Bài tập Chuyên đề môn Toán Lớp 12 - Ứng dụng tích phân (Có lời giải)

 CHỦ ĐỀ 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
I- Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường:
Những điểm cần lưu ý:
Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liờn tục trờn đoạn [a; b]. Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc 
 b
đường y = f (x), y = g(x), x = a, x = b là S =ũ f (x) - g(x) dx .
 a
Phương phỏp giải toỏn
+) Giải phương trỡnh f (x) = g(x) (1) 
 b
+) Nếu (1) vụ nghiệm thỡ S =ũ( f (x) - g(x)) dx .
 a
+) Nếu (1) cú nghiệm thuộc .[ a;b] . giả sử a thỡ 
 a b
S =ũ( f (x) - g(x)) dx +ũ( f (x) - g(x)) dx
 a a
Chỳ ý: Cú thể lập bảng xột dấu hàm số f (x) - g(x) trờn đoạn [a; b] rồi dựa vào bảng xột dấu để tớnh 
tớch phõn.
Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liờn tục trờn đoạn [a; b]. Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc 
 b
đường y = f (x), y = g(x) là S =ũ f (x) - g(x) dx . Trong đú a, b là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của 
 a
phương trỡnh f (x) = g(x) (a Ê a < b Ê b) .
Phương phỏp giải toỏn
 Bước 1. Giải phương trỡnh f (x) = g(x) tỡm cỏc giỏ trị a, b .
 b
 Bước 2. Tớnh S =ũ f (x) - g(x) dx như trường hợp 1.
 a
Cõu 1. Cụng thức tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f (x) , y = g(x) liờn tục 
 trờn [a ; b] và hai đường thẳng x = a , x = b (a <b) là:
 b b
 A. S =p f (x) - g(x).dx . B. S = ( f (x) - g(x))dx .
 ũa ũa
 b b
 C. S = ( f (x) - g(x))2.dx . D. S = f (x) - g(x).dx .
 ũa ũa
Cõu 2. Diện tớch S của hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , liờn tục trờn [a ; b] trục hoành 
 và hai đường thẳng x = a, x = b(a <b) cho bởi cụng thức:
 b b b b
 A. S =ũ f ( x) dx. B. S =ũ f ( x)dx. C. S =pũ f ( x) dx. D. S =pũ f 2 ( x)dx.
 a a a a
Cõu 3. Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường y = x3 +11x - 6, y = 6x2 , x = 0, x = 2 . (Đơn vị 
 diện tớch)
 4 5 8 18
 A. B. C. D. 
 3 2 3 23
Cõu 4. Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi y = x3 , y = 4x là:
 A. 8 B. 9 C. 12 D. 13
Cõu 5. Cho đồ thị hàm số y = f (x) . Diện tớch hỡnh phẳng (phần tụ đậm trong hỡnh) là
 Trang 1/34 1 1 1 1
 A. B. C. D. 
 12 13 14 15
Cõu 15. Diện tớch hỡnh phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = 2x3 - 3x2 +1 và 
 y = x3 - 4x2 +2x +1 là
 37 37
 A. B. C. 3 D. 4
 13 12
Cõu 16. Gọi (H) là hỡnh phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y =(1+ex ) x, y =(1+e) x . Diện tớch 
 của (H) bằng
 e - 1 e - 2 e - 2 e +1
 A. B. C. D. 
 2 2 2 2
Cõu 17. Hỡnh phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 - 1 , y = x +5 . Diện tớch của (H) 
 bằng
 71 73 70 74
 A. B. C. D. 
 3 3 3 3
Cõu 18. Hỡnh phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 - 4x +3 , y = x +3 . Diện tớch của 
 (H) bằng
 108 109 109 119
 A. B. C. D. 
 5 5 6 6
Cõu 19. Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi (P) : y = x2 +3 , tiếp tuyến của (P) tại điểm cú hoành độ 
 x = 2 và trục tung bằng 
 8 4 7
 A. B. C. 2 D. 
 3 3 3
Cõu 20. Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y2 - 2y +x = 0, x + y = 0 là 
 9 9 7 11
 A. B. C. D. 
 4 2 2 2
 1 27
Cõu 21. Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đồ thị hàm số y = x2 ; y = x2 ; y = bằng 
 27 x
 A. 27ln 2 B. 27ln 3 C. 28ln 3 D. 29ln 3
Cõu 22. Diện tớch hỡnh phẳng trong hỡnh vẽ sau là 
 8 11 7 10
 A. B. C. D. 
 3 3 3 3
II- Tớnh tớnh thể tớch vật trũn xoay giới hạn bởi cỏc đường:
Những điểm cần lưu ý:
 Trang 3/34 A. 32 B. 64 C. 16 D. 4 
Cõu 31. Cho hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường y 3x, y x, x 0, x 1 quay xung quanh trục Ox. 
 Thể tớch của khối trũn xoay tạo thành bằng:
 8 4 2 
 A. V . B. V . C. V . D. V .
 3 3 3
Cõu 32. Cho hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường y x3 6x2 9x, y 0 quay xung quanh trục Ox. Thể 
 tớch của khối trũn xoay tạo thành bằng:
 729 27 256608 7776 
 A. B. C. D. 
 35 4 35 5
Cõu 33. Cho hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường y 2x2 , y2 4x quay xung quanh trục Ox. Thể tớch 
 của khối trũn xoay tạo thành bằng:
 88 9 4 6 
 A. V . B. V . C. V . D. V . 
 5 70 3 5
 Trang 5/34 0 1 1
 A. S =ũ f (x)dx +ũ f (x)dx B. S =ũ f (x)dx
 - 2 0 - 2
 - 2 1 0 1
 C. S =ũ f (x)dx +ũ f (x)dx D. S =ũ f (x)dx -ũ f (x)dx
 0 0 - 2 0
 Hướng dẫn giải
 0 1
 Theo định nghĩa ta cú S =ũ f (x)dx -ũ f (x)dx
 - 2 0
Cõu 6. Diện tớch hỡnh phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng 
 x =1, x = 3 là 
 A. 19 B. 18 C. 20 D. 21
 Hướng dẫn giải
 3
 3 3 x4
 Ta cú x3 ³ 0trờn đoạn [1;3] nờn S =ũ x3 dx =ũx3dx = = 20
 1 1 4 1
Cõu 7. Diện tớch hỡnh phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x , trục hoành và hai đường thẳng 
 x =1, x = 4 là 
 14 13 14
 A. 4 B. C. D. 
 5 3 3
 Hướng dẫn giải
 4
 4 4 2 3 14
 Ta cú x ³ 0 trờn đoạn [1;4] nờn S = x dx = xdx = x 2 =
 ũ ũ 3 3
 1 1 1
Cõu 8. Diện tớch hỡnh phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3 x , trục hoành và hai đường thẳng 
 x =1, x =8 là 
 45 45 45 45
 A. B. C. D. 
 2 4 7 8
 Hướng dẫn giải
 8
 8 8 3 4 45
 Ta cú 3 x ³ 0 trờn đoạn [1;8] nờn S = 3 x dx = 3 xdx = x 3 =
 ũ ũ 4 4
 1 1 1
Cõu 9. Diện tớch hỡnh phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x , trục hoành và hai đường thẳng 
 3p
 x =p , x = là 
 2
 1 3
 A. 1 B. C. 2 D. 
 2 2
 Hướng dẫn giải
 3p 3p
 ộ 3p ự 2 2 3p
 Ta cú sin x Ê 0 trờn đoạn p; nờn S = sin x dx =- sin xdx =cos x 2 =1
 ờ ỳ ũ ũ p
 ởờ 2 ỷỳ p p
 Trang 7/34 ộx = - 2
 ờ
 Ta cú 2x3 - 3x2 +1 = x3 - 4x2 +2x +1Û ờx = 0
 ờ
 ởờx =1
 1 0 1
 Nờn S =ũ x3 +x2 - 2x dx =ũ(x3 +x2 - 2x)dx +ũ(x3 +x2 - 2x)dx
 - 2 - 2 0
 0 1
 ổx4 x3 ử ổx4 x3 ử 37
 = ỗ + - x2 ữ + ỗ + - x2 ữ =
 ỗ 4 3 ữ ỗ 4 3 ữ 12
 ố ứ- 2 ố ứ0
Cõu 16. Gọi (H) là hỡnh phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y =(1+ex ) x, y =(1+e) x . Diện tớch 
 của (H) bằng
 e - 1 e - 2 e - 2 e +1
 A. B. C. D. 
 2 2 2 2
 Hướng dẫn giải
 Xột pt (1+ex ) x - (1+e) x = 0 cú nghiệm x = 0, x =1
 1 1 e - 2
 Suy ra S =ũ x(e - ex ) dx =ũx(e - ex ) dx =
 0 0 2
Cõu 17. Hỡnh phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 - 1 , y = x +5 . Diện tớch của (H) 
 bằng
 71 73 70 74
 A. B. C. D. 
 3 3 3 3
 Hướng dẫn giải
 Xột pt x2 - 1 = x +5 cú nghiệm x = - 3, x = 3
 3 3
 Suy ra S =ũ ( x2 -1 -( x +5)) dx = 2ũ x2 -1 -( x +5) dx
 -3 0
 Bảng xột dấu x2 - 1 trờn đoạn [0;3]
 x 0 1 3
 x2 - 1 - 0 +
 1 3 73
 Vậy S = 2ũ(- x2 - x - 4)dx +ũ( x2 - x - 6) dx =
 0 1 3
Cõu 18. Hỡnh phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 - 4x +3 , y = x +3 . Diện tớch của 
 (H) bằng
 108 109 109 119
 A. B. C. D. 
 5 5 6 6
 Hướng dẫn giải
 Xột pt x2 - 4x +3 = x +3 cú nghiệm x = 0, x = 5
 1 3 5 109
 Suy ra S =ũ(- x2 +5x) dx +ũ( x2 - 3x +6) dx +ũ(- x2 +5x) dx =
 0 1 3 6
Cõu 19. Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi (P) : y = x2 +3 , tiếp tuyến của (P) tại điểm cú hoành độ 
 x = 2 và trục tung bằng 
 8 4 7
 A. B. C. 2 D. 
 3 3 3
 Hướng dẫn giải
 PTTT của (P) tại x = 2 là y = 4x +3
 Trang 9/34 8 11 7 10
 A. B. C. D. 
 3 3 3 3
 Hướng dẫn giải
 ộy = - 1 2 10
 Ta cú y2 = y +2Û ờ , Nờn S =ũ(y +2 - y2 )dy =
 ởờy = 2 0 3
Cõu 23. Thể tớch vật thể trũn xoay khi quay hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường 
 4
 y , y 0 , x 1, x 4 quanh trục ox là:
 x
 A. 6 B. 6 C. 12 D. 6 
 Hướng dẫn giải
 4 4
 Theo cụng thức ta cú thể tớch của khối trũn xoay cần tớnh là: V .( )2dx 12 . 
 1 x
Cõu 24. Cho hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường y f (x), Ox, x a, x b quay xung quanh trục 
 Ox. Thể tớch của khối trũn xoay tạo thành bằng:
 b b b b
 A. V 2 f (x)dx. B. V f 2 (x)dx. C. V 2. f 2 (x)dx. D. V f 2 (x)dx.
 a a a a
 Hướng dẫn giải
 b
 Theo cụng thức ta cú thể tớch của khối trũn xoay cần tớnh là: V f 2 (x)dx. 
 a
Cõu 25. Cho hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường y x 1 ; trục Ox và đường thẳng x 3 quay xung 
 quanh trục Ox. Thể tớch của khối trũn xoay tạo thành bằng:
 3
 A. B. 3 C. 2 D. 
 2
 Giao điểm của hai đường y x 1 và y 0 là A(1;0) . Vậy thể tớch của khối trũn xoay cần 
 3
 tớnh là: V (x 1)dx 2 . 
 1
Cõu 26. Cho hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường y2 x, x a, x b (0 a b) quay xung quanh trục 
 Ox. Thể tớch của khối trũn xoay tạo thành bằng:
 b b b b
 A. V 2 xdx. B. V xdx. C. V xdx. D. V 2 xdx.
 a a a a
 Hướng dẫn giải
 Với x a;b thỡ y2 x y x .
 b
 Theo cụng thức ta cú thể tớch của khối trũn xoay cần tớnh là: V xdx. 
 a
 Trang 11/34 Hướng dẫn giải
 Giao điểm của hai đường y2 4x và x 4 là D(4; 4) và E(4;4) . Phần phớa trờn Ox của 
 đường y2 4x cú phương trỡnh y 2 x . Từ hỡnh vẽ suy ra thể tớch của khối trũn xoay cần 
 4
 tớnh là: V .(2 x)2dx 32 . 
 0
Cõu 31. Cho hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường y 3x, y x, x 0, x 1 quay xung quanh trục Ox. 
 Thể tớch của khối trũn xoay tạo thành bằng:
 8 4 2 
 A. V . B. V . C. V . D. V .
 3 3 3
 Hướng dẫn giải
 Tọa độ giao điểm của đường x 1 với y x và y 3x là cỏc điểm C(1;1) và B(3;1) . Tọa độ 
 giao điểm của đường y 3x với y x là O(0;0) . Vậy thể tớch của khối trũn xoay cần tớnh là: 
 1 1 8
 V .9x 2dx .x 2dx . . 
 0 0 3
Cõu 32. Cho hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường y x3 6x2 9x, y 0 quay xung quanh trục Ox. Thể 
 tớch của khối trũn xoay tạo thành bằng:
 729 27 256608 7776 
 A. B. C. D. 
 35 4 35 5
 Hướng dẫn giải
 Tọa độ giao điểm của đường y x3 6x2 9x với y 0 là cỏc điểm C(e;e) và A(3;0) . Vậy 
 3
 2 729
 thể tớch của khối trũn xoay cần tớnh là: V . x 3 6x 2 9x dx . . 
 0 35
Cõu 33. Cho hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường y 2x2 , y2 4x quay xung quanh trục Ox. Thể tớch 
 của khối trũn xoay tạo thành bằng:
 Trang 13/34