Giáo án ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Hệ tọa độ trong không gian

 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
1. Kiến thức:
 - Giúp học sinh hệ thống hoá toàn bộ các kiến thức về hệ tọa độ trong khụng gian
2. Kỹ năng:
 - Tìm tọa độ véc tơ, tọa độ điểm, thực hiện các phép toán vec tơ, tích vô hướng của hai vec 
tơ, góc giữa hai vec tơ.
3. Thời lượng: 2 tiết
4. Tiến trình thực hiện
 Tiết 1. Tọa độ của điểm
  Lý thuyết
1. M (x; y; z) OM xi y j zk , ( Với O là gốc tọa độ)
Chú ý: +) M Ox M (x;0;0) +) M (Oxy) M (x; y;0)
 +) M Oy M (0; y;0) +) M (Oyz) M (0; y; z)
 +) M Oz M (0;0; z) +) M (Oxz) M (x;0; z)
2. Hình chiếu vuông góc của 1điểm lên các trục tọa độ, các mặt phẳng tọa độ.
3. Cho A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) ta có:
 2 2 2
AB (xB xA; yB yA; zB zA ) ; AB (xB xA) (yB yA) (zB zA)
 x x y y z z 
 M là trung điểm AB thì M A B ; A B ; A B 
 2 2 2 
 x x x y y y z z z
4. G là trọng tâm của tam giác ABC G( A B C ; A B C ; A B C )
 3 3 3
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Cho các điểm A(1;2;0), B( 2;0;0),C(0; 2; 2)
D(0;2;0), E(1;0;1),G(0;0; 5) . Trong các điểm trên điểm nào thuộc trục Ox,Oy,Oz , điểm nào thuộc 
mặt phẳng tọa độ
Gọi từng họ sinh đứng tại chổ trả lời:
B Ox, D Oy,G Oz, A (Oxy),C (Oyz), E (Oxz)
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3) . Xác định hình chiếu vuông 
góc của M
 a) Lên các trục tọa độ b) Lên từng mặt phẳng tọa độ
 Giải. 
 a. Hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là: 
 M1(1;0;0), M 2 (0;2;0), M 3 (0;0;3)
 b. Hình chiếu vuông góc của M lên các mặt phẳng tọa độ (Oxy),(Oyz),(Oxz) lần lượt là: 
 M1(1;2;0), M 2 (0;2;3), M 3 (1;0;3)
Ví dụ 3. Trong không gian cho 3 điểm A(1;0;-2) ,B(2;1;-1) ,C(1;-2;2)
 a) Tìm độ dài các cạnh tam giác ABC
 b) Tìm tọa độ trung điểm của BC
 c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Giải: a) Ta có AB= 3 ; BC= 19 ; AC= 2 5
 3 1 3
b) Gọi M là trung điểm của BC và có tọa độ là ( ; ; )
 2 2 2
 4 1 1 
c) Tọa độ điểm G ; ; 
 3 3 3 
 1 
a. Tìm toạ độ vectơ 3.a 4.b 2c 2a b c
   ; 
b. Tính a.b ; c.b c. cos(a,b)
Lời giải. 
a. Tọa độ vectơ 3.a 4.b 2c
 a (1;0; 2) 3.a (3;0; 6) ,
 b ( 2;1;3) 4b (8; 4; 12),
 c ( 4;3;5) 2.c ( 8;3;10),
Suy ra 3.a 4.b 2c 3 8 8;0 4 3; 6 12 10 3; 1;4 .
 2a b c (4; 2; 6)
Tương  tự: 
 a.b 1( 2) 0.1 ( 2).3 8
b.  
Tương tự: c.b 26
 a.b 8 4 10
c. cos(a,b) 
 a b 5.5 2 25
 Bài tập trắc nghiệm 
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Cho vecto: a 2i 3 j k .
Khẳng định nào sau đây là đúng? 
A. a 2;3;0 . B. a 2; 3;0 . C. a 2;3; 1 . D. a 2; 3;1 .
Câu 2. Tính góc giữa hai vectơa = (–2; –1; 2) và b = (0; 1; –1)
A. 135° B. 90° C. 60° D. 45°
Câu 3. Trong k.g Oxyz, cho 3 vectơ a 1;1;0 ; b 1;1;0 ; c 1;1;1 . Trong các mệnh đề sau, 
mệnh đề nào sai
   
 A. a 2 B. c 3 C. a  b D. b  c
Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho hai véc tơ a( 1;2; 1) , b(2; 1;1) . Tọa độ của véctơ c 2a b 
là:
 A. (3; 3;2) . B. (1;1;0) . C. (0;3; 1) . D. (3;0;1) .
Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho 2 vecto a 1;2; 1 ; và c x;2 x; 2 . Nếu c 2a thì x 
bằng
A.1 B. -1 C. -2 D. 2
Câu 6. Cho hai điểm A( 1;1;0) và B(2;1; 1) . Tọa độ véc tơ AB là:
 A. (1;2; 1) B. (1;0; 1) C. ( 3;0;1) D. (3;0; 1)
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz). Cho A(1; 2; 3), B(2; -1; 1), C(1; 1; -2). Tìm tọa 
độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
A. D(0; 4; 0). B. D(2; -2; -4). C. D(2; 0; 6). D. D(2; -2; -4).
   
Câu 8. Cho 2 điểm A 2; 1;3 ; B 4;3;3 . Tìm điểm M thỏa 3 MA 2MB 0
A. M 2;9;3 B. M 2; 9;3 C. M 2;9; 3 D. M 2; 9;3 
Câu 9. Cho a 1;m; 1 ; b 2;1;3 .Tìm m để a  b . 
 A. m 1 B. m 1 C. m 2 D. m 2
Câu 10. Cho a (2; 1;2) . Tìm y, z sao cho c ( 2; y;z) cùng phương với a
 A. y 1, z 2 B. y 2, z 1 C. y 1, z 2 D. y 2, z 1 
Câu 11. Cho A 2;5;3 ; B 3;7;4 ;C x; y;6 . Tìm x, y để 3 điểm A, B,C thẳng hàng.
 A. x 5;y 11 B. x 11;y 5 C. x 5;y 11 D. x 5;y 11
 3 Luyện tập:
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của 
mặt phẳng (P) : x 2 y 3z 1 0 ?
 A. n (1;2; 3) B. n ( 1;2;3) C. n (1; 2;3) D. n ( 1; 2; 3)
Câu 2. Một véctơ pháp tuyến n của mặt phẳng (Q) : x 5y 2 0 có tọa độ là
 A. n 1;5;0 . B. n 1;5; 2 . C. n 5;0;1 . D. n 5;1; 2 .
Câu 3. Một véctơ pháp tuyến n của mặt phẳng (R) : x 2 0 có tọa độ là
 A. n 1;0;0 . B. n 1;2;0 . C. n 1;1;0 . D. n 1;0;2 .
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của 
mặt phẳng (Oyz) ?
 A. i (1;0;0) B. k (0;0;1) C. j( 5;0;0) D. m (1;1;1)
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của 
mặt phẳng (Oxz) ?
 A. i (1;0;0) B. k (0;0;1) C. j( 5;0;0) D. m (0;2;0)
Dạng 2. Kiểm tra điểm thuộc ( hoặc không thuộc) mặt phẳng;
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , (P) : x 2y 2z 1 0 
 a.Tìm tọa độ 3 điểm thuộc (P)
 1
 b. Các điểm M (1;1;0), N(2; ;1), A( 1;0;0), B( 1; 1;1) điểm nào không thuộc mặt phẳng (P)
 2
 Giải. 
 a. Các điểm D(1;0; 1) , A( 1;0;0) , H (1; 1; 2) thuộc (P) 
 1 1
 M (1;1;0) (P)vì :1 2.1 2.0 1 0 N(2; ;1) (P)vì : 2 2. 2.1 1 4 0
 b. ; 2 2
 Tương tự: A (P), B (P)
Tổng kết: 
 Cho mp (P) : Ax By Cz D 0 và M (x0 ; y0 ; z0 ) thì: 
+) M (x0 ; y0 ; z0 ) P Ax0 By0 Cz0 D 0
 +) M (x0 ; y0 ; z0 ) P Ax0 By0 Cz0 D 0
 Luyện tập:
Câu 1. Điểm M thuộc mặt phẳng (P) : 4x 4y 6z – 2 0 có tọa độ là 
 A. M 0;1;1 . B. M 1;1;1 . C. M 1;0;1 . D. M 1;1;0 .
Câu 2. Trong không gian Oxyz cho (P) : 3x y z 1 0 . Trong các điểm sau đây điểm nào 
thuộc (P)
 A(1;-2;-4) B(1;-2;4) C(1;2;-4) D(-1;-2;-4)
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x 2y z 5 0 . Điểm nào 
dưới đây thuộc (P) ?
 A. Q(2; 1;5) B. P(0;0; 5) C. N( 5;0;0) D. M (1;1;6)
Câu 4. Cho mặt phẳng (P) có phương trình x y 1 0 . Điểm nào sau đây thuộc (P) ?
 A. (0;1;1) . B. (1;1;0) . C. (1; 1;0) D. ( 1; 1;0) .
Câu 5. Điểm M (1;2;3) không thuộc mặt phẳng nào ?
A. ( ) : x y z 1 0 B. ( ) : x z 2 0 C. (P) : 2x y z 1 0 D. (Q) :3y 2z 1 0
 Tiết 2.
Dạng 3. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
 5 Câu 6. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song : (P) x y z 5 0 và (Q) 2x 2y 2z 3 0 
 2 7 7
 A. B. 2 C. D. 
 3 2 2 3
 Bài tập cũng cố tiết 1, tiết 2
Câu 1. Cho mặt phẳng (P) : 2x y z 5 0 . Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của (P)
A. n (2;1;1) .B. n (2;1; 1) . C. n ( 1;1;2) . D. n ( 1; 1;2) . 
Câu 2. Cho mặt phẳng (P) : x y 2z 2 0 . Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của (P) 
 A. n (1; 2;2) . B. n (1;1;2) . C. n ( 1; 1; 2) . D. n ( 1; 1;2) . 
Câu 3. Một véctơ pháp tuyến n của mặt phẳng (P) x y 2 0 có tọa độ là
 A. n 1;0;0 . B. n 1;1;2 . C. n 1;1;0 . D. n 1;0;2 .
Câu 4. Trong không gian Oxyz cho mp (P) : 3x y z 1 0 . Trong các điểm sau đây điểm nào 
thuộc (P) 
 A. (1;-2;-4) B. (1;-2;4) C. (1;2;-4) D. (-1;-2;-4)
Câu 5. Cho mặt phẳng (P) có phương trình y z 2 0. Điểm nào sau đây thuộc (P) ?
 A. (0;1;1) . B. (1;1;0) . C. (1; 1;0) D. (0; 1;1) .
Câu 6. Điểm M (1;2;3) thuộc mặt phẳng nào ?
A. ( ) : x y z 3 0 B. ( ) : x z 2 0 C. (P) : 2x y z 1 0 D. (Q) :3y 2z 1 0
Câu 7. Cho mp (P) có phương trình x z 1 0. Điểm nào sau đây không thuộc (P)
 A. (0;1;1) . B. (1;1;0) . C. (1; 1;0) D. ( 1; 1;0) .
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P :3x 4y 2z 4 0 và điểm
A 1; 2;3 . Tính khoảng cách d từ A đến (P) 
 5 5 5 5
 A. d B. d C. d D. d 
 9 29 29 3
Câu 9. Cho điểm N 0; 3;2 và mặt phẳng (P) : z 2 0 . Khoảng cách từ N đến (P) là
 1
 A. -2 B. 0 C. D. 2
 2
Câu 10. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) : x y z 5 0 và (Q) 2x 2y z 1 0 
 6 4
 A. B. 2 C. D. -2 
 7 3
Dạng 4: Lập phương trình cơ bản của mặt phẳng
 Tiết 3
1) Lập phương trình cơ bản của mặt phẳng, trong đó véc tơ pháp tuyến tìm theo định 
nghĩa.
Ví dụ 5: Lập phương trình mặt phẳng ( ) , biết: 
a) ( ) đi qua A(1;3;2) có véc tơ pháp tuyến n (4;3; 2)
b) ( ) qua B và vuông góc với AB với A(1;2;3) , B(2; 3;5)
c) ( ) đi qua M(2; 3;1) và song song với mp (P) : x 2y 3z 1 0
d) ( ) qua D(2;3;5) và song song với mặt phẳng (Oyz).
e) ( ) là mặt phẳng trung trực của EF với E(5;2;7), F(1;8;1).
(Gọi 1 HS lên làm ý a, ý b,c,d,e định hướng và gọi học sinh lên giải)
Giải:
a) Phương trình mặt phẳng ( ) là: 4(x 1) 3(x 3) 2(z 2) 0
 hay 4x 3y 2z 9 0
  
b) ( ) qua B(2;-3;5) và vuông góc với AB nên nhận AB 1; 5;2 làm một vtpt. 
 7 Gi¶i:
   
a) mp (α ) // víi gi¸ cña hai vÐc t¬ nªn cã VTPT a n ;n 2; 6;6
 1 2 
PT mp (α ) lµ : x 3y 3z 9 0
   
b) Ta có AB(16;6; 5),AC(10;0; 2) 
   
nên AB, AC ( 12; 18; 60) 6(2; 3; 10)
Do đó ( ) là mặt phẳng đi qua A (2; 8; 5 ) và có véc tơ pháp tuyến n(2;3;10) nên có phương trình: 
2(x 2) 3(y 8) 10(z 5) 0 2x 3y 10z 78 0.
Vậy ( ) : 2x 3y 10z 78 0.
c) ( ) qua các hình chiếu của điểm H( 2;1;5) trên các trục tọa độ.
Giải:Hình chiếu của điểm H( 2;1;5) lên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là
M( 2;0;0),N(0;1;0),P(0;0;5). Phương trình mặt phẳng (MNP) là 
 x y z
 1 5x 10y 2z 10 0.
 2 1 5
Vậy ( ) : 5x 10y 2z 10 0.
d) ( ) qua G(1; 3;2) và vuông góc với hai mặt phẳng 
() : x 2y 5z 1 0, () : 2x 3y z 4 0.
Giải:Ta có n()(1;2; 5),n()(2; 3; 1).
Mặt phẳng ( ) vuông góc với hai mặt phẳng (),() nên n( ) n(),n() ( 17; 9; 7).
Phương trình mặt phẳng ( ) cần tìm là: 17(x 1) 9(y 3) 7(z 2) 0 17x 9y 7z 4 0.
Vậy ( ) : 17x 9y 7z 4 0.
e) ( ) đi qua A 2;1;1 , B 1; 2; 3 và ( ) vuông góc với () : x y z 0 ;
Giải:
     
Ta có a 1;1;1 là VTPT của () , AB 3; 3; 4 . Suy ra a, AB 1;1; 0
    
Vì ( ) đi qua A, B và ( )  () nên ( ) nhận n a, AB 1;1; 0 làm VTPT
Vậy phương trình ( ) là: x y 1 0 .
g) ( ) chứa trục Ox và vuông góc với (Q) : 2x 3y z 2 0 .
   
Giải:Vì ( ) chứa trục Ox và vuông góc với (Q) nên ( ) nhận n a, i làm VTPT
   
Trong đó i 1; 0; 0 , a (2; 3; 1) là VTPT của (Q) nên n 0;1; 3 
Vậy phương trình ( ) là: y 3z 0 .
Tổng kết: 
- Mặt phẳng đi qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) và có một vtpt n A; B;C có phương trình là:
 A x x0 B(y y0 ) C(z z0 ) 0
- Mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a;0;0), B(0;b;0),C(0;0;c) có phương trình là:
 x y z
 1, (a,b,c 0)
 a b c
 Luyện tập:
Câu 1. Viết phương trình mp (Q) đi qua điểm A 0; 1;2 và song song với giá của mỗi vectơ 
u 3;2;1 và v 3;0;1 
A. Q : x 3y 3z 0 B. Q : x 3y 3z 9 0 C. Q : x 3y 3z 9 0 D. Q :3x y 3z 9 0
 9