Bài tập Chuyên đề môn Toán Lớp 12 - Ứng dụng của tích phân trong hình học (Có lời giải)

 Chủ đề: Ứng dụng của tích phân trong hình học
A. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG.
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Diện tích hình phẳng
 a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x) liên tục trên đoạn a;b , trục hoành và hai 
 b
 đường thẳng x a , x b được xác định: S f (x) dx
 a
y
 y f (x)
 y f (x)
 b
 y 0 S f (x) dx
 (H) 
 x a a
 c 
O a 1 c c3 b x
 2 x b
 b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x) , y g(x) liên tục trên đoạn a;b và hai 
 b
 đường thẳng x a , x b được xác định: S f (x) g(x) dx
 a
 y
 (C1 ) : y f1(x)
 (C1 ) 
 (C ) : y f (x)
 (H) 2 2
 x a
 (C )
 2 
 x b
 b
 a c x S f1 (x) f2 (x) dx
 O 1 c2 b 
 a
Chú ý:
 b b
 - Nếu trên đoạn [a;b] , hàm số f (x) không đổi dấu thì: f (x) dx f (x)dx
 a a
- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x g(y) , x h(y) và hai đường thẳng y c , y d được 
 d
xác định: S g(y) h(y) dy
 c 0 0 2 2 1 2 2 0
 A. f (x)dx f (x)dx . B. f (x)dx f (x)dx . C. f (x)dx f (x)dx . D. f (x)dx f (x)dx .
 2 2 0 0 2 1 0 2
 Câu 6. Diện tích hình phẳng tô đậm trong hình bên được tính theo công thức nào sau đây?
 4 2 4 2 4 2 4
 A. S f (x)dx B. S f (x)dx f (x)dx C. S f (x)dx f (x)d x D. S f (x)dx f (x)dx
 0 0 2 0 2 0 2
 Câu 7. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 , trục hoành và hai đường thẳng x 1, 
 x 3 là 
 A. 19 B. 18 C. 20 D. 21
 Câu 8. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , trục hoành và hai đường thẳng x 1, 
 x 4 là 
 14 13 14
 A. 4 B. C. D. 
 5 3 3
 Câu 9. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y 3 x , trục hoành và hai đường thẳng x 1, 
 x 8 là 
 45 45 45 45
 A. B. C. D. 
 2 4 7 8
 Câu 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 1, y 0, x 0 , x 1. 
 5 7 3 4
 A. .B. .C. .D. .
 4 4 4 3
 Câu 11. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của: y x2 2x , trục Ox và 2 đường thẳng x 0, x 2 là:
 2 4 1
 A. B. C. D. 0
 3 3 3
 Câu 12. Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường y 1 , y 2 – x và x 0 . Tính diện tích của miền D
 1 1 1
 A. 1B. C. D. 
 4 2 8
Câu 13. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y cosx , y 0, x 0 , x 
 2
 3 1
 A. B. 1C. 2 D. 
 2 2
 Câu 14. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 4 , đường thẳng x 3, trục tung và trục 
 hoành là 
 22 32 25 23
 A. B. C. D. 
 3 3 3 3
 Câu 15. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y x3 4x , trục hoành và hai đường thẳng 
 x 3, x 4 là etan x 
 Câu 26. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y , y 0, x 0 , x . 
 cos2 x 3
 A. e3 1.B. e 2 1. C. e 3 1.D. e 3 1.
 1
 Câu 27. Nếu gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x 4, x 1, y 0, y thì khẳng định 
 x
 nào sau đây là đúng?
 1 1
 A. S ln . B. S ln . C. S ln 3. D. S 2ln 4
 4 4
 2x 1
 Câu 28. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y , y 0, x 0 , x 1. 
 x 1
 A. 2 ln 2 .B. 3 ln 4 . C. 2 ln 4 . D.5 ln 4 .
 Câu 29. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 4, y 2x 4 , x 0 , x 2 . 
 8 4
 A. .B. .C. 2 . D. 8 .
 3 3
Câu 30. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y x x –1 x – 2 , y 0 
 1 1 1
 A. 1.B. C. D. 
 2 4 3
 Câu 31. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x3 , y 4x là:
 A. 8B. 9C. 12D. 13
Câu 32. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x ln x , y 0, x e . 
 e2 1 e2 1 e2 1
 A. .B. . C. . D. .
 4 4 4 4
Câu 33. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y x2 1 , x 7 y . Kết quả là
 9 125 33 27
 A. . B. . C. . D. 
 2 6 2 2
 x
Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bỏi trục tung và 2 đường y 2 , y 3 x là.
 5 1 3 1 5 1
 A. S B. S C. S 5 D. S 
 2 ln 2 2 ln 2 2 ln 2
Câu 35. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số. x y3 3y2 ; x 2y .
 37 6 1 5
 A. . B. . C. . D. .
 12 11 2 11
 2 2 
Câu 36. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol y 2x 3x 1; y x x 2 . Tính cos .
 S 
 2 2 3
 A. cos . B. cos 0 . C. cos = . D. cos = .
 S 2 S S 2 S 2
 Câu 37. Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y x4 2mx2 m2 , y 0, x 0, x 1. Tìm m 
 1
 để diện tích hình H bằng .
 5
 2 2
 A. m 1,m . B. m 1,m 2 . C. m 0,m . D. m 0,m 1.
 3 3 1.Bài toán1: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền D giới hạn bởi y f x ; y 0và x a, x b khi 
quay quanh trục Ox .
*Phương pháp giải:
 b
 áp dụng công thức:V y2dx
 a
2.Bài toán 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y f x ; y g x quay quanh 
trục Ox .
 *Phương pháp giải:
+ Giải phương trình: f x g x có nghiệm x a, x b
 b
+ Khi đó thể tích cần tìm : V f 2 x g 2 x dx
 a
3.Bài toán3: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: x g y ; y a; y b
 b
*Phương pháp giải:áp dụng công thức:V x2dy
 a
4.Bài toán 4: Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi: x f y ; x g y và y a, y b .
*Phương pháp giải:
 b
Áp dụng công thức: V f 2 (y) g 2 (y) dy
 a
Bài toán 5: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền D giới hạn bởi một đường cong C kín.
*Phương pháp giải:
1/ Khi D quay quanh trục Ox :
Chia đường cong C thành 2 cung: y1 f1 x và y2 f2 x với x [a;b] và f1 x ; f2 x cùng dấu
Khi đó thể tích cần tính: 
 b
V y2 y2 dx .
 1 2
 a
2/ Khi D quay quanh trụcOy :
Chia đường cong C thành 2 cung: x1 f1 y và x2 f2 y với y a;bvà f1 y ; f2 y cùng dấu.
Khi đó thể tích cần tính:
 b
V x2 x2 dy
 1 2
 a
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
Mức độ 1: NHẬN BIẾT
Câu 1. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a,b(a,b ¡ ,a b ) . Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo 
thành khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y f x ; y 0; x a;x b xung quanh trục 
Ox . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
 2
 b b b b
 A.V f x dx .B. V f x dx . C. V f x dx . D. V f 2 x dx .
 a a a a b b
 2 2 2 2
 A.V f x g x dx. B. V g x f x dx.
 0 0
 b b
 2 2 2 2
 C. V f x g x dx. D.V f x g x dx.
 0 0
Câu 8. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 
của các hàm số y 3x x2 , y 0 .
 16 16 81 16
 A. .B. . C. . D. .
 15 15 10 15 
Câu 9. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 
của các hàm số y x3 x2 2, y 2 .
 12 3564 3654 729
 A. .B. .C. . D. .
 35 35 35 35
Câu 10. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ 
thị của các hàm số y 2x2 , y x3 .
 1536 256 1536 265
 A. π .B. π .C. .D. . 
 35 35 35 35
Câu 11. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ 
thị của các hàm số y x3 , y 0, x 1.
 4 
 A. .B. .C. .D. .
 4 7 2 7
Câu 12. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 
của các hàm số y 2x2 3; y 1; y 2; x 0.
 9 206
 A. 8 . B. . C. . D. .
 2 4 15
Câu 13. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ 
thị của các hàm số xy 9, y 0, x 1, x 3.
 A.54 .B. 6 .C. 12 . D. 6 .
Câu 14. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ 
 1
thị của các hàm số y cos x , y 0, x 0, x .
 2 sin 2 2 sin 2 2 2
 A. .B. .C. .D. .
 8 4 4 8
Câu 15. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ 
thị của các hàm số y cos2 x, y 0, x 0, x .
 2 3 3 2 
 A. .B. .C. .D. .
 2 8 8 2
Câu 16. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ 
thị của các hàm số y 2ln x, y 0, x 1, x e.
 A. .B. e 2.C. e 2 .D. 4 e 2 .
Câu 17. Khi cho hình phẳng D trong hình vẽ quay quanh trục Ox , ta được khối tròn xoay. Tính thể tích khối 
tròn xoay đó. A.V (e 1) . B. V e 1. C.V (e 2) . D. V e 2 .
Câu 27. Nếu gọi V là thể của khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y 0, y x2 4x xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?
 128 128 128 
 A.V . B. V . C.V . D. V 128 .
 3 15 5
 Câu 28. Nếu gọi V là thể của khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
 y x, y2 4x xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?
 64 128 64 128 
 A.V . B. V . C.V . D. V .
 15 15 3 5
Câu 29. Nếu gọi V là thể của khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
x 0, y x, y 4 x xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?
 4 16 32 64 
 A.V . B. V . C.V . D. V . 
 3 3 3 3
Câu 30. Nếu gọi V là thể của khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
x 0, y e, y ex xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?
 A.V e 2 . B. V (e 2) . C.V 2 . D. V 2 (e 2) .
Câu 31. Hình phẳng H giới hạn bởi hai đường x y2 5 và y 3 x . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi 
quay H quanh trụcOy là?
 153 143 153 152 
 A. . B. . C. . D. . 
 5 5 15 5
Câu 32. Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường 
 2
y 1 x , y 0, x 0 và x 2 bằng:
 8 2 5 2 
 A. . B. . C. 2 . D. . 
 3 2 5
Câu 33. Cho H là hình phẳng giới hạn bởi P y x2 4x+4, y 0, x 0, x 3. . Thể tích khi quay H 
quanh trục Ox là
 33 33 
 A.33. B.33 . C. . D. . 
 5 5
Câu 34. Gọi S là miền giới hạn bởi C : y x2 ,Ox và haiđường thẳng x 1, x 2 . Tính Thể tích vật thể tròn 
xoay khi S quay quanh trục Ox .
 31 1 31 1 31 31 
 A. . B. . C. . D. 1. 
 5 3 5 3 5 5
Câu 35. Thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 – 2x , y 0, 
x 0 , x 1 quanh trục hoành Ox có giá trị bằng?
 8 7 15 8 
 A. (đvtt). B. (đvtt). C. (đvtt). D. (đvtt). 
 15 8 8 7
Câu 36. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 1, y 0, x 0 và x 1 quay quanh trục Ox . Thể tích 
của khối tròn xoay tạo thành bằng b
 Ta có V f 2 x dx . 
 a
 Chọn D.
Câu 2. Cho hai hàm số y f x , y g x liên tục trên đoạn a,b(a,b ¡ ,a b ) và thoả mãn 
 f x g x 0;x a,b . Gọi V là thể tích khối tròn xoay sinh ra do hình H giới hạn bởi 
 C :y f x , C' : y g x đường thẳng x a;x b quay quanh trục Ox . Hỏi V được tính bởi 
 công thức nào sau đây?
 2
 b b
  2 2
 A. V f x g x dx . B. V f x g x dx .
 a  a
 b b
 2
 C. V f x g x dx . D. V f x g x dx .
 a a
 Hướng dẫn giải
 b
 Ta có f x g x 0;x a,b nên V f 2 x g 2 x dx .
 a
 Chọn B
Câu 3. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D trong hình vẽ xung quanh trục Ox được tính 
 bằng công thức nào sau đây?
 b b
 2 2 2 2
 A.V f x g x dx . B. V f x g x dx .
 a 3 a
 b b
 2 2 1 2 2
 C. V f x g x dx . D. V f x g x dx .
 a 3 a
 Hướng dẫn giải
 b
 2 2
 Ta có: f x g x 0;x a,b nên V f x g x dx .
 a
 Chọn A.
Câu 4. Cho hàm số y f x liên tục trên a;b . Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số
 y f x , trục Ox và hai đường thẳng x a,x b khi quay xung quanh trục Ox là:
 b b b b
 A. V ydx . B. V y2dx . C. V y2dx . D. V 2 y2dx .
 a a a a Câu 9. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ 
 thị của các hàm số y x3 x2 2, y 2 .
 12 3564 3654 729
 A. .B. .C. . D. .
 35 35 35 35
 Hướng dẫn giải
 3 2 x 0
 Ta có: x x 2 2 
 x 1
 1
 2 12
 Thể tích: V x3 x2 2 22 dx .
 35
 0
 Chọn A.
Câu 10. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ 
 thị của các hàm số y 2x2 , y x3 .
 1536 256 1536 265
 A. π .B. π .C. .D. . 
 35 35 35 35
 Hướng dẫn giải
 2 3 x 0
 Ta có: 2x x 
 x 2
 2 256
 Thể tích: V x6 4x4 dx .
 35
 0
Câu 11. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ 
 thị của các hàm số y x3 , y 0, x 1.
 4 
 A. .B. .C. .D. .
 4 7 2 7
 Hướng dẫn giải
 Ta có: x3 0 x 0
 1 1
 Thể tích: V x6dx .
 7
 0
 Chọn D.
Câu 12. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi đồ 
 thị của các hàm số y 2x2 3; y 1; y 2; x 0.
 9 206
 A. 8 . B. . C. . D. .
 2 4 15
 Hướng dẫn giải
 y 3
 Ta có: y 2x2 3 x nên thể tích của khối tròn xoay được tạo thành là:
 2
 2 2
 2 y 3 2 y 3 y2 3 9
 V dy dy y .
 2 2 4 2 4
 1 1 1
 Chọn C.
Câu 13. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ 
 thị của các hàm số xy 9, y 0, x 1, x 3.
 A.54 .B. 6 .C. 12 . D. 6 . Suy ra I e 2
 Vậy V 4 e 2 
 Chọn D.
Câu 17. Khi cho hình phẳng D trong hình vẽ quay quanh trục Ox , ta được khối tròn xoay. Tính thể tích khối 
 tròn xoay đó.
 3 3 2
 A. (đvtt). B. (đvtt). C. (đvtt). D. (đvtt).
 6 4 2 3
 Hướng dẫn giải
 2 1 2 3 2 1 3 3 
 Ta có: 1 x 4 1 x 1 x và 1 x 0;x , nên 
 2 2 2 2 2 
 3 3 3
 2 2 2
 2 1 3 2 3 1 3 3
 V 1 x dx x dx x x . 
 3
 3 4 3 4 4 3 2
 2
 2 2
 Chọn C.
Câu 18. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi đồ 
 thị của các hàm số y x3; y 0; x 1.
 56 2 93 
 A. . B. . C. . D. .
 5 5 5 7
 Hướng dẫn giải
 Ta có: y x3 x 3 y và x 1 3 y 1 y 1 và 1 3 y 0,y 0;1 nên thể tích của khối 
 tròn xoay được tạo thành là:
 1
 1 2 2 5
 2 3 2
 V 1 3 y dy 1 y 3 dy y y 3 . 
 5 5
 0 1 0
 Chọn B.
Câu 19. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi đồ 
 thị của các hàm số y ln x; y 0; y 1; x 0 .
 e2 +1 e2 1 
 A. . B. . C. 2 . D. e .
 2 2
 Hướng dẫn giải 1
 1 y2 
 Vậy thể tích : V ydy 
 0 2 0 2
 Vậy chọn A . 
Câu 23. Nếu gọi V là thể của khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
 y 1, y 2, y 4x2 xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?
 3 3 7 
 A.V . B. V . C. V . D. V .
 8 2 2 3
 Hướng dẫn giải
 y
 y 4x2 x2 
 4
 2
 2 y y2 3 
 Vậy thể tích : V dy 
 1 4 8 1 8
 Vậy chọn A . 
Câu 24. Nếu gọi V là thể của khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
 x 0, x 1, y x2 xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?
 2 
 A.V . . B. V . C. V . D. V .
 2 5 5
 Hướng dẫn giải
 Với x 0 y 0
 Với x 1 y 1
 1
 1 y2 
 Vậy thể tích : V ydy 
 0 2 0 2
 Vậy chọn A . 
Câu 25. Nếu gọi V là thể của khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
 x 0, x 1, y 0, y2 x3 xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?
 3 4 3 
 A.V . B. V . C. V . D. V .
 7 7 4 4
 Hướng dẫn giải
 Có : y2 x3 x 3 y2
 1
 7 
 1 2 1 4 3y 3 3 
 Vậy thể tích : V 3 y2 dy y 3 dy 
 0 0 7 7
 0
 Chọn A . 2 4
 2 2 16 
 V y .dy 4 y .dy 
 0 2 3
 Chọn B . 
Câu 30. Nếu gọi V là thể của khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
 x 0, y e, y ex xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?
 A.V e 2 . B. V (e 2) . C.V 2 . D. V 2 (e 2) .
 Hướng dẫn giải
 y ex x ln y
 Với x 0 y 1
 e
 Vậy thể tích : V ln2 ydy e 2 
 1
 Chọn đáp án D
Câu 31. Hình phẳng H giới hạn bởi hai đường x y2 5 và y 3 x . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi 
 quay H quanh trụcOy là?
 153 143 153 152 
 A. . B. . C. . D. .
 5 5 15 5
 Hướng dẫn giải
 2 2 y 1
 Phương trình tung độ giao điểm : y 5 3 y y y 2 0 
 y 2
 2
 2 2 153 
 Vậy thể tích : V 5 y2 3 y dy 
 1 5
 Chọn A . 
Câu 32. Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường 
 2
 y 1 x , y 0, x 0 và x 2 bằng:
 8 2 5 2 
 A. . B. . C. 2 . D. .
 3 2 5
 Hướng dẫn giải
 2
 4 2 
 Thể tích : V 1 x dx 
 0 5
 Chọn D. 
Câu 33. Cho H là hình phẳng giới hạn bởi P y x2 4x+4, y 0, x 0, x 3. . Thể tích khi quay H 
 quanh trục Ox là
 33 33 
 A.33. B.33 . C. . D. .
 5 5 Chọn C .
Câu 38. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường y x 1 , trục 
 hoành, x 2, x 5 quanh trục Ox bằng:
 5 5 2 5
 2
 A. x 1dx B. x 1 dx C. y2 1 dy D. x 1 dx
 2 2 1 2
 Hướng dẫn giải
 5 5
 2
 Ta có:V x 1 dx x 1 dx.
 2 2
 Chọn D
Câu 39. Nếu gọi V là thể của khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
 x 5, x 0, y 0, y 25 x2 xung quanh trục Ox thì khẳng định nào sau đây là đúng?
 250 250 125
 A.V .B. V . C. V . D. V 250 .
 3 3 3
 Hướng dẫn giải
 0 2 0 x2 250 
 Ta có:V 25 x2 dx 25 x2 dx 25x 0 .
 5
 5 5 2 3
 Chọn B .
Câu 40. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 x , Ox , x 0 , x 4 quay xung quanh trục Ox . Thể 
 tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
 68 68 28 28 2
 A. 2 B. C. D.
 3 3 3 3
 Hướng dẫn giải
 4
 2 68 
 Ta có V 1 x dx 
 0 3
 Chọn B . Chọn C . 
Câu 5. Nếu gọi V là thể của khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
 x 0, x , y 0, y cos x xung quanh trục Ox thì khẳng định nào sau đây là đúng?
 4
 A.V .B. V 1 .C. V 2 .D. V 2 .
 8 8 8 4
 Hướng dẫn giải.
 Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng:
 1 1 1 4 
 V 4 cos2 xdx 4 1 cos 2x dx x sin 2x 2 .
 0 0 
 2 2 2 0 8
 Chọn C . 
Câu 6. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình giới hạn bởi các đường y sin x, x 0 , x , trục Ox 
 2
 quanh trục Ox bằng bao nhiêu?
 2 2
 A. . B. C. D. 2 .
 2 4 2
 Hướng dẫn giải.
 Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng:
 1 1 1 2 2
 V 2 sin2 xdx 2 1 cos 2x dx x sin 2x .
 0 0 
 2 2 2 0 4
 Chọn B . 
Câu 7. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi ta cho miền phẳng D giới hạn bởi các đường y ex , 
 y 0, x 0, x 1 quay quanh trục Ox .
 (e2 1) e 2
 A.V . B. V . C. V 2 . D. V .
 2 2
 Hướng dẫn giải.
 Thể tích khối tròn xoay tạo thành là:
 1 1 1 1
 V e2xdx e2x e2 1 .
 0 2 0 2
 Chọn A . 
Câu 8. Thể tíchvật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàmsố y2 = 8x và x 2 quanh 
 trục Ox là:
 A.12 B. 4 C.16 D.8 
 Hướng dẫn giải
 y2 = 8x x = 0
 Xét hệ phương trình .
 y 0 y 0 Thể tích khối tròn xoay khi đó là
 2
 2 2 5 3
 2 2 4 3 2 x 4 4x 16 
 V x 2x dx x 4x 4x dx x .
 5 3 15
 0 0 0
 Chọn A.
Câu 12. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn parabol P : y x2 1 và trục hoành khi 
 quay xung quanh trục Ox bằng bao nhiêu đơn vị thể tích?
 5 16 8
 A. B.3 C. D.
 2 15 3
 Hướng dẫn giải
 Xét phương trình hoành độ giao điểm: x2 1 0 x 1.
 Thể tích khối tròn xoay khi đó là
 1
 1 1 5 3
 2 2 4 2 x 2x 16 
 V x 1 dx x 2x 1 dx x . 
 5 3 15
 1 1 1
 Chọn C.
Câu 13. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục Ox :
 y 1 x2 , y 0
 3 3 4 4 
 A. B. C. D.
 4 4 3 3
 Hướng dẫn giải
 Xét phương trình hoành độ giao điểm: 1 x2 0 1 x2 0 x 1.
 Thể tích khối tròn xoay khi đó là
 1
 1 3
 2 x 4 
 V 1 x dx x .
 3 3
 1 1
 Cách khác: 
 Từ y 1 x2 y2 1 x2 x2 y2 1là phương trình đường tròn tâm O và bán kính là 1.
 Hình phẳng giới hạn bởi bởi các đường y 1 x2 , y 0 là nửa đường tròn nằm phía trên trục Ox . 
 4 
 Khi đó khồi tròn xoay sinh ra là khối cầu tâm O và bán kính là 1. Vậy thể tích là V .
 3
 Chọn D.
Câu 14. Tính thể tích sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và Parabol 
 (C) : y ax x2 (a 0)
 a5 a5 a4 a5
 A. .B. . C. . D. .
 10 30 5 20
 Hướng dẫn giải
 Phương trình hoành độ giao điểm của C và Ox là:
 2 x 0
 ax ax 0 . Vì a 0 nên thể tích cần tìm là:
 x a
 a
 a a 3 4 5 5
 2 2 2 2 3 4 2 x ax x a
 V ax x dx a x 2ax x dx a .
 3 2 5 30
 0 0 0 3
 3 5
 4 x 2 33 
 V x 2 dx .
 0 5 5
 0
 Chọn C.
Câu 19. Cho hình phẳng S giới hạn bởi Ox,Oy, y 3x 2 . Thể tích của khối tròn xoay khi quay S quanh 
 Oy là:
 2 4 8 16
 A. . B. .C. . D. .
 3 3 3 3
 Hướng dẫn giải
 2
 Phương trình hoành độ giao điểm: 3x 2 0 x .
 3
 Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: 
 0 0 0
 3 8 
 V (3x 2)2 dx (3x 2)2 d(3x 2) 3x 2 .
 2
 2 3 2 9 9
 3
 3 3
 Chọn C. 
Câu 20. Thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 4, y 2x 4, x 0, x 2quay quanh 
 trục Ox bằng:
 32 32 
 A. B. 6 C. D. 6 
 5 5
 Hướng dẫn giải
 Thể tích cần tìm 
 2 5 
 2 2 2 2 4 2 x 3 2 2 32
 V x 4 2x 4 dx x 12x 16x dx 4x 8x 
 0 0 0
 5 5
 Chọn A
 x3
Câu 21. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong y , y x2 khi 
 3
 xoay hình phẳng quanh trục Ox .
 486 48 164 34
 A.V B.V C.V D.V 
 35 35 5 35
 Hướng dẫn giải
 x3 x 0
 Phương trình hoành độ giao điểm x2 
 x 3
 3 
 Thể tích cần tìm
 3 x6 x7 x5 3 486
 V x4 dx 
 0 0
 9 63 5 35
 Chọn A
Câu 22. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y (x 2)2 , y 4 khi xoay quanh trục hoành là.
 256 256 176 
 A.V B.V C.V 256. D. 
 5 5 3
 Hướng dẫn giải 2 x 1
Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 1 
 x 1
 1 1 1
 2 2
Thể tích quay quanh Ox : V x2 2 1 dx x2 2 dx dx
 1 1 1
Chọn B.