Bài tập Chuyên đề môn Toán Lớp 11 - Vấn đề 1: Giới hạn của dãy số

 Vấn đề 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
 A - GIỚI HẠN HỮU HẠN
 Giới hạn hữu hạn
 • lim un 0 un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
 n 
 • Dãy số un có giới hạn là L nếu: lim vn L lim vn L 0
 n n 
  Lưu ý: Ta có thể viết gọn: limun 0, limun L . 
 Giới hạn đặc biệt
 1 1 1
 1) lim 0 2) lim 0 3) lim 0 4) u 0 limu 0 
 n n 3 n n n
 1
5) limC C,C ¡ 6) lim qn 0 nếu q 1) 7) lim 0, k ¥ *
 nk
 8) lim qn nếu q 1 9) lim nk , k ¥ *
 Định lí về giới hạn
 • Nếu hai dãy số un và vn cùng có giới hạn thì ta có:
 1) lim(un vn ) limun limvn 2) lim un .vn limun .limvn 
 un limun
 3) lim (Nếu limvn 0 ) 4) lim k.un k.limun , (k ¡ ) 
 vn limvn
 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
 • Một cấp số nhân có công bội q với | q | 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. 
 u
 Ta có : S u u q u q2  1 (với | q | 1)
 1 1 1 1 q
 B - GIỚI HẠN VÔ CỰC
 Định nghĩa
 • lim un un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi.
 n 
 • lim un un có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi.
 n 
 • lim un lim un 
 n n 
 Lưu ý: Ta có thể viết gọn: limun . 
 1
 Định lí Neáu lim un = + thì lim = 0
 un
 1
 Nếu limun 0, un 0,n ¥ lim 
 un
 Dạng 1: Dãy có giới hạn là 0 VD 1.6 Tính các giới hạn sau:
 n4 3n 2 3 n6 7n3 5n 8 2n2 n 6n4 n 1
a) lim b) lim c) lim d) lim
 2n2 n 3 n 12 1 3n2 2n 1
VD 1.7 Tính các giới hạn sau:
 4n 3n 2.5n 3.2n 1 2.3n 1 22n 5n 2
 a) lim b) lim c) lim d) lim
 2.3n 4n 7 3.5n 4 3n 3n 5.4n
Dạng 3. Khử dạng vô định - 
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 m m 1
• Đối với dãy un amn am 1n ... a0 , am 0 thì đặt thừa số chung m cho thừa số lớn nhất của n 
 m
 là n . Khi đó: limun nếu am 0 và limun nếu am 0
• Đối với biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về dạng:
 A B2
 A B =  
 A B
 A B A B3
  A B =  3 A B =
 A B 3 A2 B.3 A B2
 A B2 A B
  A B =  3 A 3 B =
 A B 3 A2 3 A.B 3 B2
 A B A B
  A B =  3 A 3 B =
 A B 3 A2 3 A.B 3 B2
 B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.8 Tính các giới hạn sau:
a) lim n2 14n 7 b) lim 2n2 3n 19 c) lim 2n2 n 1 d) lim 3 8n3 n2 n 3
VD 1.9 Tính các giới hạn sau:
 a) lim n2 n 1 n b) lim n 1 n n c) lim 3 n3 n2 3 n3 1 
 n2 2 n2 1
 d) lim 3 n3 1 n e) lim 3 n3 n2 n2 3n f) lim 
 3 n3 2 3 n3 n2
VD 1.10 Tính các giới hạn sau:
 a) lim n n 2 n 1 b) lim 3 n2 7 2n c) lim 2.3n n 2
 1 2
 d) lim n2 n 2 n 1 e) lim f) lim
 n 2 n 1 3n 2 2n 1
 Dang 4: Cấp số nhân lùi vô hạn A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 2n3 n 5
TN1.7 lim có giá trị bằng
 n4 2n 2
 A. .B. 2 .C. 0 .D. 6 .
 2n4 n 1
TN1.8 lim có giá trị bằng
 3n4 2n
 2 2
 A. 0 .B. C. .D. .
 3 5
 2n2 3n3
TN1.9 lim có giá trị bằng
 2n3 4n2 1
 3 3
 A. .B. 0 .C. 1.D. .
 2 2
 2n3 n2 4
TN1.10 lim có giá trị bằng
 n2 2n 3
 A. 2 .B. 0 .C. .D. 2 .
 n2 2n 2n3 1 4n 5 
TN1.11 lim có giá trị bằng
 n4 3n 1 3n2 7 
 8
 A. 0 .B. .C. 1 . D. .
 3
 2n n3 3n2 1 
TN1.12 lim có giá trị bằng
 2n 1 n4 7 
 3
 A. 1. B. 3 .C. .D. .
 2
TN1.13 lim 2n3 2n2 3 có giá trị bằng
 A. 2 . B. 1.C. .D. .
TN1.14 lim 3n4 4n2 n 1 có giá trị bằng
 A. .B. .C. 3 .D. 7 .
 9n2 n n 2
TN1.15 lim có giá trị bằng
 3n 2
 A. 1.B. 3 .C. 0 .D. .
TN1.16 lim n2 4 n2 1 có giá trị bằng
 A. 3 .B. 1.C. 0 .D. .
TN1.17 lim n2 2n 1 2n2 n có giá trị bằng