Tài liệu ôn thi Đại học-Cao đẳng - 100 câu khảo sát hàm số - Trần Sĩ Tùng

 www.VNMATH.com
 TRAÀN Sể TUỉNG 
 ---- ›š & ›š ---- 
TÀI LIỆU ễN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 
 Naờm 2011 
 www.VNMATH.com
100 Khảo sỏt hàm số Trần Sĩ Tựng 
 • Hàm đồng biến trờn (0;)+Ơ Û yÂ=3x2+ 2(1-2m)xm+(2 -³)0 với "ẻx (0);+Ơ 
 3x2 + 2x +2
 Ûf()xm=³ với "ẻx (0);+Ơ 
 41x +
 2(6x2+x-3)-±173
 Ta cú: fÂ(xx)0==Û6 2+xx-3 =0Û= 
 (41x+)2 12
 Lập bảng biến thiờn của hàm fx() trờn (0;)+Ơ , từ đú ta đi đến kết luận: 
 ổử-1++73373
 fỗữ³mmÛ³ 
 ỗữ
 ốứ128
 KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
 32
Cõu 7. Cho hàm số y=x+3x++mxm–2 (m là tham số) cú đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 
 2) Xỏc định m để (Cm) cú cỏc điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phớa đối với trục hoành. 
 • PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành: 
 32 ộx=-1
 x+3x+mxm+=–20(1) ⇔ ờ 2 
 ởg(x)=x+2xm+-=20(2)
 (Cm) cú 2 điểm cực trị nằm về 2 phớa đối với trục 0x Û PT (1) cú 3 nghiệm phõn biệt 
 ỡD Â=30->m
 ⇔ (2) cú 2 nghiệm phõn biệt khỏc –1 ⇔ ớ Û m < 3 
 ợgm(-1)=-ạ30
 322
Cõu 8. Cho hàm số y=-x+(2m+1)x-(m-3mx+-2)4 (m là tham số) cú đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 
 2) Xỏc định m để (Cm) cú cỏc điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phớa của trục tung. 
 • yÂ=-3x22+2(2m+1)x-(mm-+32) . 
 (Cm) cú cỏc điểm CĐ và CT nằm về hai phớa của trục tung ⇔ PT y = 0 cú 2 nghiệm trỏi 
 dấu ⇔ 3(mm2-3+<2)0 ⇔ 12<<m . 
 132
Cõu 9. Cho hàm số y=x-+mx(2mx--1)3 (m là tham số) cú đồ thị là (Cm). 
 3
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. 
 2) Xỏc định m để (Cm) cú cỏc điểm cực đại, cực tiểu nằm về cựng một phớa đối với trục tung. 
 • TXĐ: D = R ; yÂ=+x2–2mxm2–1. 
 Đồ thị (Cm) cú 2 điểm CĐ, CT nằm cựng phớa đối với trục tung ⇔ y Â= 0 cú 2 nghiệm phõn 
 ỡm ạ 1
 ùỡDÂ=mm2 -2+>10 ù
 biệt cựng dấu ⇔ ớ Û ớ 1 
 ù2m->10 m >
 ợ ợù 2
 32
Cõu 10. Cho hàm số y=x-32x-+mx (m là tham số) cú đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 
 2) Xỏc định m để (Cm) cú cỏc điểm cực đại và cực tiểu cỏch đều đường thẳng yx=-1. 
 Trang 2 www.VNMATH.com
100 Khảo sỏt hàm số Trần Sĩ Tựng 
 3
 ỡIdẻ ùỡm+8(2mm-3-1)-=740
 A và B đối xứng với nhau qua d Û ớ Û ớuuurr Û m = 2 
 ợABd^ ợùABu.0=
Cõu 13. Cho hàm số y=x32-+3xmx (1). 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 
 2) Với giỏ trị nào của m thỡ đồ thị hàm số (1) cú cỏc điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng 
 với nhau qua đường thẳng d: xy–2–50= . 
 • Ta cú y=x3-3x22+mxịy'=36x-+xm 
 Hàm số cú cực đại, cực tiểu ⇔ y Â= 0 cú hai nghiệm phõn biệt ÛDÂ =9-3mm>03Û< 
 ổ11ửổử21
 Ta cú: y=ỗx-ữyÂ+ỗữm-+2 xm 
 ố33ứốứ33
 Tại cỏc điểm cực trị thỡ y Â= 0 , do đú tọa độ cỏc điểm cực trị thỏa món phương trỡnh: 
 ổử21
 y=ỗữm-+2 xm 
 ốứ33
 ổử21
 Như vậy đường thẳng D đi qua cỏc điểm cực trị cú phương trỡnh y=ỗữm-+2 xm 
 ốứ33
 2
 nờn D cú hệ số gúc km=-2 . 
 13
 15 1
 d: xy–2–50= Ûyx=- ị d cú hệ số gúc k = 
 22 2 2
 Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thỡ ta phải cú d ^ D 
 12ổử
 ị k12k=-1Ûỗữmm-2=-10Û= 
 23ốứ
 Với m = 0 thỡ đồ thị cú hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nờn trung điểm của chỳng là 
 I(1; –2). Ta thấy I ẻ d, do đú hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d. 
 Vậy: m = 0 
 32
Cõu 14. Cho hàm số y=x-3(m+1)x+92xm+- (1) cú đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 
 2) Với giỏ trị nào của m thỡ đồ thị hàm số cú điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với 
 1
 nhau qua đường thẳng d: yx= . 
 2
 ã y'=3x2-6(mx++1)9 
 Hàm số cú CĐ, CT Û D'=9(m +1)2 ->3.90 Ûm ẻ(-Ơ;-1-3)ẩ(-1+3;)+Ơ 
 ổử11m +2
 Ta cú y=ỗữx-yÂ-2(m+2m-2)xm++41 
 ốứ33
 Giả sử cỏc điểm cực đại và cực tiểu là A(x1;y1),B(xy22;), I là trung điểm của AB. 
 2 2
 ịy11=-2(m+2m-2)xm++41; y22=-2(m+2m-2)xm++41 
 ỡx+xm=+2(1)
 và: ớ 12 
 ợxx12.3=
 Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y=-2(m2+2m-2)xm++41 
 Trang 4 www.VNMATH.com
100 Khảo sỏt hàm số Trần Sĩ Tựng 
 Â
 Hàm số cú cực đại và cực tiểu Û y = 0 cú hai nghiệm phõn biệt xx12, 
 Û DÂ >0Ûmm2-5+> 70 (luụn đỳng với "m) 
 ỡx+xm=-2(1) ùỡxm=-32
 Khi đú ta cú: 12 Û 2 
 ớ ớx1-2xm=-3(2)
 ợx12xm=-3(2) ợù 22( )
 -±434
 Û8m2+16mm-90=Û= . 
 4
Cõu 18. Cho hàm số y=+4x32mxx–3 . 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 
 2) Tỡm m để hàm số cú hai điểm cực trị xx12, thỏa xx12=-4 . 
 Â 2 Â 2
 ã y=+12x2mx –3. Ta cú: D =mm+36>"0, ị hàm số luụn cú 2 cực trị xx12, . 
 ỡ
 ùxx12=-4
 ù
 ù m 9
 Khi đú: ớxx12+=- ịm =± 
 ù 6 2
 ù 1
 xx =-
 ợù 12 4
 Cõu hỏi tương tự: 
 32
 a) y=x+31x++mx ; xx12+= 23 ĐS: m =-105 . 
Cõu 19. Cho hàm số y=(m+2)x32+35x+-mx , m là tham số. 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 
 2) Tỡm cỏc giỏ trị của m để cỏc điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đó cho cú hoành độ 
 là cỏc số dương. 
 ã Cỏc điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đó cho cú hoành độ là cỏc số dương 
 Û PT y'=3(m+2)x2 ++60xm = cú 2 nghiệm dương phõn biệt 
 ỡam=(+ạ2)0
 ùD'=9-3mm(+>2)0
 ù ỡD'=-m2-2mm+3>031ỡ-<<
 ùmùù
 ÛớP=>0 Ûớớm<0Ûmm<0Û-32<<- 
 ù3(m+2) ùùmm+2<02<-
 -3ợ ợ
 ùS=>0
 ợùm+2
Cõu 20. Cho hàm số y=+xx32–32 (1) 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1). 
 2) Tỡm điểm M thuộc đường thẳng d: yx=-32sao tổng khoảng cỏch từ M tới hai điểm cực 
 trị nhỏ nhất. 
 ã Cỏc điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2). 
 Xột biểu thức g(x,y)=32xy-- ta cú: 
 g(xA,yA)=3xA-yA-2=-460 
 ị 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phớa của đường thẳng d: yx=-32. 
 Do đú MA + MB nhỏ nhất Û 3 điểm A, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của d và AB. 
 Phương trỡnh đường thẳng AB: yx=-+22 
 Trang 6 www.VNMATH.com
100 Khảo sỏt hàm số Trần Sĩ Tựng 
 • Ta cú: y'=36x2 --xm. 
 2
 Hàm số cú CĐ, CT Ûy'=3x-60xm-= cú 2 nghiệm phõn biệt xx12; 
 ÛD'=9+3mm>03Û>- (*) 
 Gọi hai điểm cực trị là A(x12;yy12);;Bx( ) 
 ổ112ửổmmửổử
 Thực hiện phộp chia y cho y ta được: y=ỗx--ữyx'ỗ+22ữ+-ỗữ 
 ố33ứố33ứốứ
 ổ22mửổmmửổmửổử
 ị y11==y(x) ==-ỗ+2ữxx12+ỗ2-ữ;yy22(x) -ỗ+22ữ+-ỗữ 
 ố3ứố3ứốứ33ốứ
 ổ2mmửổử
 ị Phương trỡnh đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d: yx=-ỗ+22ữ+-ỗữ 
 ố33ứốứ
 Đường thẳng đi qua cỏc điểm cực trị song song với d: yx=-+43 
 ỡổử2m
 ù-ỗữ+24=-
 ùốứ3
 Ûớ Û=m3 (thỏa món) 
 ùổửm
 ỗữ23-ạ
 ợùốứ3
 32
Cõu 25. Cho hàm số y=x-32x-+mx cú đồ thị là (Cm). 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 
 2) Tỡm m để (Cm) cú cỏc điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cỏc điểm cực trị tạo 
 với đường thẳng d: xy+=4–50 một gúc 450 . 
 ã Ta cú: y'=36x2 --xm. 
 2
 Hàm số cú CĐ, CT Ûy'=3x-60xm-= cú 2 nghiệm phõn biệt xx12; 
 ÛD'=9+3mm>03Û>- (*) 
 Gọi hai điểm cực trị là A(x12;yy12);;Bx( ) 
 ổ112ửổmmửổử
 Thực hiện phộp chia y cho y ta được: y=ỗx--ữyx'ỗ+22ữ+-ỗữ 
 ố33ứố33ứốứ
 ổ22mửổmmửổmửổử
 ị y11==y(x) ==-ỗ+2ữxx12+ỗ2-ữ;yy22(x) -ỗ+22ữ+-ỗữ 
 ố3ứố3ứốứ33ốứ
 ổ2mmửổử
 ị Phương trỡnh đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: yx=-ỗ+22ữ+-ỗữ 
 ố33ứốứ
 ổử2m 1
 Đặt k =-+ỗữ2 . Đường thẳng d: xy+=4–50 cú hệ số gúc bằng - . 
 ốứ3 4
 1ộ11 ộ3 ộ 39
 k+ kk+=-1 k = m =-
 ờ 44 ờ 5ờ 10
 Ta cú: tan45o =4Ûờ ÛÛờ ờ 
 1 1151
 1-kờk+=-1+kkờ=- ờm=-
 4 ởờ 443ởờ ởờ 2
 1
 Kết hợp điều kiện (*), suy ra giỏ trị m cần tỡm là: m =- 
 2
Cõu 26. Cho hàm số y=x32++3xm (1) 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m =-4 . 
 2) Xỏc định m để đồ thị của hàm số (1) cú hai điểm cực trị A, B sao cho ãAOB = 1200 . 
 Trang 8 www.VNMATH.com
100 Khảo sỏt hàm số Trần Sĩ Tựng 
 4 2 2
C õu 30. Cho hàm số y = x + 2(m - 2)x + m - 5m + 5 (Cm ) 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 
 2) Với những giỏ trị nào của m thỡ đồ thị (Cm) cú điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời 
 cỏc điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giỏc đều. 
 ộx =0
 ã Ta cú Â 3 
 f()x=4x+4(mx-2)0=Ûờ2
 ởxm=-2
 Hàm số cú CĐ, CT Û PT fxÂ()0= cú 3 nghiệm phõn biệt Û m < 2 (*) 
 Khi đú toạ độ cỏc điểm cực trị là: A(0;m2 -5m+5),B( 2-m;1-m),C(-2--mm;1 ) 
 uuruuur
 ị AB=( 2-m;-m22+4m-4),AC=(--2m;-mm+-44) 
 1
 Do DABC luụn cõn tại A, nờn bài toỏn thoả món khi àA = 600 Û cos A = 
 2
 uuuruuur
 AB.1AC 3
 Û uuuruuur = Û m = 2 - 3 . 
 AB. AC 2
 Cõu hỏi tương tự đối với hàm số: y=x42-4(m-1)xm+-21 
 422
Cõu 31. Cho hàm số y=x+2mx++mm cú đồ thị (Cm) . 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2. 
 2) Với những giỏ trị nào của m thỡ đồ thị (Cm) cú ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị 
 đú lập thành một tam giỏc cú một gúc bằng 1200 . 
 3 2 ộx=0 
 ã Ta cú y =+44xmx ; yÂ=0Û4x(xm+)0=Ûờ (m < 0) 
 ởờ xm=±-
 Khi đú cỏc điểm cực trị là: A(0;m2 +m),B( -m;m),;C(--mm) 
 uur uuur
 AB=(--mm;)2 ; AC=(---mm;)2 . DABC cõn tại A nờn gúc 120o chớnh là àA . 
 uuruuur
 1AB.AC1--m.1-+mm4
 àA = 120o Ûcos A=-Û=-Û=- 
 uuruuur 4
 2AB. AC 22mm-
 ộm=0 ()loaùi
 mm+4 1
 Û=-ị2m+2m4=m-m44Û30mm+=Ûờ1 
 mm4- 2 ờm=-
 ởờ 33
 1
 Vậy m =- . 
 3 3
 42
Cõu 32. Cho hàm số y=x-21mxm+- cú đồ thị (Cm) . 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 
 2) Với những giỏ trị nào của m thỡ đồ thị (Cm) cú ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị 
 đú lập thành một tam giỏc cú bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp bằng 1. 
 Â 32ộx =0
 ã Ta cú y=4x-4mx=4x(xm-)0=Ûờ2 
 ởxm=
 Hàm số đó cho cú ba điểm cực trị Û PT y Â= 0 cú ba nghiệm phõn biệt và y  đổi dấu khi 
 x đi qua cỏc nghiệm đú Û>m 0 . Khi đú ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là: 
 A(0;m-1),B(-m;-m22+m-1),C( m;1-mm+-) 
 Trang 10 www.VNMATH.com
100 Khảo sỏt hàm số Trần Sĩ Tựng 
C õu 35. Cho hàm số y=+xx3 –31 cú đồ thị (C) và đường thẳng (d): y=mxm++3. 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tỡm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuụng gúc 
 với nhau. 
 • Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (C) và (d): x3–(m+=3)xm––20 
 2 ộxy=-=1(3)
 ⇔ (x+=1)(x–xm––2)0 ⇔ ờ 2 
 ởg(x)=x-xm--=20
 9
 d cắt (1) tại 3 điểm phõn biệt M(–1; 3), N, P ⇔ mm>-ạ,0 
 4
 2
 Khi đú: xxNP, là cỏc nghiệm của PT: x-xm--=20 ⇒ xN+xP=1;xNP.2xm=-- 
 2 2
 Hệ số gúc của tiếp tuyến tại N là kx1=-33N và tại P là kx2=-33P 
 2
 Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuụng gúc với nhau ⇔ kk12.1=- ⇔ 9mm+18+=10 
 -3+22--322
 ⇔ mm=Ú= 
 33
Cõu 36. Cho hàm số y=xx32-+34 (C) 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) cú hệ số gúc k. Tỡm k để (d) cắt (C) tại ba 
 điểm phõn biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuụng gúc với nhau. 
 • PT đường thẳng (d): y=-kx(2) 
 + PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x32-3x+4=-kx(2) 
 2 ộxx==2A
 ⇔ (x-2)(x-xk-2-=)0 ⇔ ờ 2 
 ởg(x)=x-xk-20-=
 + (d) cắt (C) tại 3 điểm phõn biệt A, M, N ⇔ PT gx()0= cú 2 nghiệm phõn biệt, khỏc 2 
 ỡD>0 9
 ⇔ ớ Û-<ạk0 (*) 
 ợ f(2)0ạ 4
 ỡxxMN+=1
 + Theo định lớ Viet ta cú: ớ 
 ợxMNxk=--2
 ÂÂ
 + Cỏc tiếp tuyến tại M và N vuụng gúc với nhau Û y(xMN).yx()1=- 
 -±322
 ⇔ (3x22-6x)(3xx-6)1=- ⇔ 9kk2+18+=10Û=k (thoả (*)) 
 MMNN 3
Cõu 37. Cho hàm số y=-xx3 3 (C) 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): y=mx(++1)2 luụn cắt đồ thị (C) tại 
 một điểm M cố định và xỏc định cỏc giỏ trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phõn biệt M, N, P 
 sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuụng gúc với nhau. 
 2 ộx +=10
 • PT hoành độ giao điểm (x+1)(x-xm-2-=)0 (1) ⇔ ờ2 
 ởx-xm-2-=0(2)
 (1) luụn cú 1 nghiệm x =-1 ( y = 2 ) ⇒ (d) luụn cắt (C) tại điểm M(–1; 2). 
 Trang 12 www.VNMATH.com
100 Khảo sỏt hàm số Trần Sĩ Tựng 
 Û Phương trỡnh x32-39x-xm=- cú 3 nghiệm phõn biệt lập thành cấp số cộng 
 Û Đường thẳng ym=- đi qua điểm uốn của đồ thị (C) 
 Û-mm=-11Û=11. 
 32
Cõu 41. Cho hàm số y=x-3mxx+-97 cú đồ thị (Cm), trong đú m là tham số thực. 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số đó cho khi m = 0 . 
 2) Tỡm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phõn biệt cú hoành độ lập thành cấp số cộng. 
 • Hoành độ cỏc giao điểm là nghiệm của phương trỡnh: x32-3mxx+9-=70 (1) 
 Gọi hoành độ cỏc giao điểm lần lượt là x1;;xx23 ta cú: x1+x23+=xm3 
 Để x1;;xx23 lập thành cấp số cộng thỡ xm2 = là nghiệm của phương trỡnh (1) 
 ộ
 ờm = 1
 ờ -+115
 ị -2mm3+9-=70 Û ờm = 
 ờ 2
 ờ --115
 ờm =
 ở 2
 --115
 Thử lại ta cú m = là giỏ trị cần tỡm. 
 2
 32
Cõu 42. Cho hàm số y=x--3mxmx cú đồ thị (Cm), trong đú m là tham số thực. 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số đó cho khi m = 1. 
 2) Tỡm m để (Cm) cắt đường thẳng d: yx=+2 tại 3 điểm phõn biệt cú hoành độ lập thành 
 cấp số nhõn. 
 • Xột phương trỡnh hoành độ giao điểm của (Cm) và d: 
 x3-3mx2-mx=x+2Ûg(x) =x32-3mx-(mx+1) -=20 
 Đk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phõn biệt cú hoành độ x1;;xx23 lần lượt lập thành cấp 
 số nhõn. Khi đú ta cú: g(x) =(x-x1)(x--x23)(xx) 
 ỡx1+x23+=xm3
 ù
 Suy ra: ớx1x2+x2x3+x13xm=--1 
 ù
 ợx1xx23= 2
 5
 Vỡ xx=x23ịxx=22ị=3 nờn ta cú: -m-1=4+3 2.3mmÛ=- 
 13222 33 21+
 5
 Đk đủ: Với m =- , thay vào tớnh nghiệm thấy thỏa món. 
 33 21+
 5
 Vậy m =- 
 33 21+
 32
Cõu 43. Cho hàm số y=x+2mx+(mx++3)4 cú đồ thị là (Cm) (m là tham số). 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trờn khi m = 1. 
 2) Cho đường thẳng (d): yx=+4 và điểm K(1; 3). Tỡm cỏc giỏ trị của m để (d) cắt (Cm) tại 
 ba điểm phõn biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giỏc KBC cú diện tớch bằng 82. 
 • Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (Cm) và d là: 
 x3+2mx22+(m+3)x+=+4x4Ûx(x+2mxm++=2)0 
 Trang 14 www.VNMATH.com
100 Khảo sỏt hàm số Trần Sĩ Tựng 
 Û k >-3 
 1 ộk=-1
 SDOAB =d(O,D).3AB=+kk ị kk+=32 Û ờ 
 2 ởk=-±13
 Vậy cú 3 đường thẳng thoả YCBT: y=-x+1;yx=(-1±-3)(1) . 
 3
Cõu 46. Cho hàm số y=x++mx 2 cú đồ thị (Cm) 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –3. 
 2) Tỡm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. 
 ã Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: 
 2
 x3 +mx +=20Ûm=-xx2-ạ(0) 
 x
 22-+22x3
 Xột hàm số: f(x)=-x2 -ịf'(xx)2=-+= 
 x xx22
 Ta cú bảng biến thiờn: 
 -Ơ +Ơ
 fxÂ()
 fx() +Ơ
 -Ơ -Ơ -Ơ 
 Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất Ûm >-3 . 
 32
Cõu 47. Cho hàm số y=2x-3(m++-1)x62mx cú đồ thị (Cm) 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 
 2) Tỡm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. 
 ã 1-3<m <+13 
Cõu 48. Cho hàm số y=x32-6xx+-96 cú đồ thị là (C). 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Định m để đường thẳng (d):y=--mxm24 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phõn biệt. 
 • PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x32-6x+9x-6=mxm--24 
 2 ộx = 2
 ⇔ (x-2)(x-4xm+1-=)0 ⇔ ờ 2 
 ởg(x)=x-4xm+10-=
 (d) cắt (C) tại ba điểm phõn biệt ⇔ PT gx()0= cú 2 nghiệm phõn biệt khỏc 2 ⇔ m >-3 
Cõu 49. Cho hàm số y=+xx32–31. 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tỡm m để đường thẳng (D): y=-(2m1)xm–4–1 cắt đồ thị (C) tại đỳng hai điểm phõn 
 biệt. 
 • Phương trỡnh hoành độ giao của (C) và (D): x32–3x–(2m–1)xm+4+=20 
 2 ộx = 2
 Û (x-=2)(x–xm–2–1)0 Û ờ 2 
 ởf(x)=x-xm-2-=10(1)
 ộ2 ạ=xx12
 (D) cắt (C) tại đỳng 2 điểm phõn biệt Û (1) phải cú nghiệm xx12, thỏa món: ờ 
 ởxx12=ạ2
 Trang 16 www.VNMATH.com
100 Khảo sỏt hàm số Trần Sĩ Tựng 
 ỡỹ4
 Vậy m =-ớý4; 
 ợỵ9
 13
 Cõu hỏi tương tự đối với hàm số y=-x42+2(m+2)xm--23 ĐS: mm=3, =- . 
 9
 42
Cõu 53. Cho hàm số y=x–(3m++2)3xm cú đồ thị là (Cm), m là tham số. 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 
 2) Tỡm m để đường thẳng y =-1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phõn biệt đều cú hoành độ nhỏ 
 hơn 2. 
 • Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y =-1: 
 42 42 ộx =±1 
 x–(3m+2)xm+31=- ⇔ x–(3m+2)xm+3+=10⇔ ờ 2 
 ởxm=+31(*)
 Đường thẳng y =-1cắt (Cm) tại 4 điểm phõn biệt cú hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi 
 phương trỡnh (*) cú hai nghiệm phõn biệt khỏc ±1 và nhỏ hơn 2 
 ỡ 1
 ùỡ0<3m+<14 ù-<<m 1
 ⇔ ớ ⇔ ớ 3 
 ợù3m+ạ11 ù
 ợm ạ 0
 42
Cõu 54. Cho hàm số y=x-2(m+1) xm++21 cú đồ thị là (Cm), m là tham số. 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 
 2) Tỡm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phõn biệt đều cú hoành độ nhỏ hơn 3. 
 • Xột phương trỡnh hoành độ giao điểm: x42-2(m+1) xm+2+=10 (1) 
 Đặt t=³xt2 ,0 thỡ (1) trở thành: f(t)=t2 -2(m+1)tm+2+=10. 
 (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phõn biệt cú hoành độ nhỏ hơn 3 
 ộ03=tt12<<
 Û ft( ) cú 2 nghiệm phõn biệt tt12, sao cho: ờ 
 ở03<tt12<Ê
 ỡD'0=>m2
 ỡD'0=>m2 ù
 ù ùfm()3=4-Ê40 1
 Ûớớf(0)=2m+1=01Ûmm=-Ú³ 
 Sm=2( +>10) 2
 ùùSm213
 ợ=(+<) ù
 ợPm=2+>10
 1
 Vậy: mm=-Ú³1. 
 2
Cõu 55. Cho hàm số y=x4-22m2x24++mm (1), với m là tham số. 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.. 
 2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luụn cắt trục Ox tại ớt nhất hai điểm phõn biệt, với mọi 
 m < 0 . 
 • Phương trỡnh hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và trục Ox: 
 x4-2m2x24+mm+=20 (1) 
 Đặt t=³xt2 ( 0) , (1) trở thành : t2-2m24t+mm+=20 (2) 
 Ta cú : D'=->20m và Sm=>202 với mọi m > 0. Nờn (2) cú nghiệm dương 
 ⇒ (1) cú ớt nhất 2 nghiệm phõn biệt ⇒ đồ thị hàm số (1) luụn cắt trục Ox tại ớt nhất hai 
 điểm phõn biệt. 
 Trang 18 www.VNMATH.com
100 Khảo sỏt hàm số Trần Sĩ Tựng 
 (I) cú hai nghiệm phõn biệt Û PT kx2 -(2k-3)x+kb+=30() cú hai nghiệm phõn biệt. 
 3
 Û kkạ<0,. 
 8
 2222ộự
 Ta biến đổi (a) trở thành: (1+k)(x2-x1) =90Û(1+k)ởỷ(x2+x1) -=4xx21 90 (c) 
 2kk-+33
 Theo định lớ Viet cho (b) ta cú: x+x==,,xx thế vào (c) ta cú phương 
 12kk12
 trỡnh: 8k3+27k22+8k-3=0Û(k+3)(8kk+3-=1)0 
 -3+41--341
 Ûk=-3;;kk==. 
 1616
 Kết luận: Vậy cú 3 giỏ trị của k thoả món như trờn. 
 22x -
Cõu 59. Cho hàm số y = (C). 
 x + 1
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tỡm m để đường thẳng (d): y=+2xm cắt (C) tại hai điểm phõn biệt A, B sao cho 
 AB = 5 . 
 22x -
 • PT hoành độ giao điểm: =+2xm ⇔ 2x2+mx+ mx+2=0(ạ-1) (1) 
 x +1
 d cắt (C) tại 2 điểm phõn biệt A, B ⇔ (1) cú 2 nghiệm phõn biệt xx12, khỏc –1 
 ⇔ mm2-8->160 (2) 
 ỡ m
 xx+=-
 ù 12 2
 Khi đú ta cú: ớ . Gọi A( x;2x++ m) , B( x;2xm ) . 
 m+ 2 1122
 ùxx =
 ợù 12 2
 2 22 2 2
 AB = 5 ⇔ (x1-+x2)4(xx12-=)5 ⇔ (x1+xx2)-=41x12 ⇔ mm-8-=200 
 ộm = 10
 ⇔ (thoả (2)) 
 ởờm =-2
 Vậy: mm=10;2=- . 
 x -1
Cõu 60. Cho hàm số y = (1). 
 xm+
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 
 2) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): yx=+2 cắt đồ thị hàm số (1) tại 
 hai điểm A và B sao cho AB = 22. 
 x-1 ỡxmạ-
 • PT hoành độ giao điểm: =x+Û2 ớ2 
 xm+ ợx+(m++1)x2m+=10 (*)
 d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phõn biệt ⇔ (*) cú hai nghiệm phõn biệt khỏc -m 
 ỡD>0 ỡmm2-6->30 ỡm+323
 ÛớÛÛớớ (**) 
 ợxmạ- ợmạ-1 ợmạ-1
 ỡx12+xm=-+(1)
 Khi đú gọi x12, x là cỏc nghiệm của (*), ta cú ớ 
 ợx12.xm=+21
 Cỏc giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là A(x1; x1++2), B(x22; x 2) . 
 Trang 20 www.VNMATH.com
100 Khảo sỏt hàm số Trần Sĩ Tựng 
 r
 • Gọi k là hệ số gúc của tiếp tuyến ị tiếp tuyến cú VTPT nk1=-(;1) 
 r
 Đường thẳng d cú VTPT n2 = (1;1) . 
 ộ 3
 rr k =
 nn12. 11k- 2 ờ
 Ta cú cosa =Û=Û12kk-26+120=Ûờ 2 
 nnrr. 2 2
 12 26 21k+ ờk=
 ở 3
 YCBT thoả món Û ớt nhất một trong hai phương trỡnh sau cú nghiệm: 
 ộ 3 ộ 2 3
 yÂ= 3x + 2(1- 2m)x + 2 - m = / 2
 ờ ờ 2 ộD 1 ³ 0 ộ8m - 2m -1 ³ 0
 ờ 2 Û ờ Û ờ Û ờ 
 2 2 / 2
 ờyÂ= ờ3x 2 + 2(1- 2m)x + 2 - m = ởờD 2 ³ 0 ởờ4m - m - 3 ³ 0
 ở 3 ởờ 3
 ộ 1 1
 m Ê - ;m ³
 ờ 4 2 1 1
 Û ờ Û m Ê - hoặc m ³ 
 3 4 2
 ờm Ê - ;m ³ 1
 ởờ 4
Cõu 64. Cho hàm số y=xx32-+31 cú đồ thị (C). 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tỡm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với 
 nhau và độ dài đoạn AB = 42. 
 ã Giả sử A(a;a3-3a2+1),B(b;bb32-+31) thuộc (C), với abạ . 
 Vỡ tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nờn: 
 yÂÂ(a)= yb() Û 3a2-6a=3b2-6bÛa22-b-2(a-b)=0Û(a-b)(ab+-=2)0 
 Û a+b-2=02Ûba=-. Vỡ abạ nờn aạ-21aaÛạ 
 Ta cú: AB=(b-a)2+(b3-3b2+1-a3+3a2-1)2=(b-a)2+(b3-a3--3(ba222)) 
 2
 23
 =(b-a)+-ởỷộự(ba)+3ab(b-a)-3(b-+a)()ba 
 2
 222
 =(b-a)+(b-a)ởỷộự(b-a)+-3ab 3.2 
 2
 222 222
 =(b-a)+(b-a)ởỷộự(b+a)6--ab =(b-a)+(b-a)(--2)ab 
 2 22222
 AB=(b-a)ởộ1+(-2-ab)ỷự=(2-2a)ởỷộự1+(aa--22) 
 2
 2ộựộ2ự2ộự42
 =4(a-1)ởỷờỳ1+ở(a-1)-3ỷ=4(a-1)ởỷ(aa-1)-6(-+1)10 
 =4(a-1)642-24(aa-1)+-40(1) 
 Mà AB = 42 nờn 4(a-1)6-24(aa-1)42+40(-=1)32 
 Û(a-1)6-6(aa-1)42+10(-1)-=80 (*) 
 Đặt t=(at->1)2 ,0. Khi đú (*) trở thành: 
 ộab=31ị=-
 t3-6t22+10t-8=0Û(t-4)(t-2tt+2)=04Û= ị(a-1)42=Û 
 ởờab=-13ị=
 Vậy 2 điểm thoả món YCBT là: AB(3;1),(--1;3) . 
 Trang 22 www.VNMATH.com
100 Khảo sỏt hàm số Trần Sĩ Tựng 
 22
Cõu 68. Cho hàm số y=( xx+-1) .1( ) 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Cho điểm Aa(;0). Tỡm a để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phõn biệt với đồ thị (C). 
 • Ta cú y=xx42-+21. 
 Phương trỡnh đường thẳng d đi qua Aa(;0) và cú hệ số gúc k : y=-k()xa 
 ùỡx42-2x+1=-k()xa
 d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trỡnh sau cú nghiệm: ()I 
 ớ 3
 ợù 44x-=xk
 ỡk =0 ùỡ4x(xk2 -=1)
 Ta cú: (IA)Û () hoặc ()B 
 ớ2 ớ 2
 ợx -=10 ợùf(x)=3x-4ax +=10(1)
 + Từ hệ (A), chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là dy1:0= . 
 + Vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phõn biệt với (C) thỡ điều kiện cần và đủ là hệ (B) phải 
 cú 2 nghiệm phõn biệt (xk;) với x ạ±1, tức là phương trỡnh (1) phải cú 2 nghiệm phõn 
 ỡDÂ=4a2 ->30 33
 biệt khỏc ±1 ⇔ ớ Û -11ạaa 
 ợf (±ạ1)0 22
Cõu 69. Cho hàm số y=f(x)2=-xx42. 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Trờn (C) lấy hai điểm phõn biệt A và B cú hoành độ lần lượt là a và b. Tỡm điều kiện đối 
 với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau. 
 ã Ta cú: f'(x)=-44xx3 
 33
 Hệ số gúc tiếp tuyến của (C) tại A và B là kAB=f'(aa)=4-4a,k=f'(b)=-44bb 
 Tiếp tuyến tại A, B lần lượt cú phương trỡnh là: 
 y=fÂ(a)(x-a)+f(a)Ûy=fÂÂ(a)x+-f(a)afa() 
 y=fÂ(b)(x-b)+f(b)Ûy=fÂÂ(b)x+-f(b)bfb() 
 Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trựng nhau khi và chỉ khi: 
 33 22
 kAB=kÛ4a-4a = 4b-4bÛ(a-b)(a+abb+-=1)0 (1) 
 Vỡ A và B phõn biệt nờn abạ , do đú (1) Û a22+abb+-=10 (2) 
 Mặt khỏc hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trựng nhau khi và chỉ khi: 
 ùùỡa22+abb+-=10 ỡa22+abb+-=10
 Û()abạÛ 
 ớớ4242
 ợùf(a)-afÂÂ(a)=-f(b)bfb() ợù-3a+2a=-+32bb
 Giải hệ này ta được nghiệm là (ab;)=-(1;1) hoặc (ab;)=-(1;1) , hai nghiệm này tương 
 ứng với cựng một cặp điểm trờn đồ thị là (--1;1) và (1;-1) 
 Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là: 
 ỡ a22+abb+-=10
 ớ 
 ợaạ±ạ1; ab
 2x
Cõu 70. Cho hàm số y = (C). 
 x + 2
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cỏch từ tõm đối xứng của đồ 
 thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. 
 Trang 24 www.VNMATH.com
100 Khảo sỏt hàm số Trần Sĩ Tựng 
 2) Tỡm trờn (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại 
 A, B sao cho AB ngắn nhất. 
 ổử1 1
 • Lấy điểm Mmỗữ;2+ ẻ(C) . Ta cú: ymÂ()=- 
 ốứm- 2 (m-2)2
 11
 Tiếp tuyến (d) tại M cú phương trỡnh: y=-(xm-)2++ 
 (m- 2)2 m- 2
 ổử2
 Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là: Aỗữ2;2+ 
 ốứm - 2
 Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là: Bm(2–2;2) 
 22ộự1 ộm = 3
 Ta cú: ABm=4ờỳ(-2)8+³. Dấu “=” xảy ra ⇔ 
 2 ờm = 1
 ởỷờỳ(m- 2) ở
 Vậy điểm M cần tỡm cú tọa độ là: M(3;3) hoặc M(1;1) 
 23x -
Cõu 74. Cho hàm số y = . 
 x - 2
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Cho M là điểm bất kỡ trờn (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt cỏc đường tiệm cận của (C) 
 tại A và B. Gọi I là giao điểm của cỏc đường tiệm cận. Tỡm toạ độ điểm M sao cho đường 
 trũn ngoại tiếp tam giỏc IAB cú diện tớch nhỏ nhất. 
 ổử23x - -1
 • Giả sử Mxx;0,2ạ , yx'()= 
 ỗữ000 2
 x0-2
 ốứ (x0 - 2)
 -1 23x -
 Phương trỡnh tiếp tuyến (D) với ( C) tại M: y=()xx-+0 
 2 0
 x0- 2
 ( x0- 2)
 ổử22x -
 Toạ độ giao điểm A, B của (D) với hai tiệm cận là: A2;0 ;Bx2-2;2 
 ỗữ( 0 )
 ốứx0-2
 xAB+xx2+-220 yAB+-yx230
 Ta thấy ===xx0 M , ==yM suy ra M là trung điểm 
 22 22x0 -
 của AB. 
 Mặt khỏc I(2; 2) và DIAB vuụng tại I nờn đường trũn ngoại tiếp tam giỏc IAB cú diện tớch 
 2
 ộựổửộự
 2ờỳ2223x0- 1
 S = pIM=p(xx00-2)+ỗữ-2=ppờỳ(-2)2+³ 
 ờỳỗữx-2 ờỳ(x-2)2
 ởỷốứ0ởỷ0
 1 ộx = 1
 Dấu “=” xảy ra khi (x -2)2 =Û0 
 0 2 ờx = 3
 (x0 - 2) ở 0
 Do đú điểm M cần tỡm là M(1; 1) hoặc M(3; 3) 
 2x +1
Cõu 75. Cho hàm số y = cú đồ thị (C). 
 x -1
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tỡm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại 
 M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vi tam giỏc IAB đạt giỏ trị nhỏ nhất. 
 Trang 26 www.VNMATH.com
100 Khảo sỏt hàm số Trần Sĩ Tựng 
 x + 3
Cõu 77. Cho hàm số y = . 
 x -1
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Cho điểm Mooo(xy;) thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt cỏc tiệm cận của (C) 
 tại cỏc điểm A và B. Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB. 
 4
 • Mooo(xy;) ∈ (C) ⇒ y0 =+1 . 
 x0 -1
 4
 Phương trỡnh tiếp tuyến (d) tại M : y-y=--()xx 
 0 002
 (x0 -1)
 Giao điểm của (d) với cỏc tiệm cận là: A(2x00--1;1),By(1;21) . 
 xA++xByyAB
 ⇒ ==xy; ⇒ M0 là trung điểm AB. 
 2200
 x + 2
Cõu 78. Cho hàm số : y = (C) 
 x -1
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam 
 giỏc cú diện tớch khụng đổi. 
 ổửa + 2
 • Giả sử Mỗữa; ∈ (C). 
 ốứa -1
 a + 2 -3aa2+-42
 PTTT (d) của (C) tại M: y=yÂ(a).()xa-+ ⇔ yx=+ 
 a-1 (aa--1)22(1)
 ổửa + 5
 Cỏc giao điểm của (d) với cỏc tiệm cận là: Aỗữ1; , Ba(2-1;1) . 
 ốứa -1
 đ ổử6 6 đ
 IA = ỗữ0; ị IA = ; IBa=-(22;0) ị IBa=-21 
 ốứa -1 a -1
 1
 Diện tớch DIAB : S = IA.IB = 6 (đvdt) ị ĐPCM. 
 DIAB 2
 24x -
 Cõu hỏi tương tự đối với hàm số y = ĐS: S = 12. 
 x +1
 x + 2
Cõu 79. Cho hàm số y = . 
 x +1
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận, D là một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị (C). d là 
 khoảng cỏch từ I đến D . Tỡm giỏ trị lớn nhất của d. 
 -1 ổửx +2
 ã y = . Giao điểm của hai đường tiệm cận là I(–1; 1). Giả sử MxC;0 ẻ() 
 2 ỗữ0
 (x +1) ốứx0 +1
 Phương trỡnh tiếp tuyến D với đồ thi hàm số tại M là: 
 -1 x+ 2 2
 y=()xx-+0 Ûx+x+1y-x-xx+1+=20 
 2 0 ( 0) 0( 00)( )
 x0+1
 (x0+1)
 Trang 28 www.VNMATH.com
100 Khảo sỏt hàm số Trần Sĩ Tựng 
 15
 Vậy cú ba phương trỡnh tiếp tuyến: y=x+; y=x+1;5 yx=+ 
 44
 21x -
Cõu 83. Cho hàm số y = . 
 1- x
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trờn (C) cú hoành độ là a. Tiếp 
 tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của 
 PQ và tớnh diện tớch tam giỏc IPQ. 
 ổử21a - 121a -
 • I(1;-2),;Aaỗữ. PT tiếp tuyến d tại A: y=()xa-+ 
 ốứ1- a (1--aa)12
 ổử2a
 Giao điểm của tiệm cận đứng và tiếp tuyến d: P ỗữ1; 
 ốứ1 - a
 Giao điểm của tiệm cận ngang và tiếp tuyến d: Qa(2–1;-2) 
 Ta cú: xP+ xQA==22ax. Vậy A là trung điểm của PQ. 
 22a
 IP = +=2 ; IQ = 2(a -1) 
 11--aa
 1
 SIPQ = IP.IQ = 2 (đvdt) 
 2
 23x -
Cõu 84. Cho hàm số y = (C). 
 x - 2
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Viết phương trỡnh tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến đú cắt tiệm cận đứng và 
 4
 tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho cụsin gúc ãABI bằng , với I là giao 2 tiệm cận. 
 17
 ổử23x0 -
 • I(2; 2). Gọi MỗữxC0;ẻ(), x0 ạ 2 
 ốứx0 -2
 1 23x -
 Phương trỡnh tiếp tuyến D tại M: y=-()xx-+0 
 2 0 x- 2
 (x0- 2) 0
 ổử22x0 -
 Giao điểm của D với cỏc tiệm cận: Aỗữ2; , Bx(20- 2;2) . 
 ốứx0 - 2
 ã 4 ã 1 IA 22 4 ộx0 = 0
 Do cos ABI = nờn tan ABI == Û IB= 16.IA Û (x0 -=2)16 Û ờ 
 17 4 IB ởx0 = 4
 ổử3 13
 Kết luận: Tại M ỗữ0; phương trỡnh tiếp tuyến: yx=-+ 
 ốứ2 42
 ổử5 17
 Tại M ỗữ4; phương trỡnh tiếp tuyến: yx=-+ 
 ốứ3 42
 Trang 30 www.VNMATH.com
100 Khảo sỏt hàm số Trần Sĩ Tựng 
 34t -
 2m = với t ẻ ộự0;1 
 t - 2 ởỷ
 ộsin2xt=-
 Nhận xột : với mỗi t ẻ ởỷộự0;1 ta cú : ờ Û=sin2xt 
 ởsin2xt=
 ộự2p ộử33ộử
 Để (*) cú 2 nghiệm thuộc đoạn 0; thỡ ttẻờ ;1ữịẻ ;1 
 ờỳ ữ ờ ữ
 ởỷ3 ởứờ 24ởứ
 ổử3717
 Dưa vào đồ thị (C) ta cú: y(1)<2mÊymỗữÛ12<Ê Û <Êm . 
 ốứ45210
 x +1
Cõu 89. Cho hàm số y = . 
 x -1
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 x +1
 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh = m. 
 x -1
 x +1 x +1
 ã Số nghiệm của = m bằng số giao điểm của đồ thị (CÂ): y = và ym= . 
 x -1 x -1
 Dựa vào đồ thị ta suy ra được: 
 mm1;1 m =-1 -11<Êm 
 2 nghiệm 1 nghiệm vụ nghiệm 
Cõu 90. Cho hàm số: y=xx42-+21. 
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 42
 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh: x-2xm+1+=log02 (m > 0) 
 42 42
 ã x-2xm+1+=log02 Û x-2xm+1=-log2 (*) 
 42
 + Số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị y=xx-+21 và ym=-log2 
 + Từ đồ thị suy ra: 
 1 1 1
 0 1 
 2 2 2
 2 nghiệm 3 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vụ nghiệm 
 KSHS 06: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ 
 21x +
Cõu 91. Cho hàm số y = (C). 
 x +1
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tỡm trờn (C) những điểm cú tổng khoảng cỏch đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất. 
 21x0+ 1
 ã Gọi M(xy00;)ẻ (C), ( x0 ạ-1) thỡ y0==-2 
 xx00++11
 Gọi A, B lần lượt là hỡnh chiếu của M trờn TCĐ và TCN thỡ: 
 Trang 32 www.VNMATH.com
100 Khảo sỏt hàm số Trần Sĩ Tựng 
 33
 y++y(-x1+3x1+2) +(-xx22++32) xx
 Cú: 12==+2.212 
 222
 3 ộxx12+=0
 ị-(x1+x2) +3x1x2(x1+x2) +32(x1+x2) =(xx12+ị) ờ22 
 ởx1-x1xx22+=1
 Lại cú: MN^dị(x2-x1).1+( yy21-=).20 
 22227
 ị7(x2-x1)-20(x2-x1)(x1+x1x2+x2)=ịx1+x1xx22+= 
 2
 77
 - Xột xx+=0 ịxx=±=; 
 12 1222m
 ỡ 9
 ỡx22-xxx+=1 xx22+=
 ùù1122 ù124
 - Xột ớớ7 Ûị vụ nghiệm 
 22 5
 ùùx1+x1xx22+=
 ợ2 xx12=
 ợù4
 ổ717ửổử717
 Vậy 2 điểm cần tỡm là: ỗ;2-ữ;ỗữ-+;2 
 ố222ứốứ222
 21x -
Cõu 95. Cho hàm số y = (C). 
 x +1
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tỡm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và 
 giao điểm hai đường tiệm cận cú tớch cỏc hệ số gúc bằng –9. 
 • Giao điểm 2 tiệm cận là I(-1;2). 
 ổử33yyMI- -
 Gọi Mỗữx;2-ẻ()Ckị== 
 0 x+-1 IM xx 2
 ốứ0 MI(x0 +1)
 3
 + Hệ số gúc của tiếp tuyến tại M: k==yxÂ() 
 M 0 2
 (x0 +1)
 ộx0 = 0 
 + YCBT ÛkkM.9IM =- ⇔ ờ . Vậy cú 2 điểm M thỏa món: M(0; –3) và M(–2; 5) 
 ởx0 =-2
 x3 11
Cõu 96. Cho hàm số y=-+xx2+-3 . 
 33
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tỡm trờn đồ thị (C) hai điểm phõn biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung. 
 ùỡxx21=-ạ0
 • Hai điểm M(x1;y1),N(x22;yC)ẻ() đối xứng nhau qua Oy ⇔ ớ 
 ợù yy12=
 ỡ xx21=-ạ0
 ù ùỡ x1 = 3 ùỡx1 =-3
 ⇔ ớxx33 ⇔ ớ hoặc ớ 
 12231111 x =-3 x = 3
 ù-+x+33x-=-+xx+-2 ợù 2 ợù 2
 ợ 3112333
 ổ16ửổử16
 Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) và đối xứng qua Oy là: MNỗ3;ữ,ỗữ-3; . 
 ố33ứốứ
 Trang 34 www.VNMATH.com
100 Khảo sỏt hàm số Trần Sĩ Tựng 
 Û xy00=-10ị= 
 Vậy 2 điểm cần tỡm là: (-1;0) và (-1;6) 
 x + 2
Cõu 100. Cho hàm số y = . 
 21x -
 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tỡm những điểm trờn đồ thị (C) cỏch đều hai điểm A(2; 0) và B(0; 2). 
 • PT đường trung trực đọan AB: yx= . 
 Những điểm thuộc đồ thị cỏch đều A và B cú hoành độ là nghiệm của PT: 
 ộ 15-
 x+2 ờx =
 = x ⇔ xx2--10=Ûờ 2 
 21x - ờ 15+
 x=
 ởờ 2
 ổ1-51-5ửổử1++515
 Hai điểm cần tỡm là: ỗ,ữ;,ỗữ 
 ỗữỗữ
 ố22ứốứ22
 Trang 36