ = nên ∆ 푪 đều. 
 Vậy 푪 + 푪푫 = 푪 = 
 Ta có 푫 + 푪푫 + = 푪푫 + 푫 + 
 = 푪푫 + 푫 = 푪 .
 Do đó 푫 + 푪푫 + = 푪 = 8 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
2. HIỆU CỦA HAI VÉC TƠ
• HĐ4: Thế nào là hai lực cân bằng? Nếu dùng hai vectơ để biểu diễn hai lực 
 cân bằng thì hai vectơ này có mối liên hệ gì với nhau?
 Lời giải
 • Hai lực cân bằng là hai lực cùng đặt lên một vật, có cường độ bằng nhau, phương 
 nằm trên cùng một đường thẳng, ngược chiều nhau.
 • Nếu dùng hai vectơ để biểu diễn hai lực cân bằng thì hai vectơ đó có cùng điểm đầu, 
 ngược hướng và có cùng độ lớn. 
0
 8 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
 2. HIỆU CỦA HAI VÉC TƠ
 • Véc tơ đối của vectơ được kí hiệu là − .
 • Véc tơ được coi là vectơ đối của chính nó.
 • Véc tơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ được gọi là vectơ đối của vectơ .
 Chú ý. Hai vec tơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng 8 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
Vectơ + − được gọi là hiệu của hai vectơ và và được kí hiệu là − . Phép lấy 
hiệu hai vectơ được gọi là phép trừ vec tơ.
 Chú ý. Nếu + = thì − = + − = + + − = + = .
 Với ba điểm O, M, N tùy ý, ta có 푴푵 = 푴푶 + 푶푵 = −푶푴 + 푶푵 = 푶푵 − 푶푴.
 Quy tắc hiệu: Với ba điểm O, M, N, ta có 푴푵 = 푶푵 − 푶푴.
 Lời giải
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD và một 
 • Áp dụng quy tắc hiệu, 
điểm O bất kì. Chứng minh rằng
 ta có 푶 − 푶 = , 푶푪 − 푶푫 = 푫푪.
푶 − 푶 = 푶푪 − 푶푫. • Mặt khác = 푫푪 
 nên 푶 − 푶 = 푶푪 − 푶푫. 8 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
Ví dụ 3: Lời giải
• a) Chứng minh rằng nếu 푰 là trung điểm • a) (H4.15) Khi I là trung điểm của AB, thì 
 của thì 푰 + 푰 = . hai vec tơ 푰 và 푰 có cùng độ dài và 
• b) Chứng minh rằng nếu 푮 là trọng tâm ngược hướng.
 của tam giác ABC thì 푮 + 푮 + 푮푪 = .
 • Do đó, 푰 và 푰 đối nhau, suy ra
 푰 + 푰 = . 8 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
Ví dụ 3: Lời giải
• a) Chứng minh rằng nếu 푰 là trung điểm b) (H4.16) Trọng tâm G của tam giác ABC 
 thuộc trung tuyến AI và 푮 = 푮푰. Lấy 
 của thì 푰 + 푰 = .
 điểm D đối xứng với G qua I. 
• b) Chứng minh rằng nếu 푮 là trọng tâm 
 • Khi đó tứ giác 푮 푫푪 có hai đường chéo 
 của tam giác ABC thì 푮 + 푮 + 푮푪 = . cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó 
 là hình bình hành.
 • Ta có 푮 = 푮푰 = 푮푫.
 • Hai vec tơ 푮 và 푮푫 có cùng độ dài và 
 ngược hướng nên chúng là hai vec tơ đối 
 nhau, do đó 푮 + 푮푫 = .
 • Trong hình bình hành 푮 푫푪, ta có 
 푮 + 푮푪 = 푮푫.
 • Vậy 푮 + 푮 + 푮푪 = . 8 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
Luyện tập 2. Lời giải
Cho tứ giác 푪푫. Gọi 푴, 푵 lần • Ta có 푶 + 푶 + 푶푪 + 푶푫 = 
lượt là trung điểm của các cạnh 
 • 푶푴 + 푴 + 푶푴 + 푴 + 푶푵 + 푵푪 + 푶푵 + 푵푫
 , 푪푫 và O là trung điểm của 푴푵. 
Chứng minh rằng = 푶푴 + 푶푵 + 푴 + 푴 + 푶푴 + 푶푵 +
 푶 + 푶 + 푶푪 + 푶푫 = . 푵푪 + 푵푫 = Chú ý: 
Phép cộng vec tơ tương ứng với các quy tắc tổng hợp lực, tổng hợp vận tốc.
• Nếu hai lực cùng tác động vào chất điểm và 
 được biểu diễn bởi các vectơ 풖 , 풖 thì hợp lực 
 tác dộng vào được biễu diễn bởi vectơ 풖 + 풖 .
• Nếu một con thuyền di chuyển trên sông với vận 
 tốc riêng (vận tốc so với dòng nước) được biễu 
 diễn bởi vectơ 풗풓 và vận tốc của dòng nước (so 
 với bờ) biễu diễn bởi vectơ 풗풏 thì vận tốc thực tế 
 của thuyền (so với bờ) được biểu diễn bởi vec tơ
 풗풓 + 풗풏. Ví dụ 4: Lời giải
 Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng 
Cho tứ giác 푪푫. Gọi 푴, 푵 lần lượt là 
 song song 풅 , 풅 (H 4.17) 
trung điểm của các cạnh , 푪푫 và O là 
 Giả sử tàu xuất phát từ ∈ 풅 và bánh lái , 
trung điểm của 푴푵. Chứng minh rằng luôn được giữ để tàu tạo với bờ góc 휶. Gọi
 풗풓 và 풗풏 lần lượt là vectơ vận tốc riêng của 
푶 + 푶 + 푶푪 + 푶푫 = . tàu và vận tốc dòng nước. Gọi 푴, 푵 là các 
 điểm sao cho 풗풓 = 푴 và 풗풏 = 푴푵.
 • Khi đó tàu chuyển chuyển động với vec tơ 
 vận tốc thực tế là 풗 = 풗풓 + 풗풏 = 푴 +
 푴푵 = 푵
 • Gọi , 푪 tương ứng là giao điểm của 
 푵, 푴 với 풅 . Tàu chuyền động thẳng từ 
 đến với vận tốc thực tế 푵, do đó thời 
 gian cần thiết kế để tàu sang được bờ 풅 là
 푪
 = .
 푵 푴 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
Ví dụ 4:
 푪
 • Mặt khác 푴 = 풗풓 không đổi nên 
Cho tứ giác 푪푫. Gọi 푴, 푵 lần lượt là 푴
 nhỏ nhất ⇔ 푪 nhỏ nhất ⇔ 푪 ⊥ 풅 ⇔
trung điểm của các cạnh , 푪푫 và O là 
 푴 ⊥ 풅 .
trung điểm của 푴푵. Chứng minh rằng 
푶 + 푶 + 푶푪 + 푶푫 = . • Vậy để tàu sang được bờ bên kia nhanh 
 nhất, ta cần giữ bánh lái để tàu luôn vuông 
 góc với bờ.