Bài tập Chuyên đề môn Toán Lớp 12 - Nguyên hàm

 Chủ đề 4.1. NGUYÊN HÀM
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F x được 
gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F ' x f x với mọi x K .
Định lí:
1) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G x F x C 
cũng là một nguyên hàm của f x trên K .
2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên K đều có 
dạng F x C , với C là một hằng số.
Do đó F x C,C ¡ là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K . Ký hiệu f x dx F x C .
2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1: f x dx f x và f ' x dx f x C
Tính chất 2: kf x dx k f x dx với k là hằng số khác 0 .
Tính chất 3: f x g x dx f x dx g x dx
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
 Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp u u x 
 dx x C du u C 
 1 1
 x dx x 1 C 1 u du u 1 C 1 
 1 1
 1 1
 dx ln x C du ln u C 
 x u
 exdx ex C eu du eu C 
 a x au
 a xdx C a 0,a 1 au du C a 0,a 1 
 ln a ln a
 sin xdx cos x C sin udu cosu C 
 cos xdx sin x C cosudu sin u C 
 1 1
 dx tan x C du tan u C 
 cos2 x cos2 u
 1 1
 dx cot x C du cot u C 
 sin2 x sin2 u
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số
Định lí 1: Nếu f u du F u C và u u x là hàm số có đạo hàm liên tục thì 
 f u x u ' x dx F u x C 
Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) cos 3x .
 6 
 1 
 A. f (x)dx sin 3x C .B. f (x).dx sin 3x C .
 3 6 6 
 1 1 
 C. f (x)dx sin 3x C . D. f (x)dx sin 3x C .
 3 6 6 6 
 x
Câu 8. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 1 tan2 .
 2
 x x
 A. f (x)dx 2 tan C .B. f (x)dx tan C .
 2 2
 1 x x
 C. f (x)dx tan C . D. f (x)dx 2 tan C .
 2 2 2
 1
Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) .
 2 
 sin x 
 3 
 1 
 A. f (x)dx cot x C .B. f (x)dx cot x C .
 3 3 3 
 1 
 C. f (x)dx cot x C .D. f (x)dx cot x C .
 3 3 3 
Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) sin3 x.cos x .
 sin4 x sin4 x
 A. f (x)dx C .B. f (x)dx C .
 4 4
 sin2 x sin2 x
 C. f (x)dx C .D. f (x)dx C .
 2 2
4.1.3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT.
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) ex e x .
 A. f x dx ex e x C .B. f x dx ex e x C .
 C. f x dx ex e x C .D. f x dx ex e x C .
Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 2x.3 2x .
 x x
 2 1 9 1
 A. f x dx . C .B. f x dx . C .
 9 ln 2 ln 9 2 ln 2 ln 9
 x x
 2 1 2 1
 C. f x dx . C .D. f x dx . C .
 3 ln 2 ln 9 9 ln 2 ln 9
Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) ex (3 e x ) là
 A. F(x) 3ex x C . B. F(x) 3ex ex ln ex C .
 1
 C. F(x) 3ex C . D. F(x) 3ex x C .
 ex
Câu 14. Hàm số F x 7ex tan x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
 x
 x e x 1
 A. f x e 7 2 .B. f x 7e 2 .
 cos x cos x
 x 2 x 1 
 C. f x 7e tan x 1. D. f x 7 e 2 .
 cos x 5 5
 A. f x x 1 x 1 B. f x x 1 x 1 C 
 2 2
 2
 C. f x x 1 x 1 D. f x x 1 x 1 C 
 5
 1 2
Câu 24. Biết một nguyên hàm của hàm số f x 1 là hàm số F x thỏa mãn F 1 . Khi 
 1 3x 3
 đó F x là hàm số nào sau đây?
 2 2
 A. F x x 1 3x 3 B. F x x 1 3x 3 
 3 3
 2 2
 C. F x x 1 3x 1 D. F x 4 1 3x 
 3 3
 a
Câu 25. Biết F(x) 6 1 x là một nguyên hàm của hàm số f (x) . Khi đó giá trị của a bằng
 1 x
 1
 A. 3 . B. 3 . C. 6 . D. .
 6
4.1.5. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Câu 26. Tính F(x) xsin xdx bằng
 A. F(x) sin x x cos x C .B. F(x) xsin x cos x C .
 C. F(x) sin x x cos x C . D. F(x) xsin x cos x C .
Câu 27. Tính x ln2 xdx . Chọn kết quả đúng:
 1 1
 A. x2 2ln2 x 2ln x 1 C .B. x2 2ln2 x 2ln x 1 C .
 4 2
 1 1
 C. x2 2ln2 x 2ln x 1 C .D. x2 2ln2 x 2ln x 1 C .
 4 2
Câu 28. Tính F(x) xsin x cos xdx . Chọn kết quả đúng:
 1 x 1 x
 A. F(x) sin 2x cos 2x C . B. F(x) cos 2x sin 2x C .
 8 4 4 2
 1 x 1 x
 C. F(x) sin 2x cos 2x C .D. F(x) sin 2x cos 2x C .
 4 8 4 8
 x
Câu 29. Tính F(x) xe 3 dx . Chọn kết quả đúng
 x x
 A. F(x) 3(x 3)e 3 C B. F(x) (x 3)e 3 C
 x 3 x x 3 x
 C. F(x) e 3 C D. F(x) e 3 C
 3 3
 x
Câu 30. Tính F(x) dx . Chọn kết quả đúng
 cos2 x
 A. F(x) x tan x ln | cos x | C .B. F(x) x cot x ln | cos x | C .
 C. F(x) x tan x ln | cos x | C .D. F(x) x cot x ln | cos x | C .
Câu 31. Tính F(x) x2 cos xdx . Chọn kết quả đúng
 A. F(x) (x2 2)sin x 2x cos x C . B. F(x) 2x2 sin x x cos x sin x C . 
 C. F(x) x2 sin x 2x cos x 2sin x C .D. F(x) (2x x2 )cos x xsin x C .
Câu 32. Tính F(x) xsin 2xdx . Chọn kết quả đúng 1 1 1
 C. f (x) x3 2 x .D. f (x) x3 x x .
 x 2 x
 cos x
Câu 42. Hàm số f (x) có một nguyên hàm F(x) bằng
 sin5 x
 1 1 4 4
 A. .B. .C. .D. .
 4sin4 x 4sin4 x sin4 x sin4 x
Câu 43. Kết quả tính 2x 5 4x2 dx bằng
 1 3 3
 A. 5 4x2 C .B. 5 4x2 C .
 6 8
 1 3 1 3
 C. 5 4x2 C .D. 5 4x2 C .
 6 12
Câu 44. Kết quả esin x cos xdx bằng
 A. esin x C .B. cos x.esin x C . C. ecos x C .D. e sin x C .
Câu 45. Tính tan xdx bằng
 1 1
 A. ln cos x C .B. ln cos x C .C. C .D. C .
 cos2 x cos2 x
Câu 46. Tính cot xdx bằng
 1 1
 A. ln sin x C .B. ln sin x C . C. C .D. C .
 sin2 x sin2 x
 x3
Câu 47. Nguyên hàm của hàm số y là
 x 1
 1 1 1 1
 A. x3 x2 x ln x 1 C .B. x3 x2 x ln x 1 C .
 3 2 3 2
 1 1 1 1
 C. x3 x2 x ln x 1 C .D. x3 x2 x ln x 1 C .
 6 2 3 4
 x2 2x 3
Câu 48. Một nguyên hàm của hàm số f x là
 x 1
 x2 x2 x2 x2
 A. 3x 6ln x 1 .B. 3x 6ln x 1 .C. 3x 6ln x 1 .D. 3x 6ln x 1 .
 2 2 2 2
 1
Câu 49. Kết quả tính dx bằng
 x x 3 
 1 x 1 x
 A. ln C .B. ln C .
 3 x 3 3 x 3
 2 x 3 2 x
 C. ln C .D. ln C .
 3 x 3 x 3
 1
Câu 50. Kết quả tính dx bằng
 x x 3 
 1 x 3 1 x 3
 A. ln C .B. ln C .
 3 x 3 x
 1 x 1 x
 C. ln C .D. ln C .
 3 x 3 3 x 3
 1
Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f x là
 x2 x 2