Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 12 - Bài: Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

 MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN 
 Các khái niệm cần lưu ý: 
 - Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện: là mặt cầu mà nó đi qua tất cả các đỉnh của hình đa diện. Tâm của mặt 
cầu ngoại tiếp cách đều tất cả các đỉnh của hình đa diện. 
 - Trục của đa giác: là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác và vuông góc với mặt 
phẳng chứa đa giác. Mọi điểm nằm trên trục thì cách đều các đỉnh của đa giác và ngược lại. 
 - Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng: Là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với 
đoạn thẳng đó. Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai điểm mút của đoạn 
thẳng và ngược lại. 
 Phương pháp giải 
 Đối với bài toán mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện thì mấu chốt của vấn đề là 
phải xác định được tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện đó. Khi xác định 
được tâm của mặt cầu ngoại tiếp thì ta có thể tính được các yếu tố còn lại như bán 
kính, diện tích mặt cầu, thể tích của khối cầu... 
Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 2aaa ,4 ,4 , với 0. aR Bán 
kính của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho bằng 
 A. 6a. B. 4a. C. 3a. D. 2a. 
 Hướng dẫn giải 
 Giả sử hình hộp chữ nhật là ABCD.A'B'C'D'. Dễ thấy điểm O là trung điểm của AC’ là tâm mặt cầu ngoại 
tiếp của hình hộp chữ nhật. 
 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là R OA. 
 11 22
 R AC A A A C 
 22
 1 2 2 2
 AAADDC 
 2
 1 222
 2a 4 a 4 a 3 a .
 2
 Chọn C. 
 Ví dụ mẫu 
Cách 1. Tìm một điểm cách đều các đỉnh của khối đa diện theo định nghĩa mặt cầu 
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tâm mặt cầu 
ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là điểm I với 
 A. I là trung điểm của đoạn thẳng SD. 
 B. I là trung điểm của đoạn thẳng AC. 
 C. I là trung điểm của đoạn thẳng SC. 
 D. I là trung điểm của đoạn thẳng SB. 
 Hướng dẫn giải 
 BC AB
 Từ giả thiết ta có 
 BC SA BC  SAB BC  SB
 SBC 90o 1 .
 Chứng minh tương tự ta cũng có 
 CD SD SDC 90o 2 . 
 Do SA ABCD SA  AC SAC 90o 3 . 
 Từ (1), (2) và (3) suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là mặt cầu đường kính SC nên tâm mặt cầu 
ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm I của đoạn thẳng SC. 
 Chọn C. 
Ví dụ 2. Cho khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a 3 . Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình 
chóp là 
 a3 6 36 a3
 A. Va 3 3 6. B. Va 3 6. C. V . D. V . 
 8 8
 Hướng dẫn giải 
 Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ABCD . 
 1 1a 6
 Ta có OD BD . a 6 , 
 2 2 2
 a 6
 SO SD22 OD . 
 2
 Vậy OS OA OD OB OC, nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp 
S.ABCD. 
 4
 Vậy thể tích khối cầu cần tìm là V .6 SO33 a (đvtt) 
 3
 Chọn B. 
Lưu ý: 
 a2
Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp đều: R 
 2h
với a: độ dài cạnh bên, h: chiều cao hình chóp. 
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ABCD và SA AB a. Bán kính mặt 
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là 
 a 2 a 3 a 5
 A. . B. . C. . D. a 2. 
 2 2 2
 Hướng dẫn giải 
 Chứng minh tương tự như ví dụ 2 ta được kết quả 
 Ba đỉnh A, B, D đều nhìn cạnh SC dưới một góc vuông. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm SC và bán 
 SC
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là R . 
 2
 Ta có ABCD là hình vuông cạnh a AC a 2. 
 Xét tam giác SAC vuông tại A có SC a22 2 a a 3. 
 a 3
 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là R . 
 2
 Chọn B. 
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh bằng 2, hai mặt phẳng (ABD) và 
(ACD) vuông góc với nhau. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 
 22 6
 A. 2 2. B. 2. C. . D. . 
 3 3
 Hướng dẫn giải 
 Ta có ABC, BCD đều cạnh bằng 2 nên AC CD 2 ACD cân tại C. 
 Gọi I là trung điểm AD  CI AD. 
 ACD  ADB 
 Lại có ACD  ADB AD CI  ABD 
 IC AD
 CI  IB doIB  ABD 1 
 Ta có ACD ABD c. c . c CI IB 2 . 
 Từ (1) và (2) ta có ACB vuông cân tại 
 CB 2
I CB IB2 IB 2 IC . 
 22
 DIB vuông tại I ID BD22 IB 2 AD 2 ID 2 2. 
 Xét ADB có AB DB 2; AD 2 2 ABD vuông tại B. 
 ABD 90oo ACD 90 . 
 Suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có đường kính là AD nên bán kính là R ID 2. 
 Chọn B. 
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có SA ABC , tam giác ABC vuông tại B. Biết SA 4 a , AB 2 a , BC 4 a . 
Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là 
 A. 3a. B. 2a. C. a. D. 6a. 
 Hướng dẫn giải 
 BC AB
 Ta có BC  SAB BC  SB. 
 BC SA do SA ABC SA ABC SA  AC 
 Suy ra hai điểm A, B cùng nhìn SC dưới một góc vuông. Vậy tâm của mặt 
 SC
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trung điểm SC, bán kính mặt cầu là R . 
 2
 Ta có AC2 AB 2 BC 2 4 a 2 16 a 2 20 a 2 
 SC SA2 AC 2 16 a 2 20 a 2 6 a 
 //BD
 BD//. EF Vậy Ra 3. 
 SBD  EF
 Chọn A. 
Ví dụ 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC a3, ACB 30o . Góc giữa 
đường thẳng AB' và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC bằng 
 a 21 a 21 3a a 21
 A. . B. . C. . D. . 
 4 2 4 8
 Hướng dẫn giải 
 a 3
 Trong tam giác vuông ABC có AB AC.sin30o . 
 2
 Vì AB  ABC A và hình chiếu của B lên mặt phẳng (ABC) là B nên góc giữa đường thẳng AB' và mặt 
phẳng (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng AB' và AB, và bằng góc B AB (vì tam giác AB'B vuông tại B). Do 
đó B AB 60o . 
 Trong tam giác vuông AB'B có 
 aa33
 BB AB.tan60oo tan60 . 
 22
 Trong tam giác vuông AA'C có 
 2
 2
 22 3a 21
 A C AA AC 3. a a 
 22
 Ta có BC AB và BC AA nên BC ABB A , suy ra BC A B hay 
A BC 90o . Mà A AC 90o , suy ra hai điểm A, B cùng nhìn A'C dưới một góc vuông. 
 AC 21
 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC bằng Ra . 
 24
 Chọn A. 
Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình vuông cạnh a,2 SA a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). 
Gọi M là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng ( ) qua A và M đồng thời song song với đường thẳng BD cắt SB, SD 
lần lượt tại E, F. Bán kính mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, E, M, F nhận giá trị nào sau đây? 
 a a 2
 A. a. B. . C. . D. a 2. 
 2 2 Hướng dẫn giải 
 Gọi I là giao điểm của AM và SO. 
 Dễ thấy I là trọng tâm tam giác SAC và I, E, F thẳng hàng. 
 SF SI 22
 Lại có SF SD 
 SD SO 33
 22
 SF.2 SD SD2 SA 2 AD 2 a 2
 33 
 SF.. SD SA2
 Xét tam giác vuông SAD có SF. SD SA2 AF là đường cao tam giác AF SF. 
 Chứng minh tương tự ta có AE SB. 
 Tam giác SA AC a 2 nên AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao tam giác AM SC. 
 AM SM
 Ta có AF SF nên mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, E, M, F có tâm là trung điểm SA và bán kính bằng 
 AE SE
SA a 2
 . 
 22
 Chọn C. 
 Chú ý: Ta có thể làm như sau 
 Do EF  SBD và //BD nên EF//. BD 
 Ta có 
BD AC,. BD  SA BD  SAC EF  SAC EF  SC 
 Tam giác SAC có SA AC a 2 nên AM SC. 
 Do đó SC AMEF SC  AE 1. 
 Lại có BC AB, BC SA nên BC SAB BC  AE 2. 
 Từ (1) và (2) suy ra AE SBC AE  SB. 
 Chứng minh tương tự, ta được AF SD. Từ đây, suy ra kết quả như cách bên. 
Cách 2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và mặt 
phẳng trung trực của một cạnh bên 
 Chú ý: Trong khuôn khổ bài tập thường xoay quanh hình chóp, hình lăng trụ nên đa giác đáy ta nói đến ở 
đây là đáy của hình chóp hay hình lăng trụ. 
Ví dụ 1. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60°. Gọi (S) là mặt 
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng 
 32 a3 32 a3 64 a3 72 a3
 A. . B. . C. . D. . 
 81 77 77 39
 Hướng dẫn giải Gọi H là tâm của tam giác ABC, SH là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC, mặt phẳng trung trực của SA qua 
E là trung điểm của SA và cắt SH tại I. Khi đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. 
 Xét trong tam giác SAH ta có 
 a32 SH a
 SH AH.tan 60oo .tan 60 a ; SA . 
 3 sin 60o 3
 Xét hai tam giác đồng dạng SEI và SHA 
 22aa
 .
 SI SE SA.2 SE a
 Ta có SI 3 2 3 
 SA SH SH a 3
 2a
 R . 
 3
 3
 4 2aa 32 3
 Suy ra thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng . 
 3 3 81
 Chọn A. 
Ví dụ 2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng a. 
 7 a2 7 a2 7 a2 3 a2
 A. . B. . C. . D. . 
 5 3 6 7
 Hướng dẫn giải 
 Gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ O1O2 là trục đường tròn ngoại tiếp hai đa 
giác đáy. 
 Gọi I là trung điểm của O12 O IA IB IC IA IB IC . 
 Suy ra trung điểm I của O1O2 là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. 
 Bán kính 
 2 2 2
 OO 2aa 3 7
 R IA AO2 IO 2 AO 2 12 ... a 
 2 2 2 
 2 3 2 2 12
 Do đó diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng a là 
 2
 3
 2 77 a
 S 4 . R 4 . a . . 
 12 3
 Chọn B. 
Lưu ý: 
Mặt phẳng trung trực của một cạnh bên cắt O1O2 tại I là trung điểm của O1O2. 
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và 
AB 2, AC 4, SA 5. Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABC có bán kính là 
 25 5 10
 A. R . B. R . C. R 5. D. R . 
 2 2 3
 Hướng dẫn giải Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, SA 
 Ta có tam giác ABC vuông tại A suy ra A là tâm đường tròn ngoại tiếp 
tam giác ABC. Qua M kẻ đường thẳng d sao cho d ABC d là trục 
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
 Trong mặt phẳng kẻ đường trung trực của đoạn SA, cắt d tại I 
 IA IB IC
 IA IB IC IS 
 IA IS
 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Dễ thấy tứ giác HAMI là hình chữ nhật. 
 Ta có 
 11
 AM BC 222 4 5,
 22
 15
 IM SA .
 22
 55
 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là R AI AM22 IM 5. 
 42
 Chọn B. 
Lưu ý: có thể thay mặt phẳng trung trực của SA bằng đường trung trực của SA xét trong mặt phẳng 
(SAM). 
Ví dụ 4. Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 
là 
 a 2
 A. a 2. B. a. C. . D. 2.a 
 2
 Hướng dẫn giải 
 Gọi O là tâm của hình vuông ABCD  SO ABCD 
 Vậy SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD 
 Trong (SAC) gọi (d) là trung trực của SA và I là giao điểm của (d) với SO 
 I SO IA IB IC ID
 Id IA IS
 IA IB IC ID IS.
 Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 
 SA2 SA 2 a 2 a 2
 Bán kính mặt cầu là R . 
 22SO 2 2 2
 2 SA AO a 2
 2 a2 
 2
 Chọn C. 
Ví dụ 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, các mặt bên tạo với đáy một góc 60°. Diện 
tích Smc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là 25 a2 32 a2 8 a2 a2
 A. S . B. S . C. S . D. S . 
 mc 3 mc 3 mc 3 mc 12
 Hướng dẫn giải 
 Trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là SO. Mặt phẳng trung trực của SB cắt SO tại I, cắt SB tại K thì I 
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 
 Gọi H là trung điểm BC thì SHO 60o . 
 Xét tam giác vuông SHO, ta có 
 SO
 tan 60o SO a 3. 
 OH
 Từ đó suy ra 
 SB SO2 OB 2 3 a 2 2 a 2 a 5. 
 Ta có SKI∽ SOB g.. g 
 a 5
 a 5.
 SK SI SK. SB 5 a 5 a 3
 SI SI 2 . 
 SO SB SO a 3 2 3 6
 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 
 75aa22 25 
 SR 4 2 4 . 
 mc 36 3
 Chọn A. 
Ví dụ 6. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy a 2, cạnh bên 2a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của 
SA, SB, SC, SD. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDMNPQ. 
 a 6 a 6 a 10
 A. R . B. Ra . C. R . D. R . 
 2 4 4
 Hướng dẫn giải 
 Ta có ABCD //. MNPQ Gọi O  AC BD. 
 Mà S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ABCD . Nên SO là trục của hai đáy (ABCD) và (MNPQ). 
 Trong mặt phẳng (SAO) kẻ đường trung trực d của đoạn thẳng AM cắt SA, SO tại H, I. 
 Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCDMNPQ và bán kính là 
IA. 
 Ta có SA SB SC SD 2 a 
 AB BC CD DA a 2. 
 3 3 3aa 1
 Lại có SH SA .2 a HA SA . 
 4 4 2 4 2
 AC AB2 2 a AO a SO SA22 AO a 3. 3a
 a.
 HI SH OA.3 SH a
 Mặt khác SHI∽ SOA g.. g HI 2 
 OA SO SO a 3 2
 2 2
 22 aa3 
 Bán kính mặt cầu cần tìm là R AI HI HA a. 
 22 
 Chọn B. 
Cách 3. Dựa vào trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và trục của đường tròn ngoại tiếp một mặt bên 
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB 2 a , BC a , hình chiếu của S lên mặt phẳng 
 a 3
(ABCD) là trung điểm H của AD,. SH Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu? 
 2
 16 a2 16 a2 4 a3 4 a2
 A. . B. . C. . D. . 
 3 9 3 3
 Hướng dẫn giải 
 Gọi I là giao điểm của AC và BC, qua I dựng đương thẳng d song song với 
SH  d ABCD . 
 Gọi M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD, qua M kẻ đường thẳng d' 
vuông góc với mp(SAD), d' cắt d tại O O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình 
chóp S.ABCD và bán kính bằng R OS MO22 MS . 
 AB
 Với OM IH a, MS r (r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam 
 2
giác SAB). 
 a 3
 Lại có, SAD cân tại A, cạnh AD a, đường cao SH suy ra tam giác SAD đều 
 2
 2aa 3 4 2
r AM SH R2 (R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD). 
 3 3 3
 16 a2
 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng SR 4. 2 
 3
 Chọn A. 
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA ABC . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Biết 
BAC ,. BC a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN là 
 4 4 
 A. a2. B. a2. C. a2. D. a2. 
 cos2 sin2 cos2 sin2 
 Hướng dẫn giải 
 +) Gọi K, P lần lượt là trung điểm của AC và AB. 
 ACN vuông tại N K là tâm đường tròn ngoại tiếp ACN. 
 ABM vuông tại M P là tâm đường tròn ngoại tiếp ABM. 
 +) Hai mặt phẳng (SAB), (ABC) vuông góc và cắt nhau 
theo giao tuyến AB nên gọi d1 là trục của đường tròn ngoại 
tiếp ABM thì d1 qua P, d1  ABC và d1  AB. Tương tự, 
gọi d2 là trục của đường tròn ngoại tiếp ACN thì d2 qua 
K, d2  ABC và d2  AC. 
 +) Rõ ràng, trong mặt phẳng (ABC) thì d1d2 lần lượt là đường trung trực của các cạch AB, AC nên hai đường 
này cắt nhau tại tâm đường tròn ngoại tiếp ABC. Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN cũng là 
tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, bán kính R của mặt cầu này cũng chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp 
 ABC. 
 BC a
 +) Áp dụng định lí sin cho ABC ta được R . 
 2sinA 2sin 
 a2
 Vây diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN là SR 4. 2 
 sin2 
 Chọn B. 
Lưu ý: 
Cách 2: Vẽ đường kính AE của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó A, M, N, B, C cùng nhìn AE 
góc 90°. 
Áp dụng định lí sin cho ABC ta được 
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN là 
 Bài tập tự luyện 
Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, (S) là mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện ABCD. M 
là một điểm thay đổi trên (S). Tổng T MA2 MB 2 MC 2 MD 2 bằng 
 3a2
 A. . B. a2. C. 4.a2 D. 2.a2 
 8
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB a , AC 2 a . Mặt bên SAB , SCA lần lượt 
 2
là các tam giác vuông tại B, C. Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng a3. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 
 3
S.ABC bằng bao nhiêu? 
 3a 3a
 A. Ra 2. B. Ra . C. R . D. R . 
 2 2
Câu 3: Cho lăng trụ đứng có chiều cao bằng h không đổi, một đáy là tứ giác ABCD với A, B, C, D di động. Gọi 
I là giao của hai đường chéo AC và BD của tứ giác đó. Cho biết IA... IC IB ID h2 Giá trị nhỏ nhất của bán 
kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho là 
 h 5 h 3
 A. 2.h B. . C. h. D. . 
 2 2 Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng 
vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD bằng 
 7 21 7 21 7 21 49 21
 A. a3. B. a3. C. a3. D. a3. 
 54 162 216 36
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 3 a , AD a , SAB là tam giác đều và 
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 
 A. Sa 5. 2 B. Sa 10 2 . C. Sa 4. 2 D. Sa 2. 2 
Câu 6: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều chung cạnh BC 2. Gọi I là trung điểm của 
 1
BC,2 AID với cos . Hãy xác định tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó. 
 3
 A. O là trung điểm của AD. B. O là trung điểm của BD. 
 C. O thuộc mặt phẳng (ADB). D. O là trung điểm của AB. 
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết AB BC a, AD 2 a . Tam 
giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác 
S.ABC bằng 
 A. 6 a2. B. 10 a2. C. 3 a2. D. 5 a2. 
Câu 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và 
B, AB BC a , AD 2 a , SA  ABCD và SA a 2. Gọi E là trung điểm của AD. Kẻ EK SD tại K. Bán 
kính mặt cầu đi qua sáu điểm S, A, B, C, E, K là 
 1 6 3
 A. Ra . B. Ra . C. Ra . D. Ra . 
 2 2 2
 o
Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác với AB 2 cm , AC 3 cm , BAC 60 , SA  ABC . Gọi B1, C1 
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Thể tích khối cầu đi qua năm điểm A, B, C, B1, C1 bằng 
 28 21 76 57 77 27 
 A. cm3. B. cm3. C. cm3. D. cm3. 
 27 27 6 6
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại 
A, B , AB BC a , SA AD 2 a , SA  ABCD , gọi E là trung điểm của AD. Bán kính R của mặt cầu ngoại 
tiếp khối chóp S.CDE theo a là 
 32a a 10 a 11 a 2
 A. R . B. R . C. R . D. R . 
 2 2 2 2
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng 
vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp 
S.CMN là 
 3 a2 31 a2 a 2 5 a2
 A. . B. . C. . D. . 
 12 12 12 12
Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có các tam giác ABC, SAB là các tam giác đều cạnh a nằm trong hai mặt phẳng 
vuông góc với nhau. Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là a 5 a a 21 a 15
 A. R . B. R . C. R . D. R . 
 4 2 6 6
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D và AB AD a,2 DC a tam 
giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC và M 
là trung điểm của HC. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BDM theo a là. 
 7 a2 13 a2 13 a2 7 a2
 A. . B. . C. . D. . 
 9 9 3 3