Bài tập Chuyên đề môn Toán Lớp 11 - Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số (Cơ bản)

 I. GIỚI HẠN DÃY SỐ
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
 GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VƠ CỰC
 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt:
 1 1 k 
 lim 0 ; lim 0 (k ¢ ) lim n lim n (k ¢ )
 n n n k
 n lim qn (q 1)
 n
 lim q 0 ( q 1) ; lim C C 2. Định lí:
 n n 
 2. Định lí : 1
 a) Nếu lim un thì lim 0
 a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì un
 lim (un + vn) = a + b
 un
 lim (un – vn) = a – b b) Nếu lim u = a, lim v = thì lim = 0
 n n v
 lim (un.vn) = a.b n
 c) Nếu lim u = a 0, lim v = 0 
 un a n n
 lim (nếu b 0) u
 v b n nếu a.vn 0
 n thì lim = 
 v nếu a.v 0
 b) Nếu un 0, n và lim un= a n n
 thì a 0 và lim u a d) Nếu lim un = + , lim vn = a
 n nếu a 0
 thì lim(un.vn) = 
 c) Nếu un vn ,n và lim vn = 0 nếu a 0
 thì lim un = 0
 * Khi tính giới hạn cĩ một trong các dạng vơ định: 
 d) Nếu lim un = a thì lim un a
 0 
 3. Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn , , – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vơ 
 u 0 
 2 1
 S = u1 + u1q + u1q +  = q 1 định.
 1 q
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DÁY SỐ
Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
 A. Nếu lim un , thì limun . B. Nếu lim un , thì limun .
 C. Nếu limun 0 , thì lim un 0 . D. Nếu limun a , thì lim un a .
 1
Câu 2. Giá trị của lim bằng: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
 n 1
 1
Câu 3. Giá trị của lim (k ¥ *) bằng: A. 0 B. 2 C. 4 D. 5
 nk
Câu 4 . Giá trị của lim(2n 1) bằng: A. B. C. 0 D. 1 
 1 n2
Câu 5. Giá trị của lim bằng: A. B. C. 0 D. 1 
 n
 2
Câu 6. Giá trị của lim bằng: A. B. C. 0 D. 1 
 n 1
 n 1
Câu 7. Giá trị của lim bằng: A. B. C. 0 D. 1 
 n 2
 3n3 n
Câu 8. Giá trị của lim bằng: A. B. C. 0 D. 1 
 n2
 2n 1 2
Câu 9. Giá trị của. A lim bằng: A. B. C. D. 1 
 1 3n 3
 Các lớp cơ bản pg. 1 2 5n 2 5 1 5 25
Câu 10. Kết quả đúng của lim là: A. . B. . C. . D. .
 3n 2.5n 2 50 2 2
Câu 12. Giá trị của. M lim n2 6n n bằng: A. B. C. 3 D. 1 
 A. B. C. 0 D. 1 
Câu 13. Giá trị của B lim 2n2 1 n bằng: A. B. C. 0 D. 1
ĐÁP ÁN: 1C, 2C,3A, 4D, 5D, 6C, 7C, 8D, 9B, 10B, 12C, 
 II. GIỚI HẠN HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT
 Giới hạn hữu hạn
 1. Giới hạn đặc biệt: 2. Định lí:
 lim x x0 ; lim c c (c: hằng số) Nếu l i0m vàf (x) L l ithì:m g(x) 
 x x0 x x0 x x0 x x0
 2. Giới hạn một bên: nếu L và lim g(x) cùng dấu
 x x
 lim f (x) L lim f (x) lim f (x) L lim f (x)g(x) 0 lim f (x) lim f (x) L
 x x 
 0 x x0 x x0 x x nếu L và lim g(x) trái dấu x x0 x x0
 0 x x
 Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực 0
 3. Giới hạn đặc biệt: 0 nếu lim g(x) 
 x x
 lim xk ; f (x) 0
 lim nếu lim g(x) 0 và L.g(x) 0
 x 
 x x0 g(x) x x0
 k nếu k chẵn 
 lim x nếu lim g(x) 0 và L.g(x) 0
 x nếu k lẻ x x
 0
 c 0 
 lim c c ; lim 0 * Khi tính giới hạn cĩ một trong các dạng vơ định: , , 
 x x xk 0 
 1 1 – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vơ định.
 lim ; lim 
 x 0 x x 0 x
 1 1
 lim lim 
 x 0 x x 0 x
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM 
Phương pháp: 
 + Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số.
 + Nếu f (x) là hàm số cho bởi một cơng thức thì giá trị giới hạn bằng f (x0 )
 + Nếu f (x) cho bởi nhiều cơng thức, khi đĩ ta sử dụng điều kiện để hàm số cĩ giới hạn ( Giới hạn trái 
bằng giới hạn phải).
 x3 2x2 1
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là:
 x 1 2x5 1
 1 1
 A. . 2 B. . C. . D. . 2
 2 2
HDChọn A.
 3 2
 x3 2x2 1 1 2. 1 1
Cách 1: lim 2
 x 1 2x5 1 2 1 5 1
 x3 2x2 1
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + x 1 10 9 và so đáp án.
 2x5 1
 Các lớp cơ bản pg. 3 x2 2x 1 1
Câu 1. Chọn kết quả đúng lim là: A. . B. 0 C. . D. . 
 x 1 2x3 2 2
HDChọn B.
 2
 x2 2x 1 x 1 x 1
Cách 1: lim lim lim 0
 x 1 2x3 2 x 1 2 x 1 x2 x 1 x 1 2 x2 x 1 
 x2 2x 1
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + x 1 10 9 và so đáp án.
 2x3 2
 x2 2x 1
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim 3 và so đáp án.
 2x 2 x 1 10 9
 x3 3x2 2 3
Câu 2. Tìm giới hạn A lim : A. B. C. D. 1
 x 1 x2 4x 3 2
 x4 5x2 4 1
Câu 3. Tìm giới hạn B lim : A. B. C. D. 1 
 x 2 x3 8 6
 x 3
Câu 5. Cho hàm số f x . Giá trị của lim f x là:A. ..B. 0.. C. . 6. D. .
 x2 9 x 3 
HDChọn B
 2
 x 3 x 3 x 3 
lim lim .. lim 0
x 3 x2 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 
DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VƠ ĐỊNH 
Phương pháp:
 P(x) 
 L = lim trong đĩ P(x),Q(x) , dạng này ta cịn gọi là dạng vơ định.
 x Q(x) 
 với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
 – Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
 – Nếu P(x), Q(x) cĩ chứa căn thì cĩ thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng 
 liên hợp.
 Tương tự như cách khử dạng vơ định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn: 
 + lim x2k ; lim x2k 1 ( ) .
 x x 
 (x ) (x )
 k k
 + lim n 0 (n 0;k 0) . + lim f (x) ( ) lim 0 (k 0) .
 x x x0 x x0
 (x ) x f (x)
 5 5
Câu 1. lbằng:im A. . 0 B. . 1 C. . D. . 
 x 3x 2 3
 5
 5
HD Cách 1: lim lim x 0
 x x 2
 3x 2 3 
 x
 5
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + x 109 và so đáp án (với máy casio 570 VN Plus)
 3x 2
 5
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so đáp án.
 3x 2 x 109
 x4 7
Câu 2. Giá trị đúng của lim là: +++ A. 1. B. 1. . C. .7 . D. .
 x x4 1
 Các lớp cơ bản pg. 5