Giáo án Toán Lớp 12 - Tiết 59+60: Ôn tập chương 3

 TÊN BÀI DẠY: CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP CHƯƠNG 3( 2TIẾT: TIẾT: 59,60)
 NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
 I. MỤC TIÊU
 1.Nội dung kiến thức:
 1.1. Nắm được định nghĩa của nguyên hàm, các tính chất cơ bản của nguyên hàm
 1.2. Nhớ được nguyên hàm của các hàm số thường gặp
 1.3. Nắm được phương pháp đổi biến số, phương pháp tính nguyên hàm từng phần để tính nguyên 
hàm
 1.4. Nắm được định nghĩa và tính chất tích phân.
 1.5. Nắm được các phương pháp tính tích phân.
 1.6. Nắm được công thức tính diện tích hình phẳng 
 1.7. Xác định vị trí (cận của tích phân) của hình phẳng trong hệ trục toạ độ
 2. Năng lực:
2.1. Năng lực mô hình hóa toán học:Từ hình vẽ cụ thể có thể tính được diện tích và thể tích uqa 
ứng dụng tích phân trong hình học
2.2. Năng lực giao tiếp toán học: Trình bày, diễn đạt, nêu câu hỏi, trả lời câu hỏi, thảo luận, tranh 
luận để tìm được kết quả chính xác. 
3.3. Năng lực tư duy và lập luận toán học: Từ định nghĩa, tính chất và phương pháp các em tính 
được nguyên hàm và tích phân cho tất cả các bài toán.
4.4. Năng lực giải quyết vấn đề: Lựa chọn, sắp xếp các kiến thức nguyên hàm, tích phân cần thiết 
để giải quyết các bài toán thực tiễn về các bài toán liên quan đến vật lí. 
5.5. Năng lực tự chủ và tự học: Luôn tích cực chủ động thực hiện các công việc của bản thân trong 
học tập.
6.6. Năng lực giao tiếp và hợp tác:
- Biết lắng nghe và có phản hồi tích cực trong giao tiếp, nhận biết ngữ cảnh giao tiếp và đặc điểm 
thái độ của đối tượng giao tiếp 
- Hiểu rõ được nhiệm vụ của nhóm, đánh giá được khả năng của mình và tự nhận nhiệm vụ phù hợp 
bản thân.
 3. Phẩm chất:
- Độc lập: Biết cách học độc lập với phương pháp thích hợp.
- Trách nhiệm: Biết chia sẻ, có trách nhiệm với bản thân, gia đình, cộng đồng.
- Chăm chỉ: Người học chăm chỉ trong học tập.
- Thế giới quan khoa học: Hiểu được nguồn gốc thực tiễn và khả năng ứng dụng rộng rãi của Cấp 
số nhân trong đời sống.
 II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
- Phương tiện, học liệu: 
- Giáo viên: Bảng vuông, hạt, giấy A0, A4, bảng phụ, nam châm.
- Học sinh: Bút màu, bút chì,phấn màu, máy tính cầm tay.
 III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
 Tiết 1
 1. Hoạt động 1: Trải nghiệm bằng bài toán vật lí
 a) Mục tiêu:
 Học sinh tiếp cận kiến thức ứng dụng của nguyên hàm và tích phân trong bài toán thực tế.
 b) Nội dung hoạt động: 
- Hoạt động cặp đôi, phát vấn trực tiếp
-Thời gian 5 phút.
- Thực hiện các tính toán số liệu cụ thể. 3
 d) Tổ chức thực hiện: 
- Giáo viên trang bị cho mỗi nhóm một tờ giấy A3, 
- Mỗi tờ giấy được chia thành 4 phần, trong đó có một phần lớn ở chính giữa tờ giấy đã được đưa 
các câu hỏi điền khuyết.
- Các thành viên trong nhóm sẽ sử dụng các tờ giấy stick nhiều màu có ghi sẵn tên học sinh.
Giáo viên giao nhiệm vụ cho học sinh. 
Phỏng vấn trực tiếp
Ví dụ 2: 
Nhóm 1
2) dx= 1.dx=x C,x ; 
 xn 1
 xn.dx C,x ; ,n ¥ *.
 n 1
3) x 1
 x .dx C,x 0; , ¢ , 1.
 1
 1
 dx 2 x C,x 0; .
4) x
 1 1
 dx C, x 0
 2 
5) x x
Nhóm 2
6) cosx.dx=sinx C,x ; 
7) sinx dx cosx C,x ; 
 1 
8) 2 dx tanx C,x ; 
 cos x 2 2 
 1 
9) 2 dx cotx C,x 0; 
 sin x 
Nhóm 3: 
10) exdx ex C,x ; 
 a x
11) a xdx C,x ; ,a 0,a 1
 ln a
 1
12) dx ln x C, x 0; 
 x
Nhóm 4: 
 3 5
 2
 2x 3 2x 3 dx d x 3x 5 
 dx 
 2020 2020 2020
 x2 3x 5 x2 3x 5 x2 3x 5 
 2 2020 1
 dt t 2020 1 x 3x 5 
 t 2020dt c c
 t 2020 2020 1 2020 1
 2019
 x2 3x 5 
 c
 2019
 1 1
 2019 c 2019 c
 2019 x2 3x 5 2019 x2 3x 5 
Nhóm 2:
 b) Tìm nguyên hàm của hàm số A 2x 3 sin xdx
Kiến thức thức cần đạt
Hướng dẫn giải :
Đặt
 u 2x 3 du d 2x 3 2x 3 '.dx 2dx
 dv sin xdx v dv sin xdx cos x
 udv uv vdu
 2x 3 sin xdx 2x 3 . cos x cos x 2dx
 2x 3 sin xdx 2x 3 . cos x 2 cos x dx
 2x 3 sin xdx 2x 3 . cos x 2sin x C
Nhóm 3:
 1
a)Tìm nguyên hàm của hàm số f x 
 1 x 1 2x 
Kiến thức thức cần đạt
Hướng dẫn giải :
Ta có
 5 7
Mà f 0 0 nên C 1.
 f x xex ex 1.
Vậy f 1 1.
 4. Hoạt động 4: Vận dụng
 a) Mục tiêu:
- Học sinh biết sử dụng kiến thức nguyên hàm làm được các bài trắc nghiệm 
 b) Nội dung:
Trình chiếu, hoặc phát phiếu học tập
 c) Sản phẩm học tập: 
Phát huy khả năng nhanh trí và tư duy trừu tượng cho học sinh.
 d) Tổ chức thực hiện: 
- Phỏng vấn trực tiếp ai nhanh được cộng 0.2 điểm
- Giáo viên trình chiếu bài giải, kết luận.
Ví dụ 4: Cho f x , g x là các hàm số xác định và liên tục trên ¡ . Mệnh đề nào sau 
đây sai ?
A. f x g x dx f x dx g x dx .
B. f x g x dx f x dx. g x dx .
C. 2 f x dx 2 f x dx .
D. f x g x dx f x dx g x dx .
Mệnh đề sai là f x g x dx f x dx. g x dx .
Ví dụ 5. Họ nguyên hàm của f x ex 2 .
A. 2ex C . B. ex 2x C .
 1
C. ex C . D. 2x C .
 ex
Hướng dẫn giải :
 f x dx ex 2 dx ex dx 2 dx
 .
 ex dx 2. dx ex 2x C
Ví dụ 6. Họ nguyên hàm của hàm số f (x)= x4 + sin x là
 x5 x5
A. + cos x + C . B. - cos x + C .
 5 5
C. 4x3 - cos x + C . D. 4x3 + cos x + C .
 7 9
- Giáo viên quan sát và theo dõi học sinh thực hiện, 
 2. Hoạt động 2: Hình thành kiến thức 
 a) Mục tiêu:
- Học sinh: Nhớ lại các định nghĩa và tính chất của tích phân
 b) Nội dung hoạt động:
Phỏng vấn trực tiếp bằng hình thức trắc nghiệm điền khuyết tiêu chí đánh giá mức độ 2 của Pisa
 c) Sản phẩm học tập:
- Tờ giấy A3 có kết quả làm việc của các nhóm cặp đôi.
Thời gian 3 phút
Thang điểm cộng 0.2
*Phương án đánh giá 
- Giáo viên dựa vào câu trả lời của từng thành viên và kết quả thảo luận trên tờ giấy A3
- Giáo viên quan sát quá trình thảo luận nhóm và phần trình bày thuyết trình của đại diện nhóm để 
đánh giá năng lực giao tiếp toán học và giao tiếp hợp tác của học sinh.
- Kết quả mong đợi: Nhớ lại các nguyên hàm cơ bản đã học; Định nghĩa và các tính chất của 
nguyên hàm.
- Giáo viên dẫn dắt: Vận dụng các nguyên hàm cơ bản, định nghĩa, tính chất và các phương pháp 
tính tích phân ta thực hiện tìm các nguyên hàm sau?
 d) Tổ chức thực hiện: 
- Giáo viên trang bị cho mỗi nhóm một tờ giấy A3, 
- Mỗi tờ giấy được chia thành 4 phần, trong đó có một phần lớn ở chính giữa tờ giấy đã được đưa 
các câu hỏi điền khuyết.
- Các thành viên trong nhóm sẽ sử dụng các tờ giấy stick nhiều màu có ghi sẵn tên học sinh.
Giáo viên giao nhiệm vụ cho học sinh. 
Phỏng vấn trực tiếp
Định nghĩa:
b
 f x dx F b F a 
a
 a b a
 f (x) dx 0; f (x) dx f (x) dx
 a a b
Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào hàm và không phụ thuộc vào biến số hay푡
b b b b
 f x dx f t dt f u du f s ds
a a a a
* Tính chất 1: 
 b b
 kf (x) dx k f (x) dx
 a a
* Tính chất 2: (15 phút)
 b b b
 [f (x) g(x)]dx f (x) dx g(x) dx
 a a a
* Tính chất 3: 
 9 11
 1
Suy ra f x dx 5 f 1 f 0 5 f 1 f 0 5 7 .
 0
Vậy f 1 7 .
Nhóm 3:
 2 2
Câu 3.Cho 4 f x 2x dx 1. Khi đó f x dx
 1 1
A. 3 .B. 1. C. 3 .D. 1.
Hướng dẫn giải :
 2 2 2 2
Ta có 4 f x 2x dx 4 f x dx 2 xdx 4 f x dx 3 .
 1 1 1 1
 2 2 2
Theo bài ra: 4 f x 2x dx 1 4 f x dx 3 1 f x dx 1.
 1 1 1
 2
Vậy f x dx 1.
 1
Nhóm 4:
 2 2 2
Câu 4.Nếu f x dx 5 và 2 f x g x dx 13 thì g x dx bằng
 1 1 1
A. 3.B. 1. C. 1. D. 3 .
Hướng dẫn giải :
Chọn D
 2 2 2
Ta có 2 f x g x dx 13 2. f x dx g x dx 13
 1 1 1
 2 2 2
 g x dx 13 2. f x dx g x dx 13 2.5
 1 1 1
 2
 g x dx 3 .
 1
 2
Vậy g x dx 3.
 1
 5. Hoạt động 5: Củng cố, nhận xét chủ đề, giao nhiệm vụ ở nhà
- Giáo viên giao nhiệm vụ cho mỗi học sinh thực hiện ở nhà (có thể thực hiện nhóm).
-Các bài tập tương tự
* Sản phẩm học tập: Bài làm của học sinh vào vở.
 11 13
Nhóm 4: 
 f (x).dx F(x) C;C R 1 
 f (x)dx f (x) C
 k  f (x)dx k f (x)dx k 0 .
 ( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx
 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3
 2x 3
a) Tìm nguyên hàm của hàm số dx
 2020
 x2 3x 5 
b) Tìm nguyên hàm của hàm số A 2x 3 sin xdx
 1
c) Tìm nguyên hàm của hàm số f x 
 1 x 1 2x 
 1
a) Tìm nguyên hàm của hàm số f x 
 1 x 1 2x 
 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 4
 3
Câu 1. Cho hàm số f x có đạo hàm trên ¡ , f 1 2 và f 3 2 . Tính I f x dx .
 1
A. I 4 . B. I 0 . C. I 3 . D. I 4 .
 1
Câu 2. Nếu hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ thỏa mãn f 0 2 , f x dx 5 thì
 0
A. f 1 7 .B. f 1 10 . C. f 1 3 .D. f 1 3 .
 2 2
Câu 3. Cho 4 f x 2x dx 1. Khi đó f x dx
 1 1
A. 3 .B. 1. C. 3 .D. 1.
 2 2 2
Câu 4. Nếu f x dx 5 và 2 f x g x dx 13 thì g x dx bằng
 1 1 1
A. 3.B. 1. C. 1. D. 3 .
 Tiết 2
 III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
 (Dành cho đối tượng HS Trung bình và khá
 + Chia nhóm: Chia lớp thành bốn nhóm, mỗi nhóm 10 học sinh.
 + Giới thiệu nội dung bài học: Tiết luyện tập được tổ chức dưới dạng một cuộc thi có tên: 
“The X- Factor” (Nhân tố bí ẩn)
 13 15
 - GV yêu cầu Mỗi đội cử 1 bạn lên trả lời câu hỏi 1 vào bảng phụ, các bạn khác hoàn thành 
vào phiếu học tập.
 - Theo dõi kết quả và nhận xét, GV công bố điểm của từng đội.
 +)Tổng kết điểm vòng I, chốt lại kiến thức : Định nghĩa, tính chất của tích phân, các 
phương pháp tính tích phân.
 2. Hoạt động 2: Hình thành kiến thức mới 
 a. Mục tiêu:
 - Học sinh vận dụng kiến thức đã được ôn tập lại ở hoạt động 1,thực hiện thành thạophương 
pháp đổi biến và phương pháp tính tích phân từng phần 
 b. Nội dung hoạt động:
 - Tổ chức phần thi Vượt chướng ngại vật với chủ đề : Giải các bài toán tích phân bằng phương 
pháp đổi biến và phương pháp tích phân từng phần
 c. Sản phẩm học tập:
 - HS đưa ra được phương án giải bài toán tính tích phân bằng cách vận dụng linh hoạt các 
phương pháp tính tích phân bằng phương pháp đổi biến và phương pháp tính tích phân từng phần.
 d. Tổ chức thực hiện (15 phút): 
 - GV đưa ra thể lệ vòng thi Vượt chướng ngại vật : Các đội cùng thảo luận để đưa ra lời giải 
cho các bài toán sau. Đội có lời giải nhanh và có đáp án đúng được quyền trình bày trước và giành 
điểm.
 - Các đội thảo luận, đại diện đội trình bày vào bảng phụ, các thành viên khác trình bày vào 
phiếu học tập.
 - Hết thời gian, các đội đưa ra kết quả
 - Theo dõi kết quả và nhận xét, GV công bố điểm của từng đội. Các đội khác có quyền bổ 
sung cho câu trả lời và giành điểm.
Bài toán 1: Cho hàm số f x liên tục và có nguyên hàm trên ¡ đồng thời thỏa mãn điều kiện 
 1
 f x 4xf x2 2x 1. Tính tích phân I f x dx ?
 0
 A. I 2 . B. I 6 . C. I 2 . D. I 6 . 
 Lời giải
 Chọn C
 1 1 1 1
 Ta có: I f x dx 4xf x2 2x 1 dx 4xf x2 dx 2x 1 dx
 0 0 0 0
 1 1 1
 Đặt u x2 du 2xdx 4xf x2 dx 2 f u du 2 f x dx 2I .
 0 0 0
 Đổi cận : x 0, u 0 x 1, u 1
 1 1 1 1
 Vậy: . I f x dx 4xf x2 dx 2x 1 dx 2I 2x 1 dx
 0 0 0 0
 15 17
- GV đưa ra thể lệ vòng thi Tăng tốc và giới thiệu phương pháp làm việc nhóm theo “Kỹ thuật khăn 
trải bàn” : Vòng thi thứ 3, có 03 bài tập đã có lời giải, các đội phải tìm các bước sai trong các lời 
giải đó. Phát hiện 1 lỗi sai được 5 điểm.
Phương pháp làm việc: Hai người đối diện thành 1 cặp, mỗi cặp thảo luận tìm các bước sai của 1 lời 
giải. Sau đó cả đội thảo luận cả 3 bài.
Phần trình bày cả đội trên bảng phụ chỉ cần ghi sai ở những bước nào, nhưng phải thể hiện được 
phần làm việc chung của cả đội và phần làm việc của từng thành viên. Sau đó thành viên đại diện 
đội lên thuyết trình.
 Hết thời gian yêu cầu các đội lần lượt trình bày, và các đội phản biện nhau.
 + Giáo viên chốt lại các sai lầm thường gặp khi giải bài toán tính tích phân
 1
 5
 Bài 1. Tính tích phân I 2x 1 dx
 0
 1 5
 5 2x 1 1 2
 Lời giải : I 2x 1 dx 
 0 5 0 5
 x 
 Lỗi sai : HS vận dụng sai công thức tính nguyên hàm, đã sử dụng công thức x dx C . 
 1
 1 ax b 
Công thức đúng cần dùng là ax b dx . C
 a 1
 1 5
 5 1 2x 1 1 1 5 1 1 5 1
 Lời giải đúng : I 2x 1 dx 2x 1 15 1 
 0 2 5 0 10 0 10 5
 2
 Bài 2. Tính tích phân I 4x2 4x 1.dx
 0
 2 2 2
 2 2
 Lời giải : I 4x2 4x 1.dx 2x 1 .dx 2x 1 dx x2 x 2
 0 0 0 0
 Lỗi sai : Học sinh biến đổi sai công thức (2x 1)2 2x 1 với x 0;2. Công thức đúng 
cần dùng là (2x 1)2 2x 1
 1
 2 2 2 2 2
 Lời giải đúng : I 4x2 4x 1.dx 2x 1 2 .dx 2x 1 dx 2x 1 dx 2x 1 dx
 0 0 0 0 1
 2
 1
 1
 2 2 2 1 1 
 1 2x dx 1 2x dx x x2 2 x2 x 0 2 2
 1 
 0 1 0 2 4 4 
 2
 17 19
c. Sản phẩm học tập: 
- Phiếu học tập trình bày bài làm của học sinh
 1
 5
Bài 1. Tính tích phân I 2x 1 dx
 0
 1 5
 5 1 2x 1 1 1 5 1 1 5 1
Lời giải đúng : I 2x 1 dx 2x 1 15 1 
 0 2 5 0 10 0 10 5
 2
Bài 2. Tính tích phân I 4x2 4x 1.dx
 0
 1
 2 2 2 2 2
Lời giải đúng : I 4x2 4x 1.dx 2x 1 2 .dx 2x 1 dx 2x 1 dx 2x 1 dx
 0 0 0 0 1
 2
 1
 1
 2 2 2 1 1 
 1 2x dx 1 2x dx x x2 2 x2 x 0 2 2
 1 
 0 1 0 2 4 4 
 2
 1
Bài 3. Tính tích phân I 1 x2 .dx
 0
Lời giải đúng : Đặt x sin t dx cost.dt
Đổi cận : x 0, t 0 x 1, t 
 2
 1 2 2 2 2
 2 1 cos 2t
 I 1 x2 dx 1 sin x cost.dt cos2 t cost.dt cos2 t.dt .dx
 0 0 0 0 0 2
 1 1 1 1 2 
 t sin 2t 2 . sin 
 2 4 2 2 4 2 4
 0
 1
Bài 4. Tính tích phân I xe x .dx
 0
Lời giải đúng : 
 u x du dx
Đặt x x
 dv e .dx v e
 1 1 1 1 1 1 2
 I xe x .dx xe x e x .dx xe x e x x 1 e x 2e 1 e0 1 
 0 0 0 0 0 0 e
d. Tổ chức thực hiện: 
 19 21
Bài toán 1: Cho hàm số f x liên tục và có nguyên hàm trên ¡ đồng thời thỏa mãn điều kiện 
 1
 f x 4xf x2 2x 1. Tính tích phân I f x dx ?
 0
 A. I 2 . B. I 6 . C. I 2 . D. I 6 . 
 1
Bài toán 2: Cho hàm số f x có đạo hàm f x và thỏa 2x 1 f x dx 10 , 
 0
 1
 3 f 1 f 0 12 . Tính I f x dx .
 0
 A. I 2 .B. I 1.C. I 1.D. I 2 .
 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3
 Tìm lỗi sai trong các lời giải sau:
 1
 5
 Bài 1. Tính tích phân I 2x 1 dx
 0
 1 5
 5 2x 1 1 2
 Lời giải : I 2x 1 dx 
 0 5 0 5
 2
 Bài 2. Tính tích phân I 4x2 4x 1.dx
 0
 2 2 2
 2 2
 Lời giải : I 4x2 4x 1.dx 2x 1 .dx 2x 1 dx x2 x 2
 0 0 0 0
 1
 Bài 3. Tính tích phân I 1 x2 .dx
 0
 Lời giải : Đặt x sin t dx cost.dt
 1 1 1 1 1
 2 1 cos 2t
 I 1 x2 dx 1 sin x cost.dt cos2 t cost.dt cos2 t.dt .dx
 0 0 0 0 0 2
 1 1 1 1 1
 t sin 2t sin 2
 2 4 0 2 4
 1
 Bài 4.Tính tích phân I xe x .dx
 0
 21 23
Câu 8: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ đồng thời thỏa mãn f 0 f 1 5 . Tính 
 1
 tích phân I f x e f x dx .
 0
 A. I 10 B. I 5 C. I 0 D. I 5
 2
Câu 9: Tính tích phân I 2x x2 1dx bằng cách đặt u x2 1, mệnh đề nào dưới đây đúng?
 1
 3 1 2 3 2
 A. I udu B. I udu C. I 2 udu D. I udu
 0 2 1 0 1
 e ln x
Câu 10: Biết dx a b 2 với a,b là các số hữu tỷ. Tính S a b .
 1 x 1 ln x
 1 3 2
 A. S 1. B. S . C. S . D. S .
 2 4 3
 e
Câu 11: Tính tích phân I x ln xdx :
 1
 e2 1 1 e2 2 e2 1
 A. I B. I C. I D. I 
 4 2 2 4
 e
Câu 12: Cho 1 x ln x dx ae2 be c với a, b , c là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây 
 1
 đúng?
 A. a b c B. a b c C. a b c D. a b c
 1
Câu 13: Tích phân x 2 e2xdx bằng
 0
 5 3e2 5 3e2 5 3e2 5 3e2
 A. . B. . C. . D. .
 4 4 2 4
 1
Câu 14: Biết rằng tích phân 2x +1 exdx = a + b.e, tích a.b bằng
 0
 A. 15 . B. 1. C. 1. D. 20.
 a
Câu 15: Biết rằng ln xdx 1 2a, a 1 . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
 1
 A. a 18;21 . B. a 1;4 . C. a 11;14 . D. a 6;9 .
 1
Câu 16: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f x dx 9 . Tích phân 
 5
 2
 f 1 3x 9 dx bằng
 0
 A. 15. B. 27 . C. 75. D. 21.
 Lờigiải
 23 25
 ChọnC
 1
 Đặt t x dt dx . Khi đó x 1 t 1; x 9 t 3
 2 x
 9 f x 3 3
 Suy ra dx 2 f (t)dt 4 f (t)dt 2.
 1 x 1 1
 Đặt t sin x; x ; dt cosdx . Khi đó. x 0 t 0; x t 1
 2 2 2
 3 1 3
 Suy ra f (x)dx f (x)dx f (x)dx 2 2 4.
 0 0 1
 5 2
Câu 19: Cho biết f x dx 15 . Tính giá trị của P f 5 3x 7 dx .
 1 0
 A. P 15. B. P 37 . C. P 27 . D. P 19.
 Lờigiải
 ChọnD
 1
 Đặt t 5 3x dt 3dx dx= dt .
 3
 Đổi cận: x 0 thì t 5; x 2 thì t 1.
 2 2 2 1
 dt 2
 Ta có: P f 5 3x 7 dx f 5 3x dx + 7dx f t 7x
 0
 0 0 0 5 3
 1 5
 f t dt 14
 3 1
 1
 .15 14 19 .
 3
 1 2
Câu 20: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa f x dx 2 và f 3x 1 dx 6 . Tính 
 0 0
 7
 I f x dx
 0 .
 A. I 16 . B. I 18 . C. I 8 . D. I 20 .
 Lờigiải
 ChọnD
 1 2
 A f x dx 2 , B f 3x 1 dx 6 đặt t 3x 1 dt 3dx .
 0 0
 25 27
 g x dx2 ex 1 a, b, c, d, e ¡ . Biết rằng đồ thị của 
 hàm số y f x và y g x cắt nhau tại ba điểm có 
 hoành độ lần lượt là 3; 1;1 (tham khảo hình vẽ).
 Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
 9
 A. .B. 8 .
 2
 C. 4 . D. 5 .
 Cho hàm số f x liên tục trên ¡ . Gọi S là diện tích hình 
 phẳng giới hạn bởi các đường y f x , y 0, x 1 và 
 x 4 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 y y f x 
 1
 -1 O 4 x
 Diện tích hình 
2018 – 2019 2
 1 4 phẳng
 A. S f x dx f x dx .
 1 1
 1 4
 B. S f x dx f x dx .
 1 1
 1 4
 C. S f x dx f x dx .
 1 1
 1 4
 D. S f x dx f x dx .
 1 1
 1
 Cho đường thẳng y x và parabol y x2 a ( a là 
 2
 Diện tích hình 
 tham số thực dương). Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích hai 3
 phẳng
 hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1 S2 
 thì a thuộc khoảng nào dưới đây?
 27 29
 - GV kết luận: Câu hỏi chủ đề “Ứng dụng hình học của tích phân” thường xuyên xuất hiện 
trong đề thi THPT QG (TN THPT) ở các mức độ 1, 2, 3, nhưng tần suất xuất hiện không nhiều 
(thường từ 1 đến 2 câu/50 câu). Do đó trong nội dung ôn tập thi TN THPT, sẽ phải có nội dung ôn 
tập về dạng toán này.
 Hoạt động 2: Hệ thống kiến thức
 a) Mục tiêu: 
 - Giúp HS hệ thống kiến thức chủ đề “Ứng dụng hình học của tích phân”.
 b) Nội dung:
 b
 - HS trả lời câu hỏi: Phương pháp tính tích phân có chứa dấu GTTĐ I f x dx ?
 a
 - HS điền vào bảng phụ theo nội dung đã được GV chuẩn bị sẵn như sau:
Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b . Khi 
đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 
x a, x b, y f x và trục Ox là:
Cho hai hàm số y f x , y g x liên tục trên 
đoạn a;b . Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn 
bởi các đường x a, x b, y f x , y g x là:
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng 
vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là 
diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng 
vuông góc với trục Ox tại điểm x , (a £ x £ b) . Giả 
sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] .
Khi đó, thể tích của vật thể B là:
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình 
phẳng giới hạn bởi các đường x a, x b, y f x 
và trục Ox quanh trục Ox là:
 c) Sản phẩm: 
 b
 - Phương pháp tính tích phân chứa dấu GTTĐ I f x dx :
 a
 * Cách 1: Giải PT f x 0 được các nghiệm bội lẻ x1, x2 ,..., xn thuộc đoạn a;b . Xét dấu 
biểu thức f x trên đoạn a;b .
 b x1 x2 b
 Khi đó I f x dx f x dx f x dx ... f x dx . Tùy thuộc vào dấu của 
 a a x1 xn
 f x mà phá dấu GTTĐ.
 * Cách 2: Giải PT f x 0 được các nghiệm bội lẻ x1, x2 ,..., xn thuộc đoạn a;b .
 29 31
 a) Mục tiêu: Thông qua việc giải chi tiết các câu hỏi đã liệt kê trong HĐ1, HS sẽ thực hành 
 phần lí thuyết được hệ thống trong HĐ2, rèn kĩ năng giải toán trắc nghiệm, kĩ năng tính toán tích 
 phân.
 b) Nội dung:Giải chi tiết các câu hỏi đã liệt kê trong HĐ1. 
 c) Sản phẩm: 
 Năm Câu hỏi
 Lời giải
 học
2015 – Không có (Thi tự luận)
 2016
 Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y ex , trục 
 hoành và các đường thẳng x 0 , x 1 . Khối tròn xoay 
 tạo thanh khi quay D quanh trục hoành có thể tích V Chọn D.
 bằng bao nhiêu? 1 1 e2 1
2016 – 2x 1 2x 
 2 2 V e dx e 
 2017 e e 1 2 2
 A.V .B. V . 0 0
 2 2
 2
 e2 1 e 1 
 C.V .D. V .
 2 2
 Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường Chọn B.
 y ex , y 0, x 0 , x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? Diện tích hình phẳng giới hạn 
 x
 2 2 bởi các đường y e , y 0, 
2017A. – S π e2xdx .B. S exdx .
 2018 0 0 x 0 , x 2 được tính theo công 
 2 2 2 2
 C. S π exdx .D. S e2xdx . thức S ex dx ex dx .
 0 0 0 0
 1
 Cho hai hàm số f x ax3 bx2 cx và 
 2 Chọn C.
 g x dx2 ex 1 a, b, c, d, e ¡ . Biết rằng đồ thị của Diện tích hình phẳng cần tìm là
 1 1
 hàm số y f x và y g x cắt nhau tại ba điểm có S f x g x dx g x f x dx
 hoành độ lần lượt là 3; 1;1 (tham khảo hình vẽ). 3 1
 1 1
 3 2 3 3 2 3 
 ax b d x c e x dx ax b d x c e x dx
 3 2 1 2 
 .
 Trong đó phương trình 
 3
 ax3 b d x2 c e x 0
 2
 * là phương trình hoành độ 
 giao điểm của hai đồ thị hàm số 
 Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích y f x và y g x .
 bằng
 9 Phương trình * có nghiệm 3
 A. .B. 8 .
 2 ; 1; 1 nên
 C. 4 . D. 5 .
 31 33
 1 4
 D. S f x dx f x dx .
 1 1
 1 Chọn C. 
 Cho đường thẳng y x và parabol y x2 a ( a là 
 2 Phương trình hoành độ giao 
 tham số thực dương). Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích hai điểm của đồ thị hàm số y x và 
 hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S S 1
 1 2 y x2 a :
 thì a thuộc khoảng nào dưới đây? 2
 1 1
 x x2 a x2 x a 0 
 2 2
 (có 1 2a )
 1
 Theo hình, ta có: 0 a .
 2
 Gọi x1 , x2 0 x1 x2 là hai 
 hoành độ giao điểm: 
 x1 1 1 2a , x2 1 1 2a 1 
 3 1 1 1 2 2 3 .
 A. ; . B. 0; . C. ; . D. ; .
 7 2 3 3 5 5 7 Khi đó
 x
 1 1 
 S S x2 a x dx
 1 2 
 0 2 
 x2
 1 2 
 x x a dx.
 2
 x1 
 x1
 1 3 1 2 
 x ax x 
 6 2 0
 x2
 1 2 1 3 
 x x ax 
 2 6 
 x1
 x2 x3
 2 2 ax 0
 2 6 2
 2
 3x2 x2 6a 0 2 
 Từ 1 , 2 1 2a 4a 1
 1
 a 3
 4 a .
 2 8
 16a 6a 0
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y x2 4 và Chọn B
 Phương trình hoành độ giao 
 y 2x 4 bằng
 điểm của hai đường y x2 4 
2019 – 4
 A. 36. B. . và y 2x 4 là
 2020 3
 2 2
(lần 1) 4 x 4 2x 4 x 2x 0
 C. . D. 36 .
 3 x 0 .
 x 2
 33 35
 b
 A. S f (x)dx .
 a
 b
 B. S f (x)dx .
 a
 c b
 C. S f (x)dx f (x)dx .
 a c
 c b
 D. S f (x)dx f (x)dx .
 a c
Câu 2. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên 
 dưới được tính theo công thức nào sau đây?
 2
 1 4 2 3 
 A. x x x 4 dx .
 1 2 2 
 2
 1 4 2 3 
 B. x x x 1 dx .
 1 2 2 
 2
 1 4 2 3 
 C. x x x 1 dx .
 1 2 2 
 2
 1 4 2 3 
 D. x x x 4 dx .
 1 2 2 
Câu 3. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x , y 0, x 0 và x 2 . Thể tích V 
 của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox được định bởi công thức
 2 2 2 2
 A. .V B.2x .1 dx C. . V D.2x 1.dx V 4x dx V 4x dx
 0 0 0 0
Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y 2x2 x 1 và y x2 3
 9 5
 A. . B. . C. 4 . D. 2 .
 2 2
Câu 5. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y x2 , x 4, 
 y 0, x 0. Đường thẳng y k , 0 k 16 chia hình (H) 
 thành hai phần có diện tích S1 , S2 (hình vẽ). Tìm k để 
 S1 S2 .
 A. 3. B. 8.
 C. 4. D. 5.
 35