Bài giảng Toán 12 (Kết nối tri thức) - Chương V: Phương pháp tọa độ trong không gian - Bài 17: Phương trình mặt cầu

 CHÀO MỪNG CÁC EM 
 ĐẾN VỚI TIẾT HỌC 
 MÔN TOÁN! KHỞI ĐỘNG 
 Bằng ứng dụng Google Maps, thực hiện
 phép đo khoảng cách trên bề mặt Trái
 Đất từ vị trí 10° , 15° đến vị trí
 80° , 70° ta sẽ được khoảng cách
 8271,74 km (H.5.40). Cơ sở toán học
 cho việc thiết lập phần mềm tính công
 thức khoảng cách trên bề mặt Trái Đất
 là gì? CHƯƠNG V. PHƯƠNG PHÁP 
TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
 BÀI 17: 
 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU NỘI DUNG BÀI HỌC 
 1 2
 Một số ứng dụng
 Phương trình của phương trình
 mặt cầu mặt cầu trong
 thực tiễn 1. 
PHƯƠNG TRÌNH
MẶT CẦU Nhắc lại kiến thức
Mặt cầu tâm bán kính 푅 (푅 > 0) là tập các điểm trong không gian cách 
một khoảng bằng ℝ.
Một điểm được gọi là nằm trong mặt cầu tâm bán kính ℝ nếu < 푅 
và được gọi là nằm ngoài mặt cầu đó nếu > 푅.
Mỗi đường thẳng đi qua tâm mặt cầu đều cắt mặt cầu tại hai điểm phân 
biệt, đoạn thẳng nối hai điểm đó được gọi là một đường kính của mặt cầu. 
Mỗi đường kính của mặt cầu đều có trung điểm là tâm mặt cầu và có độ dài 
bằng hai lần bán kính mặt cầu. HĐ1. Tìm phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính
Trong không gian , cho mặt cầu (푆) tâm ( ; ; ) bán kính 푅 
(H.5.41). Khi đó, một điểm ( ; ; ) thuộc mặt cầu (푆) khi và chỉ khi toạ
độ của nó thoả mãn điều kiện gì?
 Giải
 Một điểm thuộc mặt cầu khi và chỉ khi 
 2 = 푅2
 ⇔ − 2 + − 2 + − 2 = 푅2 KẾT LUẬN 
Trong không01 gian , mặt cầu (푆) tâm ( ; ; ) bán kính 푅 
có phương trình
 2 2 2 2
 What is− a+ − + − = 푅
ChúPolygon? ý:
• Điểm ( ; ; ) nằm trong mặt cầu (푆) nếu
 − 2 + − 2 + − 2 < 푅2
• Điểm ( ; ; ) nằm ngoài mặt cầu (푆) nếu 
 − 2 + − 2 + − 2 > 푅2 Ví dụ 1: Trong không gian , cho mặt cầu (푆) có phương trình
 ( − 1)2 + ( + 3)2 + 2 = 5.
a) Xác định tâm và bán kính của (푆).
b) Hỏi gốc toạ độ (0; 0; 0) nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu (푆)?
 Giải
 a) Ta viết lại phương trình của mặt cầu (푆) dưới dạng:
 ( − 1)2 + − (−3) 2 + ( − 0)2 = ( 5)2
 Vậy mặt cầu (푆) có tâm (1; − 3; 0) và bán kính 푅 = 5.
 b) Ta có 2 = (0 − 1)2 + (0 + 3)2 + (0 − 0)2 = 10 > 5 = 푅2.
 Do đó, gốc toạ độ (0; 0; 0) nằm ngoài mặt cầu (푆). Luyện tập 1. Trong không gian , cho mặt cầu (푆) có phương trình
 2
 1 9
 + 2 2 + 2 + + =
 2 4
a) Xác định tâm và bán kính của (푆).
b) Hỏi điểm (2; 0; 1) nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu (푆)?
 Giải
 1 3
 a) Mặt cầu 푆 có tâm −2; 0; − và 푅 =
 2 2 Luyện tập 1. Trong không gian , cho mặt cầu (푆) có phương trình
 2
 1 9
 + 2 2 + 2 + + =
 2 4
a) Xác định tâm và bán kính của (푆).
b) Hỏi điểm (2; 0; 1) nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu (푆)?
 Giải
 2
 3 73
 b) Có = 42 + 02 + = > 푅
 2 2
 Vậy điểm nằm ngoài mặt cầu. Ví dụ 2: Trong không gian , viết phương trình mặt cầu (푆) trong các
trường hợp sau:
 3 9
a) Tâm ; 0; −3 , bán kính 푅 = .
 2 4
b) Đường kính , với (1; 2; 1) và (3; 1; 5).
 Giải
 3 9
a) Mặt cầu 푆 có tâm ; 0; −3 và có bán kính 푅 = nên có phương trình:
 2 4
 2 2 2
 3 9 3 81
 − + − 0 2 + + 3 2 = hay 푆 : − + 2 + + 3 2 =
 2 4 2 16 Giải
 3
b) Đoạn thẳng có trung điểm là 퐽 2; ; 3 .
 2
Mặt cầu (푆) có tâm 퐽 và bán kính 
 1 1 21
 푅 = = 3 − 1 2 + 1 − 2 2 + 5 − 1 2 =
 2 2 2
 2
 3 21
Do đó 푆 : − 2 2 + − + − 3 2 = .
 2 4 Luyện tập 2. Trong không gian , viết phương trình mặt cầu (푆) trong
các trường hợp sau:
a) Tâm là gốc toạ độ, bán kính 푅 = 1.
b) Đường kính , với (1; −1; 2), (2; −3; −1).
 Giải
 a) Phương trình mặt cầu tâm (0; 0; 0) bán kính 푅
 = 1 là 
 2 + 2 + 2 = 1. Luyện tập 2. Trong không gian , viết phương trình mặt cầu (푆) trong
các trường hợp sau:
a) Tâm là gốc toạ độ, bán kính 푅 = 1.
b) Đường kính , với (1; −1; 2), (2; −3; −1).
 Giải b) Mặt cầu đường kính có tâm là trung điểm của 
 3 1 14
 , ta có ; −2; , bán kính là 푅 = = .
 2 2 2
 Phương trình mặt cầu đường kính là:
 2 2
 3 1 7
 − + + 2 2 + − = .
 2 2 2 Ví dụ 3: Trong không gian , cho (푆) là tập hợp các điểm ( ; ; ) có
toạ độ thoả mãn phương trình: 2 + 2 + 2 − 2 + 4 − 6 − 2 = 0.
Chứng minh rằng (푆) là một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu 
đó.
 Giải
 Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng: 
 (푆): ( 2 − 2 + 1) + ( 2 + 4 + 4) + ( 2 − 6 + 9) = 16
 Hay 푆 : − 1 2 + ( + 2)2 + − 3 2 = 42
 Vậy (푆) là mặt cầu có tâm (1; −2; 3) và bán kính 푅 = 4. Luyện tập 3. Trong không gian , cho (푆) là tập hợp các điểm ( ; ; )
có toạ độ thoả mãn phương trình: (푆): 2 + 2 + 2 − 4 + 6 − 12 = 0. Chứng
minh rằng (푆) là một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
 Giải
 Ta có:
 2 + 2 + 2 − 4 + 6 − 12 = 0
 ⇔ 2 − 4 + 2 + 6 + 9 + 2 = 25
 ⇔ − 2 2 + + 3 2 + 2 = 25
 Vậy (푆) là mặt cầu có tâm (2; −3; 0) và 푅 = 5. Nhận xét:
Với , , , là các hằng số, phương trình 2 + 2 + 2 − 2 −
2 − 2 + = 0 có thể viết lại thành − 2 + − 2 +
 − 2 = 2 + 2 + 2 − và là phương trình của một mặt cầu (푆) 
khi và chỉ khi 2 + 2 + 2 − > 0. Khi đó, (푆) có tâm ( ; ; ) và 
bán kính 푅 = 2 + 2 + 2 − . Ví dụ 4: Trong không gian , phương trình nào trong các phương trình
sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của
mặt cầu ứng với phương trình đó.
a) 2 + 2 + 2 − 2 + 3 − 8 + 100 = 0.
 3
b) 2 + 2 + 2 − 4 + 5 − 2 − = 0.
 4
c) 2 + 2 + 2 − 2 + 6 − 9 + 10 = 0. Giải
 3
a) Phương trình đã cho tương ứng với = 1, = − , = 4, = 100.
 2
 9
Trong trường hợp này, 2 + 2 + 2 − = 1 + + 16 − 100 < 0.
 4
Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu. Giải
 5 3
b) Phương trình đã cho tương ứng với = 2, = − , = 1, = − .
 2 4
 25 3
Trong trường hợp này, 2 + 2 + 2 − = 4 + + 1 + = 12 > 0. Do đó
 4 4
 5
phương trình đã cho là phương trình của mặt cầu có tâm 2; − ; 1 và
 2
bán kính 푅 = 12 = 2 3 .
c) Phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu vì
xuất hiện −2 trong phương trình.