Bài tập ôn tập môn Toán Lớp 10 - Phương trình, hệ phương trình

 TrungKhuenb
 HỆ PHƯƠNG TRèNH
A – Hệ đối xứng loại I:
I. Phương phỏp:
+ Nhận dạng: Cỏc pt của hệ khụng thay đổi nếu ta thay x bởi y, y bởi x
+ Phương phỏp:
 S x y 2
Đặt : Tỡm được S,P thỡ x,y là nghiệm của hpt: t St P 0
 P xy
II. Hệ pt khụng chứa tham số:
 x y xy 14
Vớ dụ: Giải hệ pt :
 2 2
 x y xy 84
Giải
Đk: xy 0
 2
 x y xy 14 xy 196 28 x y x y 
Ta cú 
 2 2 2
 x y xy 84 x y xy 84
 S x y S 2 28S 196 P
Đặt: 
 2
 P xy S P 84
 x 8
 y 2
 S 10 2 
 x,y là nghiệm của hpt: t 10t 16 0 
 P 16 x 2
 y 8
Bài tập: 
 Giải hệ pt :
 xy x2 y2 1 x2 y2 160
1) 2) 
 x xy y 3 3(x y) xy
 x2 y2 x y 102 x2 y2 58
3) 4) 
 x xy y 69 x y 10
 x2 y2 28 x2 y2 164
5) 6) 
 xy 4 x y 2
 x2 y2 x y 8 x2 y2 3(x y) 28
7) 8) 
 x xy y 5 x xy y 11
 x2 y2 xy 2(x y) 31 x y x2 y2 4
9) 10) 
 x xy y 11 x(x y 1) y(y 1) 2 TrungKhuenb
 x y
 a
 y x
 x y 8
6. Cho hệ pt :
 x2 y2 m
 x y 6
a) Giải hệ pt với m = 26 
b) Xỏc định m để hệ vụ nghiệm.
c) Xỏc định m để hệ cú nghiệm duy nhất
d) Xỏc định m để hệ cú 2 nghiệm phõn biệt
7. Cho hệ pt :
 x2 y2 2(m 1)
 2
 (x y) 4
a) Giải hệ pt với m = 1
b) Xỏc định m để hệ cú đỳng 2 nghiệm
8. Cho hệ pt :
 x2 y2 a2 2
 x y 2a 3
Nghiệm của hpt là x; y . Xỏc đinh a để tớch xy nhỏ nhất
9. Cho hệ pt :
 (x 1)(y 1) m 4
 xy(x y) 3m
a) Xỏc định m để hệ cú nghiệm
b) Xỏc định m để hệ cú 4 nghiệm phõn biệt
10. Cho hệ pt :
 xy(x y) m2 m
 x xy y 2m 1
 Xỏc định m để hệ cú nghiệm duy nhất
 2 2
 x y 2(m 1)
11. Tỡm m để hệ sau cú 2 nghiệm : 2
 x y 4
 x y xy 2m 1
12. Tỡm m để hệ sau cú 4 nghiệm (*)
 2 2 2
 x y xy m m
 ùỡ x2 + y2 + z2 = 8
13. Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trỡnh : ớù . 
 ù xy + yz + zx = 4
 ợù
 8 8
Chứng minh - Ê x, y,z Ê .
 3 3 TrungKhuenb
+ Vậy nghiệm của hệ là cỏc cặp nghiệm (0;0), 5; 5 , 5; 5 , (1;1), ( 1; 1)
Bài tập:
1. Giải hệ pt 
 x2 2y2 2x y 2x2 xy 3x
a) b) 
 2 2 2
 y 2x 2y x 2y xy 3y
 2y 1 y2
 x 2 x 2
 1 y 1 y
c) d) 
 2x 1 x2
 y y 
 1 x2 1 x2
 3
 2x y 0
 x2
e) 
 3
 2y x 2 0
 y
 2x2 3x y2 2
2. (ĐHQG Khối B – 2000). Giải hệ pt : 
 2 2
 2y 3y x 2
 y
 x 3y 4
 x
3. (ĐHQG Khối A – 1997). Giải hệ pt : 
 x
 y 3x 4
 y
 y2 2
 3y 2
 x
4. (2003-B) Giải hệ pt : 2
 x 2
 3x 2
 y
III. Hệ pt chứa tham số:
 2x y 1 m
Vớ dụ: Tỡm m để hệ phương trỡnh: cú ớt nhất 1 nghiệm
 2y x 1 m
Giải: ĐK: x 0, y 0
 2x y 1 m 2(x 1) y 1 m 2
+ Ta cú: (1) 
 2y x 1 m 2(y 1) x 1 m 2
+ Đặt a x 1 >0, b y 1 >0
 2(x 1) y 1 m 2 2a2 b m 2
+ 
 2
 2(y 1) x 1 m 2 2b a m 2 TrungKhuenb
 x y2 y m
4. Cho hệ pt : 
 2
 y x x m
a) Giải hệ pt với m = 0 
b) Xỏc định m để hệ cú nghiệm.
c) Xỏc định m để hệ cú nghiệm duy nhất
 x2 2xy mx y
5. Giải và biện luận hệ pt 
 2
 y 2xy my x
 x(3 4y2 ) m(3 4m2 )
6. Cho hệ pt : 
 2 2
 y(3 4x ) m(3 4m )
a) Giải hệ pt với m = 0 
b) Xỏc định m để hệ cú nghiệm.
c) Xỏc định m để hệ cú nghiệm duy nhất
 x2 (m 2)x my
7. Cho hệ pt : Xỏc định m để hệ cú 2 nghiệm phõn biệt
 2
 y (m 2)y mx
 x3 y2 7x2 mx
8. Cho hệ pt : Xỏc định m để hệ cú nghiệm duy nhất
 3 2 2
 y x 7y my
C – Hệ pt đối xứng kộp:
I. Phương phỏp:
+ Nhận dạng: Hệ khụng thay đổi nếu ta thay x bởi x , y bởi y
+ Phương phỏp:
Bài toỏn: Tỡm m để hệ cú nghiệm duy nhất
 a x b y m
 (1) a,b 0 
 a y b x m
Giải:
+ Điều kiện cần:
 Thấy rằng x0 ; y0 là nghiệm của hệ thỡ 
 y0 ;x0 , (b a x0 ;b a y0 ) , (b a y0 ;b a x0 ) cũng là nghiệm.
 b a
 Để hệ cú nghiệm duy nhất thỡ x y b a x x y 
 0 0 0 0 0 2
 Thay vào hệ được m 2(a b)
+ Điều kiện đủ:
 a x b y 2(a b)
 Với m 2(a b) (1) 
 a y b x 2(a b)
Cộng vế theo vế ta cú a x b x a y b y 2 2(a b) TrungKhuenb
 7 x 11 y 4 m 4 3 10 3m
4) 
 7 y 11 x 4 m 4 3 10 3m
D – Hệ pt đẳng cấp:
I. Phương phỏp:
 2 2
 a1x b1xy c1 y d1
+ Nhận dạng: Hệ pt đẳng cấp cú dạng 
 2 2
 a 2x b2 xy c2 y d2
+ Phương phỏp:
Cỏch 1: Thực hiện cỏc bước sau:
B1: Khử số hạng tự do để dẫn tới pt: 
 Ax2 Bxy Cy2 0 (3)
B2: Đặt x = ty, khi đú:
 (3) y2 (At 2 Bt C) 0
+ Xột y 0 thay vào hệ
 2
+ Xột At Bt C 0 , nếu cú nghiệm t0 thỡ thế x t0 y vào hệ với một ẩn y
Cỏch 2: Thực hiện cỏc bước sau:
B1: Khử số hạng x2 (hoặc y2) dẫn tới pt khuyết x2 (hoặc y2), giả sử:
 Dx2 F
 Dx2 Exy Fy2 0 y (4)
 Ex
B2: Thế (4) vào một pt của hệ ta được pt trựng phương ẩn x
Cỏch 3:
B1: Xột x 0 cú phải là nghiệm của hệ
B2: Xột x 0 , Chia pt trờn cho pt dưới, đặt x2 làm nhõn tử chung 
 2
 y y 
 a b c
 2 2 1 1 1 
 2 2 a1x b1xy c1 y d1 x x d1
 a1x b1xy c1 y d1 2 2 2 (1)
 a x b xy c y d d
 2 2 2 2 2 2 y y 2
 a x b xy c y d a2 b2 c2 
 2 2 2 2 a x2 b xy c y2 d x x 
 2 2 2 2 
 2 2
 a2 x b2 xy c2 y d2 (2)
 y
Đặt t Khi đú (1) Đưa về pt bậc hai theo t , nếu cú nghiệm t thỡ thế y t x vào hệ 
 x 0 0
với một ẩn y
II. Hệ pt khụng chứa tham số:
Vớ dụ:
 2x2 3xy y2 4
Giải hệ phương trỡnh : 
 2 2
 x xy 3y 3
Giải: x 0 khụng phải là nghiệm TrungKhuenb
 x2 3xy y2 m 4 6 4x2
 4x2 2xy 6 y 
 2 2
 3x xy y 2 m 2x
 2 2 2
 2 6 4x 6 4x 4 2
 3x x. 2 m x (7 m)x 9
 2x 2x 
 0
Đặt t x2 t 2 (7 m)t 9 0 để hệ cú 4 nghiệm phõn biệt thỡ S 0
 P 0
Vỡ P 9 0 nờn khụng cú giỏ trị m để hệ cú 4 nghiệm phõn biệt
Bài tập:
1. (ĐHAN Khối A – 2000). Tỡm a để hệ sau cú nghiệm:
 2 2
 x 3y 2xy 8
 2 2 4 3 2
 2x 4xy 5y a 4a 4a 12 105
 x2 4y2 17
2. Giải và biện luận hệ pt 
 2 2
 x xy 4y m
3. Giải và biện luận hệ pt 
 x2 xy 2 y2 2xy 3
a) b) 
 2 2 2 2
 2x 4xy 2y m x xy y m
E – Giải hệ pt bằng phương phỏp biến đổi tương đương:
I. Vớ dụ:
 1
 x y y x (1)
Giải hệ pt: 2 , 
 x y x 3 y (2)
Giải:
ĐK: x 0, y 0
+ x y 0 là 1 nghiệm của hệ
 x y x
+ x, y 0 (1):(2) 6xy 6y2 x2 xy
 x y 6y
 x
 2 2 (3)
 2 2 x x y
 x 6y 5xy 0 5 6 0 
 y y x
 3 (4)
 y
 1
(3) x 2y 3y 2y 3 y y x 2
 2
 3 3 3
(4) x 3y 4y 3y 3 y y x 
 4 4 TrungKhuenb
 x 4 10
 1 1 1 
 x 1 x 1 7 y 1 y 3 10
(1) y y y (2)
 x y 7 x 7 y x 4 10
 x y 3 2 
 y 3 10
 3 10
 x 
 2
 5 10
 1 1 1 y 
 x 2 x 4 4 y 4 2
 y y y 
 x y 4 x 4 y 5 10
 x y 3 1 x 
 2
 3 10
 y 
 2
 5 10 3 10
 x x 
 x 4 10 x 4 10 2 2
Vậy nghiệm của hệ pt là ; ; ; 
 y 3 10 y 3 10 3 10 5 10
 y y 
 2 2
II. Bài tập:
 x2 y2 3x 4y 1
1. (ĐHSP Hà Nội II – 1999). Giải hệ pt 
 2 2
 3x 2y 9x 8y 3
 y xy2 6x2
2. (ĐHSP Khối A – 2000). Giải hệ pt 
 2 2 2
 1 x y 5x
3. Giải hệ pt 
 5(y 2) 9(x 3) 100(x 3)(y 2) 2y(x2 y2 ) 3x
a) b) 
 2 2
 3(y 2) 7(x 3) 308(x 3)(y 2) x(x y ) 10y
 (2x y)2 5(4x2 y2 ) 6(2x y)2 0
c) 1
 2x y 3
 2x y
2. Giải cỏc hệ phương trỡnh 
 5
 3 x 3 y 6 xy 3 x y x y
a) 2 b) 
 3 x y x y 4
 x y 10 
 3 2 3 2
 2 x y 3 x y y x 
c) 
 3
 x 3 y 6 TrungKhuenb
 - Thế giỏ trị x0 0 vào hệ ta được giỏ trị của tham số
 + Chẵn với y: 
 - Hệ cú nghiệm x0 ; y0 thỡ cũng cú nghiệm x0 ; y0 
 - Hệ cú nghiệm duy nhất khi y0 0
 - Thế giỏ trị y0 0 vào hệ ta được giỏ trị của tham số
 + Chẵn với y: 
 - Hệ cú nghiệm x0 ; y0 thỡ cũng cú nghiệm x0 ; y0 
 - Hệ cú nghiệm duy nhất khi x0 y0 0
 - Thế giỏ trị x0 y0 0 vào hệ ta được giỏ trị của tham số
B2: Điều kiện dủ
 Thế giỏ trị của tham số vào hệ , giải hệ loại những giỏ trị của tham số khụng thỏa món
Vớ dụ:
 3x a y2 1 1
Tỡm a để hệ cú nghiệm duy nhất 1
 x y a2
 2
 y y 1
Giải
 2
 1 2 3x a y 1 1
Ta thấy y 1 y . Nờn (1) 
 2 2 2
 y y 1 x y 1 a
+ Điều kiện cần: Nếu hệ cú nghiệm x0 ; y0 thỡ cũng cú nghiệm x0 ; y0 
Để hệ cú nghiệm duy nhất thỡ y0 0
 a 1
 3x a 1
 2 
Thay vào hệ ta cú 2 3a a 4 0 4
 x 1 a a 
 3
+ Điều kiện đủ:
 2
 3x y 1 1 x 0
 Với a 1 (1) 
 2 y 0
 x y 1 1 
 4
 3x y2 1 1 7
 4 3 x 
 Với a (1) 9
 3 2 16
 x y 1 y 0
 9
Bài tập:
 2
 x 3 y a
1) Tỡm a để hệ cú nghiệm duy nhất 
 2 2
 y 5 x x 5 3 a Trungkhue
 PHẦN II: BẤT PHƯƠNG TRèNH
A – Bất phương trỡnh đa thức:
I – Phương phỏp:
 + Biến đổi về việc xột dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai
 + Đặt ẩn phụ
II – Vớ dụ:
  Biến đổi về việc xột dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai
 Giải bất phương trỡnh : x4 3x3 x2 3x 2 0
 Giải:
 x4 3x3 x2 3x 2 0
 x 1 x3 2x2 x 2 0 x 1 2 x2 x 2 0
 x 1 2 x 1 x 2 0 x ; 12;  1
  Đặt ẩn phụ
 Giải bất phương trỡnh : x4 4x3 2x2 4x 8 0
 Giải:
 x4 4x3 2x2 4x 8 0
 2
 x2 2x 2 x2 2x 8 0
 Đặt t x2 2x
 t 2t 8 0
 t ; 2  4; 
 x2 2x 2 (vn)
 x2 2x 4 x ;1 5  1 5; 
III – Bài tập:
  Biến đổi về việc xột dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai
 Giải bất phương trỡnh :
 a) 3x 2 3 x 1 3 20x2 30x b) x4 x2 4x 3
 c) x4 2x3 x2 2x 2 0
  Đặt ẩn phụ
 Giải bất phương trỡnh :
 a) 3x2 x 4 2 32 5 x 2 2 b) x4 x3 10x2 2x 4 0
 2
 c) x 1 4 2 1 x4 d) x2 4x 10 7 x2 4x 11 7 0 Trungkhue
I – Phương phỏp:
 + Biến đổi về cỏc bpt đơn giản, xột dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai
 + Nhõn lượng liờn hợp
 + Đặt ẩn phụ
 + Phương phỏp hàm số
II – Vớ dụ:
  Biến đổi về cỏc bất phương trỡnh đơn giản , xột dấu nhị thức bậc nhất và 
 tam thức bậc hai
 1 x 1 x 1
 Giải bất phương trỡnh : x 
 x x x
 Giải:
 ĐK: x  1;0 1; 
 1 x 1 x 1 (x 1)(x 1) x 1 x 1
 Ta cú x 
 x x x x x x
 x 1
 0
 x 1 x 1 x
 x 1 1 0 
 x x x 1
 x 1 1 0
 x
 x 1 x 1 x 1
 0 0 0
 x x x
 2
 x 1 x2 1 1 1 1 
 x 1 0
 x 1 2 1 x 2 x 1 0 
 x x x x x 
 Hệ bất phương trỡnh thoả x  1;0  1; 
 Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh là x  1;0  1; 
  Nhõn lượng liờn hợp
 10x
 Giải bất phương trỡnh : x 3
 8x 1 3x 1
 Giải:
 1
 ĐK: x 
 8
 10x 8x 1 3x 1 10x
 x 3 x 3
 8x 1 3x 1 8x 1 (3x 1)
 2 8x 1 3x 1 x 3 4 15x 2 2 (8x 1)(3x 1) x 3 Trungkhue
 2001
 BPT 3 3x 1 2x 4 x 3
 304
 2001
 Đặt f (x) 3 3x 1 2x 4 x
 304
 Nhận thấy: f(x) là hàm đồng biến; f(0)=3
 Suy ra: x 0 : f (x) f (0) 3
 Vậy nghiệm của BPT đó cho là: 2 x 0
III – Bài tập:
  Biến đổi về cỏc bất phương trỡnh đơn giản, xột dấu nhị thức bậc nhất và tam 
 thức bậc hai
 Giải bất phương trỡnh :
 2x
 a) 2x2 5x 3 1 x2 x 2 x b) 2x 2
 2x 1 1
 1 1
 c) x x x ... x x 5 d) x 1 2(x2 1)
 2 4
 e) 2x 5 x2 4x 3 f) x2 3x 2 x2 4x 3 2 x2 5x 4
 2(x2 16) 7 x
 g) (x2 3x) 2x2 3x 2 0 h) x 3 
 x 3 x 3
 i) 5x 1 x 1 2x 4
  Nhõn lượng liờn hợp
 Giải bất phương trỡnh :
 12x 8 2 x 2 x 2
 a) 2x 4 2 2 x b) 
 9x2 16 2 x 2 x x
 x2 1 1 4x2
 c) 1 x 1 x 2 d) 3
 4 x
  Đặt ẩn phụ 
 Giải bất phương trỡnh : 
 1 x 1 
 a) 2 b) 
 2 2 x x 18x 7 (2x 2) 2x 1 6(x 1)
 2 4 
 5 1 2x
 c) 5 x 2x 4 d) x 3 5
 2 x 2x x2 4
e) 2x2 6x 8 x x 2