Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH 
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI: VẬN DỤNG KHOẢNG CÁCH TRONG BÀI 
 TOÁN TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
 Năm học 2019 - 2020 I. ĐẶT VẤN ĐỀ
 1. Lý do chọn đề tài
 Trong quá trình giảng dạy, ôn thi THPT Quốc gia chúng ta thường gặp các bài 
toán liên quan đến góc, trong đó có bài toán về góc giữa hai mặt phẳng. Với nhiều học 
sinh, cũng như giáo viên nhiều khi còn lúng túng trong việc xác định phương pháp để 
giải quyết bài toán. Thông thường khi tính góc giữa hai mặt phẳng, chúng ta thường sử 
dụng định nghĩa, sử dụng cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau, phương 
pháp tọa độ hóaTuy nhiên, trong quá trình giải có nhiều bài yêu cầu nhận định và 
tính toán phức tạp, mất rất nhiều thời gian.
 Với những lý do trên, cùng với mong muốn góp phần phát triển tư duy, kỹ năng 
cho học sinh, tôi xin giới thiệu một phương pháp mà ít giáo viên và học sinh sử dụng 
đó là “Vận dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng”. 
 2. Mục tiêu, đối tượng nghiên cứu
 Phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng giải các bài tập liên quan đến góc giữa 
hai mặt phẳng cho học sinh khá, giỏi.
 Nâng cao hiệu quả trong việc ôn thi THPT Quốc gia.
 Đề tài áp dụng hiệu quả cho đối tượng học sinh khá, giỏi lớp 11, 12.
 3. Giả thiết khoa học
 Nếu đưa đề tài “Vận dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt 
phẳng” vào giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia sẽ tạo được hứng thú và kích thích sự 
đam mê trong học tập bộ môn cho học sinh. Đồng thời học sinh sẽ tự tin hơn trong 
việc giải quyết các dạng bài tập mới. Riêng về phần bài tập tính góc giữa hai mặt 
phẳng, học sinh sẽ khắc sâu kiến thức và có kỹ năng giải nhanh hơn không chỉ các bài 
toán về góc mà cả những bài toán liên quan đến tính khoảng cách thường gặp trong 
các đề thi.
 4. Dự báo những đóng góp của đề tài
 Đề tài “Vận dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng” 
giúp chúng ta nắm thêm một cách để tính góc giữa hai mặt phẳng, đồng thời củng cố 
thêm phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và mặt phẳng trong 
không gian. Từ đó rèn luyện tư duy kỹ năng trong việc dạy và học toán.
 2 bài toán thì phụ thuộc vào cách nhìn nhận của mỗi người, vấn đề chọn điểm này tôi sẽ 
trình bày ở phần nhận xét sau các bài tập cụ thể).
Bước 3: Thay vào công thức (1) tính và kết luận.
 2. Cơ sở thực tiễn
 Trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia tôi nhận thấy dạng bài tập liên quan đến 
góc giữa hai mặt phẳng được khai thác khá nhiều trong các đề thi. Tại đơn vị tôi công 
tác, học sinh khi gặp dạng bài toán này thường hay lúng túng và khó khăn trong việc 
đưa ra phương hướng giải kể cả đối tượng học sinh giỏi.
 Sau khi học sinh tiếp thu nội dung đề tài này và vận dụng vào các bài toán cụ 
thể trong các đề thi (đề thi THPT Quốc Gia 2018, đề thi thử Sở GD – ĐT Hà Tĩnh 
2019) các em đều giải quyết bài toán khá nhanh chóng và tự tin. Từ đó tư duy, kỹ 
năng giải bài tập của các em được nâng lên rõ rệt.
 3. Nội dung
 a. Ví dụ mở đầu: ( Đề thi thử Sở GD – ĐT Hà Tĩnh năm 2019) Cho hình chóp 
 S.ABCD có đáy là hình vuông, SA  ABCD , SA 3AB. Gọi là góc giữa hai 
mặt phẳng SBC và SDC , giá trị cos bằng
 1 1 1
 A. 0. B. . C. . D. . 
 2 3 4
 Lời giải
Cách 1: Sử dụng cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau.
Đặt DC = a (a > 0). Kẻ BH ^ SC(H Î SC). S
Dễ thấy BD ^ (SAC)Þ BD ^ SC .
Từ đó suy ra SC ^ (BDH ) Þ DH ^ SC .
 a 3
Ta có (SBC)Ç(SDC)= SC. H
 · A
Khi đó a = ((SBC),(SDC))= (·BH,DH ). B
Xét tam giác SBC vuông tại B, đường cao BH , ta 
 a
có D C
 1 1 1 1 1 1 1 5 2a
 2 = 2 + 2 = 2 2 + 2 = 2 + 2 = 2 Þ BH = . 
 BH SB BC SA + AB BC (a 3) + a2 a 4a 5
 4 Nhận xét: Ở đây việc xác định và tính AH, BK rất dễ dàng, do đó vận dụng khoảng 
cách vào tính góc trong bài này được giải quyết rất gọn nhẹ và nhanh chóng.
 Thay vì lựa chọn điểm B như ở trên, chúng ta có thể chọn điểm D với vai trò 
hoàn toàn tương tự.
 Qua hai cách giải trên, chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy, nếu sử dụng cách 1 
thì chúng ta cần phải xác định được góc cụ thể, còn nếu sử dụng cách thứ 2 chúng ta 
không cần chỉ ra góc mà vẫn tính được thông qua khoảng cách.
 b. Các bài tập vận dụng.
 Vấn đề 1: Tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp.
Bài 1: ( Đề thi thử Sở GD – ĐT Thành Phố Hồ Chí Minh năm 2019) Cho hình chóp 
 S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a, AC 2a , SA 2a,
 SA  ABC . Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC . Khi đó cosa bằng
 3 1 15 3
 A. . B. . C. D. . 
 2 2 5 5
 Lời giải
 d A, SBC 
Ta có SAC  SBC SC. Khi đó sin .
 d A,SC 
 S
Kẻ AH  SB, H SB . 
 K
Vì BC  AB, BC  SA SA  ABC 
 2a
 BC  SAB BC  AH
 H
 2a
 A C
Từ đó suy ra AH  SBC hay d A, SBC AH.
 a
 B
Kẻ AK ^ SC (K Î SC) Þ d(A,SC)= AK .
Xét tam giác SAB vuông tại A, đường cao AH , ta có
 6 Mặt khác AE = SA = a nên tam giác SAE vuông cân tại A.
 1 a 2
Do đó AK = SE = SA2 + AE 2 = . 
 2 2
Ta lại có, AH ^ CM , AH ^ SM (SM ^ (ABCD)) 
 Þ AH ^ (SCM ) hay d(A,(SCM ))= AH .
Xét tam giác AME vuông tại A, đường cao AH
 1 1 1 1 4 5 a 5
Ta có = + = + = Þ AH = .
 AH 2 AE 2 AM 2 a2 a2 a2 5
 a 5
 AH 10 1 6
Suy ra sina = = 5 = Þ cota = - 1 = . Chọn B.
 AK a 2 5 æ ö2 2
 ç 10 ÷
 ç ÷
 2 èç 5 ø÷
Nhận xét: Ở bài này, việc chỉ ra góc khó hơn ở bài trên. Do đó vận dụng khoảng cách 
để tính là hợp lý. Việc lựa chọn tính khoảng cách từ điểm A hay B đến mặt phẳng 
 (SCM ) thì đều như nhau. Ngoài ra chúng ta có thể tính sina
 d(M ,(SAB)) d(C,(SAB))
 = = . Việc tính theo công thức này cũng đơn giản như cách 
 d(M ,SE) d(C,SE)
tính ở trên.
Bài 3: (Đề thi thử trường THPT Hà Huy Tập – Hà Tĩnh năm 2019) Cho hình chóp 
 S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB 3, AD 4, B· AD 1200. Cạnh 
 SA 2 3 vuông góc với đáy. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh 
 SA, AD, BC . Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng SBC và MNP . Tính a .
 A. a = 600 . B. a = 450 . C. a = 900 .D. a = 300 .
 Lời giải
Gọi Q là trung điểm của SB . Khi đó (MNP)Ç(SBC)= PQ .
 d(B,(MNP)) d(A,(MNP))
Ta có sina = = .
 d(B,PQ) d(B,PQ)
Kẻ AI ^ PN (I Î PN), AH ^ MI (H Î MI). Khi đó d(A,(MNP))= AH .
 8 d(A,(SCD))
Ta có SAC  SCD SC . Khi đó sina = . 
 d(A,SC)
Gọi M là trung điểm của AD . Vì ABCD là 
 S
hình thoi cạnh a, B· AD 1200 nên ABC và 
 ACD là các tam giác đều cạnh a. 
 a 3
Do đó, AM .
 2 T
Xét tam giác ACH , ta có K
 A B
 1200 H
 CH 2 AC 2 AH 2 2AC.AH.cos600
 L
 600
 4a2 2a 1 7a2 a 7
 a2 2.a. . CH . a
 9 3 2 9 3 D M C I
Góc giữa SC và ABCD là góc S· CH 600. 
 a 21 2a 7
Từ đó suy ra SH CH.tan60o , SC . 
 3 3
Vì AB / /CD nên d A, SCD d AB, SCD d H, SCD .
 a 3
Kẻ HI / / AM (I Î DC). Khi đó HI = AM = và HI ^ DC .
 2
Kẻ HK ^ SI (K Î SI).
Ta có DC ^ HI, DC ^ SH (SH ^ (ABCD))Þ DC ^ (SHI)Þ HK ^ DC .
Từ đó suy ra HK ^ (SDC) hay d(A,(SDC))= HK .
Xét tam giác SHI vuông tại H, đường cao HK , ta có
 1 1 1 1 1 4 3 37 a 21
 HK .
 HK 2 HI 2 SH 2 AM 2 SH 2 3a2 7a2 21a2 37
 d(H, AC) HA 2 2 2 a 3 a 3
Ta có = = Þ HL = d(B, AC)= . = , 
 d(B, AC) BA 3 3 3 2 3
 2 2
 a 3 a 21 2a 6
 SL HL2 SH 2 . 
 3 3 3
Ta lại có d A,SC AT. 
 10 Vì BC  SM , BC  SN BC  SMN MN  BC MN / / AB.
Khi đó d H, SAB d M , SAB d N, SAB x x 0 . 
 3 d N, SAB 2x
 · SAB , SBC 600 sin 600 d N,SB .
 2 d N,SB 3
 3 1 1 1 1
Suy ra 1 
 4x2 SN 2 BN 2 SN 2 HK 2
 2 d M , SAB 
 · SAB , SAD 450 sin 450 d M ,SA x 2 .
 2 d M ,SA 
 1 1 1 1 1
Suy ra 2 
 2x2 SM 2 AM 2 SM 2 HK 2
Từ 1 và 2 ta được 
 5 1 1 2 1 1 1 1 1
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 HK 2x.
 4x SM SN HK SH HK HK x HK
 d H, SAB x 1
Từ đó suy ra sin · SAB , ABDC . 
 d H, AB 2x 2
 3
Vậy cos · SAB , ABDC . Chọn C.
 2
Nhận xét: Đây là một bài toán rất hay, nếu chúng ta xác định góc cụ thể của từng cặp 
mặt phẳng thì sẽ rất rối hình. Tuy nhiên, như chúng ta nhìn thấy, vận dụng khoảng 
cách để giải quyết thì bài toán này trở nên nhẹ nhàng, đơn giản hơn nhiều.
 Vấn đề 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình lăng trụ.
Bài 1: (Đề minh họa kỳ thi THPT Quốc Gia 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều 
 ABC.A¢B¢C¢ có AB = 2 3 và AA¢= 2. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các 
 12 6
 B¢H 18 13 13
Suy ra sina = = 5 = Þ cosa = . Chọn B.
 KE 13 65 65
 3
Nhận xét: Vai trò của B¢ và C¢ như nhau nên chúng ta có thể lựa chọn điểm C¢ để 
thực hiện các bước hoàn toàn tương tự.
Bài 2: (Đề thi thử trường THPT Cẩm Bình – Hà Tĩnh năm 2018) Cho hình lăng trụ 
 ABC.A¢B¢C¢ có đáy là tam giác đều cạnh 2a . Hình chiếu vuông góc của A¢ lên mặt 
phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 
 600 . Gọi j là góc giữa hai mặt phẳng (BCC¢B¢) và (ABC). Khi đó cosj bằng
 1 1 4 1
 A. . B. . C. . D. .
 3 5 17 17
 Lời giải
Ta có (BCC¢B¢)Ç(ABC)= BC . A' B'
 d(A,(BCC¢B¢))
Khi đó sinj = . C'
 d(A,BC) K
Gọi M là trung điểm của BC .Vì tam giác I
 600 2a
 A
 ABC đều cạnh 2a nên AM ^ BC, H B D
 M
 AM = a 3 Þ d(A,BC)= AM = a 3. C
Gọi D là chân đường cao hạ từ đỉnh B¢ xuống mặt phẳng (ABC). Khi đó B là trung 
điểm của HD.
 d(A,(BCC¢B¢)) AB
Ta có = = 2 hay d(A,(BCC¢B¢))= 2d(D,(BCC¢B¢)).
 d(D,(BCC¢B¢)) DB
Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên BC và B¢I . Khi đó 
 d(D,(BCC¢B¢))= DK. 
 DI DB 1 1 a 3
Ta có = = Þ DI = AM = .
 AM AB 2 2 2
Vì góc giữa cạnh bên và mặt đáy là ·A¢AH = 600 Þ B¢D = A¢H = AH.tan600 = a 3 .
Xét tam giác B¢DI vuông tại D, đường cao DK ta có
 14 a 6
 BK 1
Vậy sina = = 6 = Þ a = 300. Chọn A.
 CP a 6 2
 3
Nhận xét: Việc tính toán trong bài này cũng đơn giản và nhẹ nhàng, thay vì lựa chọn 
tính khoảng cách từ điểm C đến giao tuyến B¢N và mặt phẳng (B¢AM ) chúng ta 
cũng có thể lựa chọn là tính khoảng cách từ điểm A đến giao tuyến và mặt phẳng 
 (A¢B¢CD), việc này cũng hoàn toàn đơn giản, tương tự như ở câu 2.
Câu 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác đều và tất cả các cạnh bằng 
 a , M là trung điểm của A B . Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng MBC và 
 ACC A bằng
 5 3 5 5 15
 A. . B. . C. . D. . 
 10 5 5 5
 Lời giải
Kẻ AA cắt BM tại D. Ta có MBC  ACC A C D.
Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng MBC và ACC A . 
 d B, ACC A 
Khi đó sin . 
 d B,C D 
Gọi N là trung điểm cạnh AC .
Ta có BN ^ AC, BN ^ AA¢Þ BN ^ (ACC¢A¢)
Hay d(B,(ACC¢A¢))= BN . 
 a 3
Tam giác ABC đều cạnh a nên BN C M . 
 2
Kẻ BK ^ DC¢(K Î DC¢)Þ d(B,DC¢)= BK .
Ta có 
 1 1 C M.BD
 S C M.BD BK.C D BK . 
 C BD 2 2 C D
 16 a 5
 A H 10 15
Từ đó suy ra sin 5 cos . Chọn D.
 A K a 2 5 5
 2
Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có AB = a , AC = a 3 , AA¢= a , 
 B·AC = 1500 . Gọi M là trung điểm của CC¢, a là góc giữa mặt phẳng (AB¢M ) và 
mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây là đúng?
 66 66 418 418
 A. sin . B. sin . C. sin . D. sin .
 22 11 44 22
 Lời giải
Kẻ BC cắt B¢M tại N . Khi đó M là trung điểm của B¢N .
Ta có AB¢M Ç ABC = AN. 
 ( ) ( ) B' C'
 d(B¢,(ABC)) d(B¢,(ABC))
Khi đó sina = = . A'
 d(B¢, AN) 2d(M , AN) a M
Ta có d(B¢,(ABC))= BB¢= a .
Kẻ MH ^ AN (H Î AN) Þ d(M , AN)= MH . B C N
 a a 3
 1500
Xét tam giác ABC ta có H
 A
 BC 2 = AB2 + AC 2 - 2AB.AC.cos B·AC
 æ ö
 2 2 2 ç 3÷ 2
 Þ BC = a + 3a - 2.a.a 3.ç- ÷= 7a Þ BC = a 7
 èç 2 ø÷
 AB2 + BC 2 - AC 2 a2 + 7a2 - 3a2 5 7
 cos A·BC = = = . 
 2AB.BC 2a.a 7 14
 1 1 1 a2 3
 S = AB.AC.sin B·AC = a.a 3. = . 
 DABC 2 2 2 4
Xét tam giác ABN có AN 2 = AB2 + BN 2 - 2AB.BN.cos A·BC
 5 7
 Þ AN 2 = a2 + 28a2 - 2.a.2a 7. = 19a2 Þ AN = a 19.
 14
 a2 3
 2 2.
 a 3 1 57
Ta lại có S = S = = CH.AN Þ CH = 4 = . 
 DACN DABC 4 2 a 19 38
 18 3a 3
Kẻ NK ^ AB (K Î AB), khi đó NK = CM = (CM là trung tuyến trong tam 
 2
giác đều cạnh 3a ).
Kẻ NT ^ C¢K (T Î C¢K ), dễ thấy d(C,(ABC¢))= d(N,(ABC¢))= NT.
Xét tam giác C¢NK vuông tại N , đường cao NT , ta có
 1 1 1 1 4 55 3 1155
 = + = + = Þ NT = .
 NT 2 C¢N 2 NK 2 7a2 27a2 189a2 55
 3a 1155
 NT 3 330
Suy ra sina = = 55 = Þ tana = 3 6 . Chọn C.
 CI a 14 55
 2
Nhận xét: Đây là một bài xác định góc khó, vì vậy sử dụng khoảng cách để tính góc 
giữa hai mặt phẳng có thể coi là phương pháp tối ưu. Cũng như các bài tập ở trên, 
chúng ta cũng có thể có nhiều lựa chọn khác nhau trong việc chọn tính khoảng cách từ 
điểm tới đường thẳng và mặt phẳng để giải quyết bài toán.
 c. Một số bài tập đề nghị
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường 
tròn đường kính AB 2a , SA  ABCD và SA a 3 . Khi đó tan góc giữa hai mặt 
phẳng SAD và SBC bằng
 A. 2 7. B. 7. C. 2 14. D. 14. 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA a và 
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB và SD , là 
góc giữa hai mặt phẳng AMN và SBD . Giá trị sin bằng
 2 2 2 7 1
 A. . B. . C. . D. .
 3 3 3 3
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB 2a, 
 AD DC a, SA vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD 
bằng 600. Khi đó, tan góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng
 6 6
 A. . B. . C. 6. D. 2.
 2 3
 20 d. Đánh giá hiệu quả của đề tài
 Với việc vận dụng đề tài này vào ôn luyện thi THPT Quốc Gia và bồi dưỡng 
học sinh giỏi kết hợp với giảng dạy những phần kiến thức khác trong chương trình bộ 
môn Toán thì đã đạt được những hiệu quả nhất định, kết quả thi của học sinh được 
nâng cao rõ rệt.
 Tôi đã tiến hành dạy thực nghiệm đề tài ở lớp 12B8 và đã kiểm tra kỹ năng giải 
các bài tập phần tính góc giữa hai mặt phẳng ở các lớp 12B6 và 12B8( 12B6 có mặt 
bằng tư duy tốt hơn) thì nhận thấy kết quả:
 Số HS giải bài toán theo Số HS giải được bài toán theo 
 Lớp Sĩ số phương pháp truyền thống phương pháp mới
 SL TL(%) SL TL(%)
 12B6 40 38 95% 2 5%
 12B8 38 3 7,9% 35 92,1%
 Trong 2 học sinh lớp 12B6 giải bài toán theo phương pháp vận dụng khoảng 
cách để tính góc thì cả 2 em đều thuộc đội tuyển ôn thi học sinh giỏi đã được tiếp thu 
nội dung đề tài. Đồng thời nhận thấy những em vận dụng phương pháp truyền thống 
trong quá trình giải còn lúng túng, nhiều em chưa đưa đến kết quả chính xác. Các học 
sinh vận dụng khoảng cách vào tính góc giữa hai mặt phẳng thì đưa ra kết quả nhanh 
và chính xác hơn.
 Từ những kết quả đánh giá như trên, có thể rút ra kết luận rằng: Đề tài có tính 
khoa học, hiệu quả cao, có thể vận dụng tốt trong dạy học.
3. KẾT LUẬN
 Trong quá trình giảng dạy cho học sinh, tôi thấy việc vận dụng khoảng cách vào 
bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng giúp học sinh dễ dàng và nhanh chóng tìm ra kết 
quả. Cũng thông qua cách giải này học sinh thành thạo hơn kỹ năng tính khoảng cách 
từ một điểm đến đường thẳng và mặt phẳng. Qua đó, vận dụng nhiều trong cái bài toán 
hình học không gian có trong các đề thi THPT Quốc gia, giúp các em tự tin để giải 
quyết các bài toán nhanh gọn, phù hợp với hình thức thi cử hiện nay.
 Thông qua đề tài này, chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng có rất nhiều lựa chọn để 
chúng ta tính góc thông qua khoảng cách, bằng việc lấy điểm phù hợp để tính khoảng 
 22