Bài tập Chuyên đề môn Toán Lớp 11 - Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số (Nâng cao)

 I. GIỚI HẠN DÃY SỐ
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
 GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC
 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt:
 1 1 k 
 lim 0 ; lim 0 (k ¢ ) lim n lim n (k ¢ )
 n n n k
 n lim qn (q 1)
 n
 lim q 0 ( q 1) ; lim C C 2. Định lí:
 n n 
 2. Định lí : 1
 a) Nếu lim un thì lim 0
 a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì un
 lim (un + vn) = a + b
 un
 lim (un – vn) = a – b b) Nếu lim un = a, lim vn = thì lim = 0
 lim (un.vn) = a.b vn
 u a c) Nếu lim un = a 0, lim vn = 0 
 lim n (nếu b 0)
 v b u neáu a.v 0
 n thì lim n = n
 neáu a.v 0
 b) Nếu un 0, n và lim un= a vn n
 d) Nếu lim un = + , lim vn = a
 thì a 0 và lim un a
 neáu a 0
 c) Nếu u v ,n và lim v = 0 thì lim(un.vn) = 
 n n n neáu a 0
 thì lim un = 0
 d) Nếu lim un = a thì lim u a 0
 n * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 
 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 0
 u 
 2 1
 S = u1 + u1q + u1q +  = q 1 , , – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.
 1 q 
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Phương pháp: 
 Để chứng minh limun 0 ta chứng minh với mọi số a 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho 
 un a n na .
 Để chứng minh limun l ta chứng minh lim(un l) 0 .
 Để chứng minh limun ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho 
 un M n nM .
 Để chứng minh limun ta chứng minh lim( un ) . 
 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
 A. Nếu lim un , thì limun . B. Nếu lim un , thì limun .
 C. Nếu limun 0 , thì lim un 0 . D. Nếu limun a , thì lim un a .
 1
Câu 2. Giá trị của lim bằng: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
 n 1
 1
Câu 3. Giá trị của lim (k ¥ *) bằng: A. 0 B. 2 C. 4 D. 5
 nk
Câu 4 . Giá trị của lim(2n 1) bằng: A. B. C. 0 D. 1 
 1 n2
Câu 5. Giá trị của lim bằng: A. B. C. 0 D. 1 
 n
 Lớp ôn 11A4 trang 1 n2 1 3 3n3 2 1 3 3
Câu 7. Giá trị của D lim bằng: A. B. C. D. 1 
 4 2n4 n 2 n 4 2 1
 n 1 4 1
Câu 8. Tính giới hạn: lim A.1. B. 0 . C. 1 D. .
 n 1 n 2
 1 3 5 .... 2n 1 1 2
Câu 9. Tính giới hạn: lim A. 0 . B. . C. .D. 1.
 3n2 4 3 3
 2 5n 2 5 1 5 25
Câu 10. Kết quả đúng của lim là: A. . B. . C. . D. .
 3n 2.5n 2 50 2 2
 1 a a2 ... an
Câu 11. Cho các số thực a,b thỏa a 1; b 1. Tìm giới hạn I lim .
 1 b b2 ... bn
 1 b
 A. B. C. D. 1 
 1 a
Câu 12. Giá trị của. M lim n2 6n n bằng: A. B. C. 3 D. 1 
 A. B. C. 0 D. 1 
 2
Câu 13. Giá trị của B lim 2n 1 n bằng: A. B. C. 0 D. 1
 2 1
Bài 14. Giá trị của K lim n n 1 n bằng: A. B. C. D. 1
 2
 2 2
Câu 15. Giá trị đúng của lim n 1 3n 2 là: A. . B. . C. . D.0 . 1
 2
Câu 16. Giá trị của A lim n 6n n bằng A. B. C. 3 D. 1
 3 3 2
Câu 17. Giá trị của B lim n 9n n bằng: A. B. C. 0 D. 3
 2 n q q
Câu 18. Tính giới hạn của dãy số un q 2q ... nq với q 1 . A. B. C. D. 
 1 q 2 1 q 2
ĐÁP ÁN: 1C, 2C,3A, 4D, 5D, 6C, 7C, 8D, 9B, 10B, 1
 1 an 1
11. Ta có 1,a,a2 ,...,an là một cấp số nhân công bội a 1 a a2 ... an Tương tự 
 1 a
 1 bn 1
1 b b2 ... bn 
 1 b
 1 an 1
 1 b n 1 n 1
Suy ra limI lim 1 a ( Vì a 1, b 1 lim a limb 0 ). 12C, 
 1 bn 1 1 a
 1 b
 2 2 2 2
13Chọn B. lim n 1 3n 2 lim n 1 1/ n 3 2 / n .Vì 
 2 2
 lim n ;lim 1 1/ n 3 2 / n 1 3 0 .
 n2 6n n2 6n 6
14 C. Ta có A lim n2 6n n lim lim lim 3
 n2 6n n 2 6
 n 6n n 1 1
 n
 2
 3 3 2 9n 9
17 D. Ta có: B lim n 9n n lim lim 3 . 
 2 2
 3 n3 9n2 n 3 n3 9n2 n2 9 9
 3 1 1 1
 n n
 Lớp ôn 11A4 trang 3 Câu 4. Tìm giới hạn hàm số lim x3 1 A. B. C. 9 D. 1 
 x 2 
 x 3 2 1
Câu 5. Tìm giới hạn hàm số lim .A. B. C. D. 2 
 x 1 x 1 4
 x 3
Câu 6. Tìm giới hạn hàm số lim A. B. C. D. 2 1 
 x x 2
 2x2 x 1
Câu 7. Tìm giới hạn hàm số lim A. B. C. D.2 1
 x x 2
 3x 2
Câu 8. Tìm giới hạn hàm số lim A. B. C. 5 D. 1 
 x 1 2x 1
 x 4 2 1
Câu 9. Tìm giới hạn hàm số lim A. B. C. D.2 1
 x 0 2x 8
 4x 3
Câu 10. Tìm giới hạn hàm số lim A. B. C. D. 2 1
 x 1 x 1
 3x 1
Câu 11. Tìm giới hạn hàm số lim A. B. C. D.2 1
 x 2 x 2
 x2 3 khi x 2
Câu 12. Cho hàm số f x . Chọn kết quả đúng của lim f x :
 x 1 khi x 2 x 2
 A. . 1 B. . 0 C. 1. D. Không tồn tại.
HD
Ta có lim f x lim x2 3 1 , lim f x lim x 1 1Vì lim f x lim f x 1 nên lim f x 1 .
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
 x2 ax 1 khi x 2
Câu 13. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x 2 f (x) .
 2
 2x x 1 khi x 2
 1
 A. B. C. D. 1
 2
HD Chọn C.
Ta có:lim f (x) lim(x2 ax 2) 2a 6 .lim f (x) lim(2x2 x 1) 7 .
 x 2 x 2 x 2 x 2 
 1 1
Hàm số có giới hạn khix 2 lim f (x) lim f (x) 2a 6 7 a . Vậy a là giá trị cần tìm.
 x 2 x 2 2 2
 2
 5ax 3x 2a 1 khi x 0
Câu 14. Tìm a để hàm số f (x) .có giới hạn tại x 0
 2
 1 x x x 2 khi x 0
 2
 A. B. C. D. 1
 2
 2
HD Chọn C.Ta có lim f (x) 2a 1 1 2 lim f (x) a .
 x 0 x 0 2
 0
DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 
 0
 P(x)
1. L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0
 x x0 Q(x)
 Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
Chú ý: 
 2
 + Nếu tam thức bậc hai ax bx+c có hai nghiệm x1, x2 thì ta luôn có sự phân tích
 2
 ax bx c a(x x1)(x x2 ) .
 + an bn (a b)(an 1 an 2b ... abn 2 bn 1)
 Lớp ôn 11A4 trang 5 2x 3 x 1
Câu 7. Tìm giới hạn C lim : A. B. C. D. 1
 x 3 x2 4x 3 3
 (x 3)(x 1) 1
HD Chọn C. Ta có: C lim 
 x 3 (x 3)(x 1) 2x 3 x 3
 1 4x 3 1 6x 1
Câu 8. Tìm giới hạn M lim : A. B. C. D. 0 
 x 0 x2 3
 4x 1 (2x 1) 3 1 6x (2x 1)
HDChọn D. Ta có: M lim lim 0
 x 0 x2 x 0 x2
 2x 3 3 1
Câu 9. Tìm giới hạn C lim : A. B. C. D. 0 
 x 3 x2 4x 3 6
 2(x 3) 1
HDChọn C.Ta có: C lim 
 x 3 (x 1)(x 3) 2x 3 3 6
DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 
Phương pháp:
 P(x) 
 L = lim trong đó P(x),Q(x) , dạng này ta còn gọi là dạng vô định.
 x Q(x) 
 với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
 – Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
 – Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.
 Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn: 
 + lim x2k ; lim x2k 1 ( ) .
 x x 
 (x ) (x )
 k k
 + lim n 0 (n 0;k 0) . + lim f (x) ( ) lim 0 (k 0) .
 x x x0 x x0
 (x ) x f (x)
 5 5
Câu 1. lbằng:im A. . 0B. .1 C. . D. . 
 x 3x 2 3
 5
 5
HD Cách 1: lim lim x 0
 x x 2
 3x 2 3 
 x
 5
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + x 109 và so đáp án (với máy casio 570 VN Plus)
 3x 2
 5
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so đáp án.
 3x 2 x 109
 x4 7
Câu 2. Giá trị đúng của lim là: A. 1. B. 1. . C. .7 . D. .
 x x4 1
 7
 4 1 
 x 7 4
HD lim lim x 1.
 x 4 x 1
 x 1 1 
 x4
 2x 3x2 2 2 3
Câu 3. Tìm giới hạn C lim : A. B. C. D. 0 
 x 5x x2 1 6
 Lớp ôn 11A4 trang 7 1 3 1 3 1 3
 x 1 x 1 1 
 x2 x 3 x x2 x x2 x x2
HD lim lim lim lim 3. .
 x 1 2 x 1 x 1 2x 1 x 1 1 x 1 1 
 x 2 2 
 x x 
 1
Câu 9. Tìm giới hạn E lim ( x2 x 1 x) : A. B. C. D. 0 
 x 2
 x 1 1
HD Ta có: E lim 
 x x2 x 1 x 2
 4
Câu 10. Tìm giới hạn F lim x( 4x2 1 x) : A. B. C. D. 0 
 x 3
 1 
HD Ta có: F lim x2 4 1 
 x 2 
 x 
Câu 11. lim 4x5 3x3 x 1 là: A. . B. 0 C. . 4 D. . 
 x 
 5 3 5 3 1 1 
HD lim 4x 3x x 1 lim x 4 2 4 5 . .
 x x x x x 
Câu 12. lim x4 x3 x2 x là: A. . B. 0 C. . 1 D. . 
 x 
 1 1 1 
HD 4 3 2 4 .
 lim x x x x lim x 1 2 3 .
 x x x x x 
 4
Câu 13. Tìm giới hạn B lim x x2 x 1 : A. B. C. D. 0 
 x 3
 1 1 1 1 
HD Ta có: B lim x x 1 lim x 1 1 
 x 2 x 2 
 x x x x 
 4
Câu 14. M lim ( x2 3x 1 x2 x 1) : A. B. C. D. Đáp án khác 
 x 3
HD
 4x 2 khi x 
Ta có: M lim 
 x x2 3x 1 x2 x 1 2 khi x 
Câu 15. Tìm giới hạn N lim 3 8x3 2x 2x :
 x 
 4
A. B. C. D. 0 
 3
 2x
HD Ta có: N lim 0
 x 3 (8x3 2x)2 2x 3 8x3 2x 4x2
 3x2 5x 1
Câu 16. Tìm giới hạn A lim : 
 x 2x2 x 1
 3
 A. B. C. D. 0 
 2
 5 1 5 1
 x2 (3 ) 3 
 2 2 3
HD Ta có: A lim x x lim x x 
 x 1 1 x 1 1
 x2 (2 ) 2 2
 x x2 x x2
 3 3x3 1 2x2 x 1
Câu 17. Tìm giới hạn A lim :
 x 4 4x4 2
 Lớp ôn 11A4 trang 9