Bài tập Chuyên đề môn Toán Lớp 11 - Chuyên đề Giới hạn-Liên tục

 CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC
 PHẦN I. GIỚI HẠN DÃY SỐ
 A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
 GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt:
 1 1 k 
 lim 0 ; lim 0 (k ¢ ) lim n lim n (k ¢ )
 n n n k
 n lim qn (q 1)
 n
 lim q 0 ( q 1) ; lim C C 2. Định lí:
 n n 
2. Định lí : 1
 a) Nếu lim un thì lim 0
 a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì un
 lim (un + vn) = a + b
 un
 lim (un – vn) = a – b b) Nếu lim un = a, lim vn = thì lim = 0
 vn
 lim (un.vn) = a.b
 u a c) Nếu lim un = a 0, lim vn = 0 
 lim n (nếu b 0)
 un neáu a.vn 0
 vn b thì lim = 
 neáu a.v 0
 vn n
 b) Nếu un 0, n và lim un= a
 d) Nếu lim u = + , lim v = a
 thì a 0 và lim u a n n
 n neáu a 0
 thì lim(un.vn) = 
 c) Nếu un vn ,n và lim vn = 0 neáu a 0
 thì lim un = 0
 * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô 
 d) Nếu lim un = a thì lim un a
 0 
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn định: , , – , 0. thì phải tìm cách khử 
 0 
 u
 2 1
 S = u1 + u1q + u1q +  = q 1 dạng vô định.
 1 q
 B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
 Phương pháp giải: 
 Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
 f (n)
 Khi tìm lim ta thường chia cả tử và mẫu cho nk , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
 g(n)
 k m 
 Khi tìm lim f (n) g(n) trong đó lim f (n) lim g(n) ta thường tách và sử dụng 
 phương pháp nhân lượng liên hơn.
 + Dùng các hằng đẳng thức:
 a b a b a b; 3 a 3 b 3 a2 3 ab 3 b2 a b
 Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
 Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
 Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ 
 thừa cao nhất của tử và của mẫu.
 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử 
 và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
 2n 1
 Câu 1. Giá trị của. A lim bằng:
 1 3n
 2
 A. B. C. D. 1
 3
 1 2n 
 Câu 2. Giá trị của lim bằng:
 4n 
 1 1
 A. B. C. 2 D. 1
 2 4 n 1 4
Câu 17. Tính giới hạn: lim
 n 1 n
 1
 A..1B.. C.0 D. .1
 2
Câu 18. lim 3 n2 n3 +n có giá trị bằng
 1
 A. . B. . C. 1. D. 0 .
 3
Câu 19. Giá trị của. H lim n2 n 1 n bằng:
 1
 A. B. C. D. 1
 2
Câu 20. Giá trị của lim -n - 2n2 4n 3 bằng:
 A. B. C. 0 D. 1
 1 3 5 .... 2n 1 
Câu 21. Tính giới hạn: lim
 3n2 4
 1 2
 A..0B.. C..D.. 1
 3 3
 n2 1 1
Câu 22. Chọn kết quả đúng của lim 3 .
 3 n2 2n
 1
 A. .4 B. . 3 C. . 2 D. .
 2
Câu 23. Giá trị của. M lim n2 6n n bằng:
 A. B. C. 3 D. 1
Câu 24. Giá trị của B lim 2n2 1 n bằng:
 A. B. C. 0 D. 1
Câu 25. Giá trị đúng của lim n2 1 3n2 2 là:
 A. . B. . C. . 0 D. . 1
Câu 26. Giá trị của B lim 3 n3 9n2 n bằng:
 A. B. C. 0 D. 3
 1 2 3 ... n
Câu 27. lim có giá trị bằng
 n2 2
 1
 A. 1.B. .C. 0 .D. .
 2
 1 1 1 
Câu 28. có giá trị bằng
 lim ... 
 1.2 2.3 n n 1 
 1
 A. .B. 1.C. 0 .D. .
 2
 1 3 5 ...... (2n 1)
Câu 29. Tính giới hạn: lim
 3n 2 4
 1 2
 A. 0. B. . C. . D. 1.
 3 3
 1 1 1 
Câu 30. Tính giới hạn: lim ...... 
 1.3 3.5 n(2n 1) 
 2
 A. 1. B. 0. C. . D. 2.
 3 A. B. C. 9 D. 1
 x 3 2
Câu 5. lim có giá trị bằng A. B. C. 
 x 1 x 1
 1
 2 D. 
 4
 x 3
Câu 6. lim có giá trị bằng 
 x x 2
 A. B. C. 2 D. 1
 2x2 x 1
Câu 7. lim có giá trị bằng 
 x x 2
 A. B. C. 2 D. 1
 3x 2
Câu 8. lim có giá trị bằng 
 x 1 2x 1
 A. B. C. 5 D. 1
 4x2 3x
Câu 9. Cho hàm số f (x) . Chọn kết quả đúng của lim f (x) :
 2x 1 x3 2 x 2
 5 5 5 2
 A. . B. . C. . D. .
 9 3 9 9
 x 4 2
Câu 10. lim có giá trị bằng 
 x 0 2x
 1
 A. B. C. 2 D. 1
 8
 4x 3
Câu 11. lim có giá trị bằng 
 x 1 x 1
 A. B. C. 2 D. 1
 3x 1
Câu 12. lim có giá trị bằng 
 x 2 x 2
 A. B. C. 2 D. 1
 2x2 x 3
Câu 13. lim có giá trị bằng 
 x 1 x 1
 A. B. 5 C. 2 D. 1
 x 1
Câu 14. lim có giá trị bằng 
 x 2 2 x 4
 A. B. C. 2 D. 1
 3x2
Câu 15. lim có giá trị bằng 
 x 2x2 1
 3
 A. B. C. D. 1
 2
Câu 16. lim x2 x 1 có giá trị bằng 
 x 
 A. B. C. 2 D. 1
 x2 4
Câu 17. lim có giá trị bằng 
 x 2 x4 1 2 x 
 A. B. C. 0 D. 1
 x2 3x 2
Câu 18. lim có giá trị bằng 
 x 1 x 1
 A. B. C. 2 D. 1
 x2 x 1
Câu 19. A lim có giá trị bằng 
 x 1 x 1 1
 A. B. C. D. 1
 6
 0
 DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 
 0
 P(x)
1. L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0
 x x0 Q(x)
 Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
Chú ý: 
 2
 + Nếu tam thức bậc hai ax bx+c có hai nghiệm x1, x2 thì ta luôn có sự phân tích
 2
 ax bx c a(x x1)(x x2 ) .
 + an bn (a b)(an 1 an 2b ... abn 2 bn 1)
 P(x)
2. L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
 x x0 Q(x)
 Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
Các lượng liên hợp:
 + ( a b)( a b) a b
 3 3 3 2 3 3 2
 + ( a b)( a  ab b ) a b
 + ( n a n b)( n an 1 n an 2b ... n bn 1 ) a b
 P(x)
3. L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc
 x x0 Q(x)
 m n m n
 Giả sử: P(x) = u(x) v(x) vôùi u(x0 ) v(x0 ) a . 
 Ta phân tích P(x) = m u(x) a a n v(x) .
Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như 
 sau: n u(x) m v(x) ( n u(x) m(x)) (m v(x) m(x)) , trong đó m(x) c .
Câu 1. .0. có giá trị bằng
 A. . B. .C. 3 .D. 1.
 x4 1
Câu 2. lim có giá trị bằng
 x 1 x 1
 A. 4 .B. 2 .C. 1.D. .
 x4 1
Câu 3. lim có giá trị bằng
 x 1 x3 1
 4 3
 A. .B. .C. 1.D. .
 3 4
 x2 3x 2
Câu 4. lim có giá trị bằng
 x 2 3x 6
 2 1 1
 A. . B. .C. .D. 1.
 3 3 3
 x2 x 6
Câu 5. lim có giá trị bằng
 x 3 x 2
 A. 6 .B. 0 .C. 1.D. .
 x2 x 6
Câu 6. lim có giá trị bằng
 x 2 3x 6
 5 4 5
 A. .B. .C. .D. .
 3 3 3 x2 2x 1
Câu 19. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là:
 x 1 2x3 2
 1
 A. . B. . 0 C. . D. . 
 2
 x3 3x2 2
Câu 20. Tìm giới hạn A lim :
 x 1 x2 4x 3
 3
 A. B. C. D. 1
 2
 xn 1
Câu 21. Tìm giới hạn A lim (m,n ¥ *) :
 x 0 xm 1
 n
 A. B. C. D. m n
 m
 n 1 ax 1
Câu 22. Tìm giới hạn B lim (n ¥ *,a 0) :
 x 0 x
 a n
 A. B. C. D. 1 
 n a
 n 1 ax 1
Câu 23. Tìm giới hạn A lim với ab 0 :
 x 0 m 1 bx 1
 am am
 A. B. C. D. 1 
 bn bn
 2x 3 x
Câu 24. Tìm giới hạn C lim :
 x 3 x2 4x 3
 1
 A. B. C. D. 1
 3
 1 4x 3 1 6x
Câu 25. Tìm giới hạn M lim :
 x 0 x2
 1
 A. B. C. D. 0 
 3
 m 1 ax n 1 bx
Câu 26. Tìm giới hạn N lim :
 x 0 x
 a b a b
 A. B. C. D. 
 m n m n
 DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 
Phương pháp:
 P(x) 
 L = lim trong đó P(x),Q(x) , dạng này ta còn gọi là dạng vô định.
 x Q(x) 
 với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
 – Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
 – Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân 
 lượng liên hợp.
 Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn: 
 + lim x2k ; lim x2k 1 ( ) .
 x x 
 (x ) (x )
 k
 + lim 0 (n 0;k 0) .
 x n
 (x ) x
 k
 + lim f (x) ( ) lim 0 (k 0) .
 x x0 x x0 f (x) 2 3
 A. B. C. D. 0 
 6
 x2 1
Câu 13. Cho hàm số f (x) . Chọn kết quả đúng của lim f (x) :
 2x4 x2 3 x 
 1 2
 A. . B. . C. . 0 D. . 
 2 2
 1 3x
Câu 14. bằng:lim
 x 2x2 3
 3 2 2 3 2 2
 A. . B. . C. . D. . 
 2 2 2 2
Câu 15. Tìm giới hạn E lim ( x2 x 1 x) :
 x 
 1
 A. B. C. D. 0 
 2
 DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘT BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC
Phương pháp:
 1. Giới hạn một bên : Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương..
 2. Dạng – : Giới hạn này thường có chứa căn
 Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu, Sau đó tìm cách biến đổi 
 đưa về dạng .
 3. Dạng 0. : 
 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
 1 2 
Câu 1. Chọn kết quả đúng của lim :
 2 3 
 x 0 x x 
 A. . B. . 0 C. . D. Không tồn tại.
 x3 x2
Câu 2. lim bằng:
 x 1 x 1 1 x
 A. . 1 B. . 0 C. . 1 D. . 
 x2 x 1
Câu 3. lim 2 bằng:
 x 1 x 1
 A. – . B. –1. C. 1. D. + .
 x 3
Câu 4. Giá tri đúng của lim
 x 3 x 3
 A. Không tồn tại. B. .0 C. . 1 D. . 
Câu 5. Tìm giới hạn A lim x2 x 1 x :
 x 
 1
 A. B. C. D. 0 
 2
Câu 6. Tìm giới hạn B lim 2x 4x2 x 1 :
 x 
 1
 A. B. C. D. 0 
 4
 1 1
Câu 7. Cho hàm số f (x) . Chọn kết quả đúng của lim f x :
 x 3 1 x 1 x 1 
 2 2
 A. . B. . C. . D. . 
 3 3
Câu 8. Tìm giới hạn A lim ( x2 x 1 x) :
 x 
 1
 A. B. C. D. 0 
 2 Phương pháp: 
 Tìm giới hạn của hàm số y f (x) khi x x0 và tính f (x0 )
 Nếu tồn tại lim f (x) thì ta so sánh lim f (x) với f (x0 ) .
 x x0 x x0
Chú ý: 
 1. Nếu hàm số liên tục tại x0 thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó
 2. .lim f (x) l lim f (x) lim f (x) l
 x x0 x x0 x x0
 f (x) khi x x0
 3. Hàm số y liên tục tại x x0 lim f (x) k .
 x x
 k khi x x0 0
 f1(x) khi x x0
 4. Hàm số f (x) liên tục tại điểm x x0 khi và chỉ khi 
 f2 (x) khi x x0
lim f (x) lim f (x) f (x ) .
 1 2 1 0
x x0 x x0
Chú ý: 
 f (x) khi x x0
 Hàm số y liên tục tại x x0 khi và chỉ khi
 k khi x x0
 lim f (x) k .
 x x0
 f (x) khi x x0
 Hàm số y liên tục tại x x0 khi và chỉ khi
 g(x) khi x x0
 lim f (x) lim g(x) .
 x x0 x x0
Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
 I. f x liên tục trên đoạn a;b và f a . f b 0 thì phương trình f x 0 có 
 nghiệm.
 II. f x không liên tục trên a;b và f a . f b 0 thì phương trình f x 0 vô 
 nghiệm.
 A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng. C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai.
Câu 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
 x 1
 I . f x liên tục với mọi x 1 .
 x 1
 II . f x sin x liên tục trên ¡ .
 x
 III . f x liên tục tại x 1 .
 x
A. Chỉ I đúng. B. Chỉ I và II . C. Chỉ I và III . D. Chỉ II và III .
Câu 3. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
 x 1
 I . f x liên tục với mọi x 1 .
 x 1
 II . f x sin x liên tục trên ¡ .
 x
 III . f x liên tục tại x 1 .
 x
A. Chỉ I đúng. B. Chỉ I và II . C. Chỉ I và III . D. Chỉ II và III . x 4 2
 khi x 0
 x
Câu 11. Cho hàm số f x , m là tham số. Tìm giá trị của m để hàm 
 1
 mx2 2m khi x 0
 4
 số liên tục tại x 0 .
 1 1
 A. m . B. .m 0 C. . m 1 D. . m 
 2 2
 x 3 2
 khi x 1
Câu 12. Tìm tham số m để hàm số f x x 1 liên tục tại x 1 
 mx khi x 1 
 1 1 1
 A. .mB. . C.m . 1 D. . m m 
 2 4 4
 x2 1
Câu 13. Cho hàm số f x và f 2 m2 2 với x 2 . Giá trị của m để f x liên tục tại 
 x 1
x 2 là:
 A. . 3 B. . 3 C. . 3 D. 3
Câu 14. Cho hàm số f x x2 4 . Chọn câu đúng trong các câu sau:
(I) f x liên tục tại x 2 .
(II) f x gián đoạn tại x 2 .
(III) f x liên tục trên đoạn  2;2 .
 A. Chỉ I và III . B. Chỉ I . C. Chỉ II . D. Chỉ II và III 
 x2 1
 x 3; x 2
Câu 15. Cho hàm số f x x3 x 6 . Tìm b để f x liên tục tại x 3 .
 b 3 x 3; b ¡
 2 3 2 3
 A. . 3 B. . 3 C. . D. .
 3 3
 x 1
Câu 16. Cho hàm số f x . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
 x 1
 I f x gián đoạn tại x 1.
 II f x liên tục tại x 1.
 1
 III lim f x 
 x 1 2
 A. Chỉ I . B. Chỉ I . C. Chỉ I và III . D. Chỉ II và III .
 2x 8 2
 x 2
Câu 17 Cho hàm số f x x 2 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định 
 0 x 2
sau:
 I lim f x 0 .
 x 2 
 II f x liên tục tại x 2.
 III f x gián đoạn tại x 2.
 A. Chỉ I và III . B. Chỉ I và II . C. Chỉ I . D. Chỉ I 
 4 x2 2 x 2
Câu 18. Cho hàm số f x . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định 
 1 x 2
sau:.
 I f x không xác định tại x 3. C. Chỉ I và III . D. Cả I , II , III đều đúng.
Câu 4. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
 I . f x x5 – x2 1 liên tục trên ¡ .
 1
 II . f x liên tục trên khoảng –1;1 .
 x2 1
 III . f x x 2 liên tục trên đoạn 2; .
A. Chỉ I đúng. B. Chỉ I và II . C. Chỉ II và III . D. Chỉ I và III .
 3 9 x
 , 0 x 9
 x
Câu 5. Cho hàm số f x m , x 0 . Tìm m để f x liên tục trên 0; là.
 3
 , x 9
 x
 1 1 1
 A. . B. . C. . D. . 1
 3 2 6
 x 2 1
Câu 6. Cho hàm số f (x) .Khi đó hàm số y f x liên tục trên các khoảng nào sau 
 x 2 5x 6
đây?
 A. . 3;2 B. . 2; C. . D. . ;3 2;3 
 x2 5x 6
 khi x 2
Câu 7. Cho hàm số f x 2x3 16 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
 2 x khi x 2
 A. Hàm số liên tục trên ¡ 
 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm 
 C. Hàm số không liên tục trên 2 : 
 D. Hàm số gián đoạn tại điểm x 2 .
 3 x 1
 khi x 1
 x 1
Câu 8. Cho hàm số f (x) . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
 3 1 x 2
 khi x 1
 x 2
 A. Hàm số liên tục trên ¡ 
 B. Hàm số không liên tục trên ¡
 C. Hàm số không liên tục trên 1: 
 D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 1 .
 tan x 
 , x 0  x k ,k ¢
Câu 9. Cho hàm số f x x 2 . Hàm số y f x liên tục trên các 
 0 , x 0
khoảng nào sau đây?
 A. . 0; B. . ; C. . D. . ; ; 
 2 4 4 4 
 2 2
 a x , x 2,a ¡
Câu 10. Cho hàm số f x . Giá trị của a để f x liên tục trên ¡ là:
 2 
 2 a x , x 2
 A. 1 và 2 . B. 1 và –1 . C. –1 và 2 . D. 1 và –2 .
 x2 , x 1
 2x3
Câu 11. Cho hàm số f x , 0 x 1 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
 1 x
 xsin x , x 0
 sin x khi x 
 2
Câu 19. Xác định a,b để các hàm số f x liên tục trên ¡ 
 ax b khi x 
 2
 2 2 1 2
 a a a a 
 A. B. C. D. 
 b 1 b 2 b 0 b 0
 x3 3x2 2x
 khi x(x 2) 0
 x(x 2)
Câu 20. Xác định a,b để các hàm số f (x) a khi x 2 liên tục trên ¡ 
 b khi x 0
 a 10 a 11 a 1 a 12
 A. B. C. D. 
 b 1 b 1 b 1 b 1
 DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp : 
 Để chứng minh phương trình f (x) 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số 
y f (x) liên tục trên D và có hai số a,b D sao cho f (a). f (b) 0 .
 Để chứng minh phương trình f (x) 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y f (x) 
liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai ;ai 1) (i=1,2,,k) nằm trong D sao cho 
 f (ai ). f (ai 1) 0 .
Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. f x liên tục trên đoạn a;b và f a . f b 0 thì phương trình f x 0 có nghiệm.
II. f x không liên tục trên a;b và f a . f b 0 thì phương trình f x 0 vô nghiệm.
 A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng. C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai.
Câu 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
 I f x liên tục trên đoạn a;b và f a . f b 0 thì tồn tại ít nhất một số c a;b sao cho
 f c 0 .
 II f x liên tục trên đoạn a;b và trên b;c nhưng không liên tục a;c 
 A. Chỉ I . B. Chỉ II .
 C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai.
Câu 3. Cho hàm số f x x3 –1000x2 0,01 . Phương trình f x 0 có nghiệm thuộc khoảng 
nào trong các khoảng sau đây?
I. 1;0 . II. 0;1 . III. 1;2 .
 A. Chỉ I. B. Chỉ I và II. C. Chỉ II. D. Chỉ III.