Bài giảng Toán 12 (Kết nối tri thức) - Chương VI, Bài 18: Xác suất có điều kiện

 CHÀO MỪNG CÁC EM 
 QUAY LẠI VỚI 
 MÔN HỌC! KHỞI ĐỘNG 
Ô cửa bí mật (Let’s Make a Deal) là một trò chơi trên truyền hình nổi tiếng 
ở Mỹ, đã được mua bản quyền và phát sóng ở nhiều nước trên thế giới. 
Nội dung trò chơi như sau:
Người chơi được mời lên sân khấu và đứng trước ba cánh cửa đóng kín. 
Sau một cánh cửa có chiếc ô tô, sau mỗi cánh cửa còn lại là một con lừa. 
Người chơi được yêu cầu chọn ngẫu nhiên một cánh cửa, nhưng không 
được mở ra. KHỞI ĐỘNG 
Tiếp đó người quản trò tuyên bố sẽ mở ngẫu nhiên một trong hai cánh cửa 
người chơi không chọn mà sau cửa đó là con lừa. Người quản trò hỏi 
người chơi muốn giữ lại nguyên sự lựa chọn ban đầu của mình hay muốn 
chuyển sang cửa chưa mở còn lại. CHƯƠNG VI. 
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
 BÀI 18: XÁC SUẤT 
 CÓ ĐIỀU KIỆN NỘI DUNG BÀI HỌC 
 1 2
 Xác suất có Công thức nhân
 điều kiện xác suất 1.
 XÁC SUẤT 
CÓ ĐIỀU KIỆN HĐ1. Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen,
các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên
một chiếc bút bi trong hộp, không trả lại. Sau đó Tùng lấy ngẫu nhiên một
trong 11 chiếc bút còn lại. Tính xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh nếu
biết rằng Sơn đã lấy được bút bi đen.
 Giải
 Nếu Sơn lấy được bút bi đen thì trong 11 chiếc bút còn lại có 7 
 bút bi xanh và 4 bút bi đen.
 Vậy xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh khi biết Sơn lấy được
 7
 bút bi đen là .
 11 Định nghĩa
Cho hai biến cố và . Xác suất của biến cố , 
được tính khi biết biến cố đã xảy ra, được gọi là 
xác suất của với điều kiện và kí hiệu là 푃( | ).
 Công thức
Cho hai biến cố và bất kì, với 푃 > 0. Khi đó
 푃 
 푃 =
 푃 Ví dụ 1: Một hộp có 20 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng
kích thước và khối lượng. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp,
không trả lại. Sau đó bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó. Gọi 
là biến cố: “An lấy được viên bi trắng”; là biến cố: “Bình lấy được viên bi
trắng”. Tính 푃( | ) bằng định nghĩa và bằng công thức tính 푃( | ) ở trên.
 Giải
 Cách 1: Bằng định nghĩa
 Nếu xảy ra tức là Bình lấy được viên bi trắng. Khi đó, trong hộp
 còn lại 29 viên bi với 19 viên bi trắng và 10 viên bi đen.
 19
 Vậy 푃( | ) = .
 29 Giải
Cách 2: Bằng công thức
Bình có 30 cách chọn, An có 29 cách chọn một viên bi trong hộp. 
Do đó 푛 Ω = 30.29
Bình có 20 cách chọn một viên bi trắng, An có 29 cách chọn từ 29 
viên bi còn lại.
 푛( )
Do đó 푛 = 20.29 và 푃 = .
 푛 Ω Giải
 là biến cố “Bình và An cùng lấy được viên bi trắng”. Bình có 20
cách chọn một viên bi trắng, An có 19 cách chọn một viên bi trắng
trong 19 viên bi trắng còn lại.
 푛( )
Do đó 푛 = 20.19 và 푃 = .
 푛 Ω
 푃 푛 20.19 19
Vậy đó 푃( | ) = = = = .
 푃 푛 20.29 29 Luyện tập 1. Trở lại Ví dụ 1. Tính 푃( | ത) bằng định nghĩa và bằng công thức.
 Giải Bằng định nghĩa:
 Nếu không xảy ra tức là Bình lấy được viên bi đen. 
 Khi đó, trong hộp còn lại 29 viên bi với 20 viên bi trắng và 9 viên bi đen. 
 20
 Vậy 푃 ത = .
 29
 Bằng công thức:
 Bình có 10 cách chọn bi đen. An có 29 cách chọn từ 29 viên còn lại. 
 Vậy 푛 ത = 10.29 Luyện tập 1. Trở lại Ví dụ 1. Tính 푃( | ത) bằng định nghĩa và bằng công thức.
 Giải
 푛( ത)
 Suy ra 푃 ത = .
 푛(Ω)
 Bình có 10 cách chọn bi đen. An có 20 cách chọn viên bi trắng. 
 Vậy 푛 ത = 20.10 
 푛( ത)
 Suy ra 푃 ത =
 푛(Ω)
 푃 ത 푛( ത) 20.10 20
 Vậy 푃 ത = = = =
 푃 ത 푛( ത) 10.29 29 Ví dụ 2: 
a) Từ công thức tính 푃( | ) ở trên, chứng minh rằng nếu và là hai biến cố
độc lập với 푃( ) > 0, 푃( ) > 0 thì 푃( | ) = 푃( ) và 푃( | ) = 푃( ).
b) Từ định nghĩa xác suất có điều kiện và định nghĩa về tính độc lập của hai biến
cố, hãy chứng tỏ rằng nếu và là hai biến cố độc lập thì 푃( | ) = 푃( ) và
푃( | ) = 푃( ).
 Giải
 a) Nếu và là hai biến cố độc lập thì 푃( ) = 푃( ) · 푃( ).
Vậy với 푃( ) > 0, 푃( ) > 0 ta có:
 푃 푃 · 푃 푃 푃 · 푃 
 푃( | ) = = = 푃( ); 푃( | ) = = = 푃( )
 푃 푃 푃 푃 Giải
b) Theo định nghĩa, 푃( | ) là xác suất của , tính trong điều kiện biết rằng
biến cố đã xảy ra.
Vì , độc lập nên việc xảy ra không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của
 . Do đó: 푃( | ) = 푃( ).
Tương tự, 푃( | ) là xác suất của , tính trong điều kiện biết rằng biến cố 
đã xảy ra.
Vì , độc lập nên việc xảy ra không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của
 . Do đó: 푃( | ) = 푃( ). Luyện tập 2. Chứng tỏ rằng nếu và là hai biến cố độc lập thì:
 푃 ҧ = 푃( ҧ) và 푃 ത = 푃( ).
 Giải
Theo định nghĩa 푃( ҧ| ) là xác suất của ҧ biết rằng biến cố đã xảy ra.
Vì ҧ, độc lập nên việc xảy ra không ảnh hưởng tới xác suất không 
xuất hiện của . Do đó 푃 ҧ = 푃( ҧ).
Tương tự 푃( | ത) là xác suất của biết rằng biến cố không xảy ra. 
Vì , ത độc lập nên việc không xảy ra không ảnh hưởng tới xác suất 
xuất hiện của . Do đó 푃 ത = 푃( ). Ví dụ 3: (Bảng dữ liệu thống kê 2x2) Một viện nghiên cứu về an toàn giao thông
muốn tìm hiểu về mối quan hệ giữa việc thắt dây an toàn khi lái xe và nguy cơ
tử vong của người lái xe khi xảy ra tai nạn giao thông. Giả sử viện đã xem xét
577 006 vụ tai nạn giao thông ô tô và việc thắt dây an toàn của người lái xe khi
xảy ra tai nạn giao thông. Kết quả cho thấy:
• Trong số những người lái xe có thắt dây an toàn, có 510 người tử vong và
 412 368 người sống sót;
• Trong số những người lái xe không thắt dây an toàn, có 1 601 người tử vong
 và 162 527 người sống sót.
Kết quả trên được trình bày dưới dạng bảng gồm 2 dòng và 2 cột như dưới
đây, được gọi là bảng dữ liệu thống kê 2 x 2: Chọn ngẫu nhiên một người lái xe trong số 577 006 người bị tai nạn
giao thông.
a) Tính xác suất để người lái xe đó tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông
trong trường hợp không thắt dây an toàn.
b) Tính xác suất để người lái xe đó tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông
trong trường hợp có thắt dây an toàn.
c) So sánh hai xác suất ở câu a và câu b rồi rút ra kết luận. Giải
a) Không gian mẫu Ω là tập hợp gồm 577 006 người lái xe xảy ra tai nạn giao thông 
 ⇒ 푛(Ω) = 577 006.
Gọi là biến cố: “Người lái xe đó tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông”;
 là biến cố: “Người lái xe đó không thắt dây an toàn khi xảy ra tai nạn giao thông”.
Khi đó là biến cố: “Người lái xe đó tử vong và không thắt dây an toàn khi xảy ra
tai nạn giao thông”.
Ta cần tính 푃( | ).
Ta có 162 527 + 1 601 = 164 128 người không thắt dây an toàn
 ⇒ 푛( ) = 164 128. Giải
 푛 164 128
Vậy 푃 = = .
 푛 Ω 577 006
Trong số những người không thắt dây an toàn, có 1 601 người tử vong khi xảy ra
tai nạn giao thông
 ⇒ 푛( ) = 1 601. 
 푛( ) 1 601
Vậy 푃 = = .
 푛(Ω) 577 006
 푃 1 601
Do đó 푃( | ) = = ≈ 9,755. 10−3 = 0,009755.
 푃 164 128