Giáo án môn Toán Lớp 10 - Chủ đề: Dấu của nhị thức bậc nhất

 Chủ đề: DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
I. LÝ THUYẾT
1. Dấu của nhị thức bậc nhất:
 b 
Định lí: Nhị thức f(x) =ax +b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng ; 
 a 
 b 
, trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng ; 
 a 
Chứng minh: (SGK)
 b
x - + 
 a
f(x) trái dấu a 0 cùng dấu a
2. Các dạng toán
a. Xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất:
Ví dụ: Xét dấu biểu thức sau:
 1 3x
f (x) 
 x2 1
Giải: Bảng xét dấu của f(x)
 1
 x 1 1 
 3
 1 3x 0 
 x 1 0 
 x 1 0 
 f x 0 
b. Áp dụng vào giải bất phương trình 
1) Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức:
Ví dụ: Giải bất phương trình sau
 3 x
 0 (1)
4x 5
 3 x 5
Giải: Đặt f x . Ta có 3 x 0 x 3 và 4x 5 0 x . 
 4x 5 4
 Bảng xét dấu
 5
 x 3 
 4
 3 x 0 
 4x 5 0 
 f x 0 
 5
 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng f x 0 x 3. 
 4
 5 
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ;3 . 
 4 Câu 5. Cho biểu thức f x 2x 1 x3 1 . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình 
 f x 0 là
 1 1 
 A. x ;1 . B. x ;  1; .
 2 2 
 1 1 
 C. x ; 1; . D. x ;1 .
 2 2 
 1
Câu 6. Cho biểu thức f x . Tập hợp tất cả các giá trị của x để f x 0 là
 3x 6
 A. x ;2. B. x ;2 . C. x 2; . D. x 2; .
 x 3 2 x 
Câu 7. Cho biểu thức f x . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình 
 x 1
 f x 0 là
 A. x ; 3  1; . B. x 3;1  2; .
 C. x 3;1  1;2 . D. x ; 3  1;2 .
 4x 8 2 x 
Câu 8. Cho biểu thức f x . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình 
 4 x
 f x 0 là
 A. x ; 2 2;4 . B. x 3; .
 C. x 2;4 . D. x 2;2  4; .
 x x 3 
Câu 9. Cho biểu thức f x . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình 
 x 5 1 x 
 f x 0 là
 A. x ;0  3; . B. x ;0  1;5 .
 C. x 0;1 3;5 . D. x ;0  1;5 .
 4x 12
Câu 10. Cho biểu thức f x . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình 
 x2 4x
 f x 0 là
 A. x 0;3  4; . B. x ;0 3;4 .
 C. x ;0 3;4 . D. x ;0  3;4 .
 2 x
Câu 11. Cho biểu thức f x 2. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình 
 x 1
 f x 0 là
 A. x ; 1 . B. x 1; . C. x 4; 1 . D. x ; 4  1; .
 2 x
Câu 12. Cho biểu thức f x 1 . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình 
 3x 2
 f x 0 là Câu 22. Hỏi bất phương trình 2 x x 1 3 x 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương ?
 A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.
Câu 23. Tích của nghiệm nguyên âm lớn nhất và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình 
 3x 6 x 2 x 2 x 1 0 là
 A. 9. B. 6. C. 4. D. 8.
Câu 24. Tập nghiệm của bất phương trình 2x 4 x 3 x 3 x 0 là
 A. Một khoảng B. Hợp của hai khoảng. 
 C. Hợp của ba khoảng. D. Toàn trục số.
Câu 25. Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình x 1 x x 2 0 là
 A. x 2. B. x 0. C. x 1. D. x 2. 
 Vấn đề 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
 2 x
Câu 26. Bất phương trình 0 có tập nghiệm là
 2x 1
 1 1 1 1 
 A. S ;2 . B. S ;2 . C. S ;2 . D. S ;2 . 
 2 2 2 2 
 3 x x 2 
Câu 27. Tập nghiệm của bất phương trình 0 là
 x 1
 A. S 1;2 3; . B. S ;1 2;3. 
 C. S  1;2 3; . D. S 1;2  3; . 
 3
Câu 28. Bất phương trình 1 có tập nghiệm là
 2 x
 A. S 1;2 . B. S  1;2 . 
 C. S ; 1  2; . D. S ; 1 2; .
 x2 x 3
Câu 29. Tập nghiệm của bất phương trình 1 là
 x2 4
 A. S ; 2  1;2 . B. S 2;1  2; . 
 C. S  2;1  2; D. S 2;1 2; .
 4 2
Câu 30. Bất phương trình 0 có tập nghiệm là
 x 1 x 1
 A. S ; 3  1; . B. S ; 3  1;1 . 
 C. S 3; 1  1; . D. S 3;1  1; . 
 3 5
Câu 31. Bất phương trình có tập nghiệm là
 1 x 2x 1
 1 2 1 2 
 A. S ;  ;1 . B. S ;  1; . 
 2 11 2 11 
 1 2 1 2 
 C. S ;  ;1 . D. S ;  ;1 . 
 2 11 2 11 2 x
Câu 42. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên x thỏa mãn bất phương trình 2 ?
 x 1
 A. 1. B. 2. C. 4. D. 3.
Câu 43. Số nghiệm nguyên của bất phương trình 1 x 2 4 là
 A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.
Câu 44. Bất phương trình : 3x 3 2x 1 có nghiệm là 
 2 2 
 A. 4; . B. ; . C. ;4 . D. ;4.
 5 5 
Câu 45. Bất phương trình x 3 2x 4 có nghiệm là 
 1 1 
 A. 7; . B. 7; .
 3 3 
 1 1 
 C. 7; . D. ; 7  ; .
 3 3 
Câu 46. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên x trong  2017;2017 thỏa mãn bất phương trình 2x 1 3x ?
 A. 2016. B. 2017. C. 4032. D. 4034.
Câu 47. Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x 12 2x 4 là
 A. 5. B. 8. C. 11. D. 16.
Câu 48. Bất phương trình 3x 4 x 3 có nghiệm là
 7 1 7 1 
 A. ; . B. ; . C. ; . D. ¡ .
 4 2 4 2 
 x 1
Câu 49. Tập nghiệm của bất phương trình 1 là
 x 2
 1 1 
 A. S ; . B. S ; 2  ; . 
 2 2 
 1 1 
 C. S ;  2; . D. S 2; .
 2 2 
 x 2 x
Câu 50. Nghiệm của bất phương trình 2 là
 x
 A. 0;1. B. ; 2  1; . 
 C. ;0 1; . D. 0;1.
Câu 51. Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x 2 2x 1 x 1 là
 A. 3. B. 5. C. 2. D. 0.
 3
Câu 52. Bất phương trình x 2 x 1 x có tập nghiệm là 
 2
 1 3 9 
 A. 2; . B. ; . C. ; . D. ; .
 2 2 2 
Câu 53. Tập nghiệm của bất phương trình x 1 x 2 3 là
 A.  1;2. B. 2; . C. ; 1 . D. 2;1 . 1
 x 1 
 2
 2x 1 0 
 x 1 0 
 x2 x 1 
 f x 0 0 
 1 
 Dựa vào bảng xét dấu, suy ra f x 0 x ; 1; . Chọn C.
 2 
 1
Câu 6. Ta có f x 0 0 3x 6 0 x 2 x ;2 . Chọn A.
 3x 6
Câu 7. Phương trình x 3 0 x 3; 2 x 0 x 2 và x 1 0 x 1.
 Bảng xét dấu
 x 3 1 2 
 x 3 0 
 2 x 0 
 x 1 0 
 f x 0 0 
 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x 0 x ; 3  1;2 . Chọn D.
Câu 8. Phương trình 4x 8 0 x 2; 2 x 0 x 2 và 4 x 0 x 4.
 Bảng xét dấu
 x 2 2 4 
 4x 8 0 
 x 2 0 
 4 x 0 
 f x 0 0 
 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x 0 x x ; 2 2;4 . Chọn A.
Câu 9. Phương trình x 0; x 3 0 x 3; x 5 0 x 5 và 1 x 0 x 1.
 Bảng xét dấu
 x 0 1 3 5 
 x 0 
 x 3 0 
 x 5 
 1 x 
 f x 0 0 
 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x 0 x 0;1 3;5 . 
 Chọn C. Bảng xét dấu
 11 1
 x 2 
 5 3
 5x 11 0 
 x 2 0 
 3x 1 0 
 f x 0 
 11 1 
 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x 0 x ;  2; . Chọn B.
 5 3 
 1 2 3 x 12
Câu 14. Ta có f x 0 0.
 x x 4 x 3 x x 3 x 4 
 Phương trình x 12 0 x 12; x 3 0 x 3 và x 4 0 x 4.
 Bảng xét dấu
 x 12 4 3 0 
 x 12 0 
 x 0 
 x 3 0 
 x 4 0 
 f x 0 
 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x 0 x 12; 4  3;0 . Chọn A.
 x 3 x 2 x2 x 6 x 5
Câu 15. Ta có 1 f x 1 1 .
 x2 1 x2 1 x 1 x 1 
 Phương trình x 5 0 x 5; x 1 0 x 1 và x 1 0 x 1.
 Bảng xét dấu
 x 5 1 1 
 x 5 0 
 x 1 0 
 x 1 0 
 1 f x 0 
 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng 1 f x 0 x 5; 1  1; . 
 Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên âm của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.
Câu 16. Đặt f x 2x 8 1 x 
 Phương trình 2x 8 0 x 4 và 1 x 0 x 1. 
 Ta có bảng xét dấu
 x 4 1 f x 0 0 
 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng x 0;5 f x 0 x x 5 0. Chọn B.
Câu 20. Đặt f x x x 2 x 1 . 
 Phương trình x 0; x 2 0 x 2 và x 1 0 x 1. Ta có bảng xét dấu
 x 1 0 2 
 x 0 
 x 2 0 
 x 1 0 
 f x 0 0 0 
 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f x 0 x 1;0  2; . 
 Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là 3. Chọn B.
Câu 21. Phương trình x 3 0 x 3; x 3 0 x 3.
 Và x 5 0 x 5; 14 2x 0 x 7.Ta có bảng xét dấu
 x 3 3 5 7 
 x 3 0 
 x 3 0 
 x 5 0 
 14 2x 0 
 x 3 x 5 14 2x 0 0 0 
 x 3 x 5 14 2x 0 0 0 
 Từ bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm S ;3  5;7 là tập nghiệm của bất phương trình 
 x 3 x 5 14 2x 0. Chọn B. 
Câu 22. Đặt f x 2 x x 1 3 x 
 Phương trình 2 x 0 x 2; x 1 0 x 1 và 3 x 0 x 3.
 Ta có bảng xét dấu
 1 2 3 
 x
 2 x 0 
 x 1 0 
 3 x 
 f x 0 0 0 
 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x 0 x ; 1 2;3. 
 Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên dương. Chọn D.
 2
Câu 23. Bất phương trình 3x 6 x 2 x 2 x 1 0 3 x 2 x 2 x 1 0
 2 x 2
 Vì x 2 0, x 2 nên bất phương trình trở thành .
 x 2 x 1 0
 Đặt f x x 2 x 1 . Phương trình x 2 0 x 2 và x 1 0 x 1.
 Ta có bảng xét dấu
 x 2 1 1
 x 2 
 2
 2 x 0 
 2x 1 0 
 f x 0 
 1
 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng f x 0 x 2. 
 2
 1 
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ;2 . Chọn C.
 2 
 3 x x 2 3 x 0 x 3
Câu 27. Đặt f x . Ta có ; x 1 0 x 1. 
 x 1 x 2 0 x 2
 Bảng xét dấu
 x 1 2 3 
 3 x 0 
 x 2 0 
 x 1 0 
 f x 0 0 
 1 x 2
 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x 0 . 
 x 3
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 1;2 3; . 
 Chọn A.
 3 3 x 1
Câu 28. Bất phương trình 1 1 0 0.
 2 x 2 x 2 x
 x 1
 Đặt f x . Ta có x 1 0 x 1 và 2 x 0 x 2. 
 2 x
 Bảng xét dấu
 x 1 2 
 2 x 0 
 x 1 0 
 f x 0 
 x 1
 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x 0 .
 x 2
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ; 1  2; . Chọn C.
 x2 x 3 x2 x 3 x 1
Câu 29. Bất phương trình 1 1 0 0.
 x2 4 x2 4 x 2 x 2 f x 0 
 1
 x 
 2
 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x 0 .
 2
 x 1
 11
 1 2 
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ;  ;1 . Chọn A.
 2 11 
 2x 1 1 3x
Câu 32. Bất phương trình 2 0.
 x 1 x 1 x 1 x 1 
 1 3x 1 x 1 0 x 1
 Đặt f x . Ta có 1 3x 0 x ; .
 x 1 x 1 3 x 1 0 x 1
 Bảng xét dấu
 1
 x 1 1 
 3
 1 3x 0 
 x 1 0 
 x 1 0 
 f x 0 
 1
 1 x 
 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x 0 3.
 x 1
 1 
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 1;  1; . Chọn A.
 3 
 1 2 3 x 12
Câu 33. Bất phương trình 0.
 x x 4 x 3 x x 3 x 4 
 x 12 x 3 0 x 3
 Đặt f x . Ta có x 12 0 x 12; .
 x x 3 x 4 x 4 0 x 4
 Bảng xét dấu
 x 12 4 3 0 
 x 12 0 
 x 0 
 x 3 0 
 x 4 0 
 f x 0 
 12 x 4
 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x 0 .
 3 x 0
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 12; 4  3;0 . Chọn D. 1
 1 3x 2 1 3x x 
Câu 39. Ta có 1 3x 2 3. 
 1 3x 2 3x 3 
 x 1
 1 
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S ;  1; . Chọn A.
 3 
Câu 40. Vì x 3 0, x ¡ nên suy ra x 3 1, x ¡ .
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ¡ . Chọn D.
Câu 41. 
 x 2
 5x 4 6 5x 10 
 Cách 1. Bất phương trình 5x 4 6 2. 
 5x 4 6 5x 2 x 
 5
 Cách 2. TH1. Với 5x 4 0, bất phương trình 5x 4 6 5x 4 6 x 2.
 2
 TH2. Với 5x 4 0, bất phương trình 5x 4 6 5x 4 6 5x 2 x .
 5
 2 
 Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S ; 2; . 
 5 
 2
 a 2 
 Mặt khác S ;a b; suy ra 5 5a b 5. 2 0. Chọn C.
 5 
 b 2
Câu 42. Điều kiện: x 1 0 x 1. 
 2 x 2 x 3x
 2 2 0 0 1 
 2 x x 1 x 1 x 1
 Bất phương trình 2 
 x 1 2 x 2 x 4 x
 2 2 0 0 2 
 x 1 x 1 x 1
 x
 Giải 1 , ta có bất phương trình 1 0 1 x 0.
 x 1
 Giải 2 , ta có bất phương trình 2 4 x 1.
 Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S  4; 1  1;0. 
 Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên x cần tìm là x 4; 3; 2;0. Chọn B.
 4 x 2 4 2 x 6
 x 2 4 
Câu 43. Bất phương trình 1 x 2 4 x 2 1 x 3
 x 2 1 
 x 2 1 x 1
 Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S  2;1 3;6. 
 Vậy số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình là 8. Chọn D.
 2 2 2 2
Câu 44. Ta có 3x 3 2x 1 3x 3 2x 1 3x 3 2x 1 0
 2
 3x 3 2x 1 3x 3 2x 1 0 x 4 5x 2 0 x 4. 
 5
 2 
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ;4 . Chọn C.
 5 1 
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S S1  S2 ; 2  ; . Chọn B.
 2 
Câu 50. Điều kiện: x 0. 
 TH1. Với x 2 0 x 2, ta có 
 x 2 x x 2 x 1 x x 1
 2 2 0 .
 x x x x 0
 Kết hợp với điều kiện x 2, ta được tập nghiệm S1 2;0 1; . 
 x 2 x x 2 x 2x 2
 TH2. Với x 2 0 x 2, ta có 2 2 2
 x x x
 x 0
 x 1 x 1 2x 1
 1 1 0 0 1.
 x x x x 
 2
 1 
 Kết hợp với điều kiện x 2, ta được tập nghiệm là S2 ; .
 2 
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S S1  S2 ;0 1; . Chọn C.
Câu 51. Xét bất phương trình x 2 2x 1 x 1 .
 Bảng xét dấu 
 1
 x
 2 2 
 x 2 0 | 
 2x 1 | 0 
 1
 TH1. Với x 2, khi đó x 2 2x 1 x 1 2 4x x .
 2
 Kết hợp với điều kiện x 2, ta được tập nghiệm S1 . 
 1
 TH2. Với 2 x , khi đó x 2 2x 1 x 1 2x 2 x 1. 
 2
 1
 Kết hợp với điều kiện 2 x , ta được tập nghiệm S . 
 2 2
 1
 TH3. Với x , khi đó x 2 2x 1 x 1 2x 0 x 0. 
 2
 1
 Kết hợp với điều kiện x , ta được tập nghiệm S . 
 2 3
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S S1  S2  S3 . Chọn D.
 3
Câu 52. Xét bất phương trình x 2 x 1 x .
 2
 Lập bảng xét dấu
 x 2 1 
 x 2 0 
 x 1 0 
 3 3
 TH1. Với x 2, khi đó x 2 x 1 x x . 
 2 2 Câu 55. Điều kiện: x 1 0 x 1. 
 2 3 x 2 3x 2 3x 1 3
 TH1. Với x 0, ta có 1 1 1 1 x .
 1 x x 1 x 1 4 2
 1 3 
 Kết hợp với điều kiện x 0, ta được tập nghiệm S1 ; . 
 4 2 
 2 3 x 2 3x 2 3x 3 1
 TH2. Với x 0, ta có 1 1 1 1 x .
 1 x x 1 x 1 4 2
 3 1 
 Kết hợp với điều kiện x 0, ta được tập nghiệm S2 ; . 
 4 2 
 1 3 3 1 
 Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S S1  S2 ;  ; .
 4 2 4 2 
 Vậy số nghiệm nguyên x cần tìm là 1 x 1 . Chọn A.