Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Lớp 11 - Phân dạng và hệ thống các bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian

 Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian
============================================================
 I. PHẦN MỞ ĐẦU
1/Lý do chọn đề tài:
 Bài tập hình học không gian nói chung và bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và 
quan hệ song song nói riêng là một nội dung quan trọng trong chương trình môn 
Toán THPT, các kiến thức liên quan của dạng toán này thường xuyên xuất hiện 
trong các đề thi tốt nghiệp THPT và các đề thi vào các trường Đại học, cao đẳng 
trong cả nước. 
 Đường thẳng và mặt phẳng là những khái niệm quen thuộc trong đời sống hàng 
ngày, chúng cũng là những đối tượng cơ bản, mở đầu của hình học không gian, 
học sinh được nghiên cứu chúng trong Chương II hình học lớp 11. Do tính trừu 
tượng của hình học không gian và sự bỡ ngỡ mới tiếp xúc nên học sinh thường 
lúng túng, mất định hướng và thiếu tự tin vào bản thân khi làm các bài tập về phần 
này ,về phần giáo viên củng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức. 
Việc phân loại bài toán, đưa ra phương pháp giải phù hợp đối với từng trường hợp 
và hệ thống các ví dụ phong phú sẽ giúp học sinh định hướng được phương pháp 
trong quá trình giải bài tập.
 Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây nên sự trở ngại 
cho học sinh trong quá trình tiếp cận với bài tập hình học không gian, cùng với sự 
tích luỹ kinh nghiệm có được của bản thân qua nhiều năm giảng dạy; Kết hợp với 
những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội được trong chương trình Đại học Toán và đặc 
biệt là sự động viên, đóng góp ý kiến tận tình của các đồng nghiệp. Tôi mạnh dạn 
chọn đề tài “Phân dạng và hệ thống các bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và 
quan hệ song song trong không gian”.
 Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, tự 
phân loại được một số dạng bài tập thường gặp, nêu lên một số phương pháp giải 
cho từng dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc giải bài 
tập và phát huy được khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá các bài tập nhỏ. 
Từ đó hình thành cho học sinh khả năng tư duy sáng tạo trong học tập. Hy vọng 
rằng đề tài này sẽ là một tài liệu có ích cho các đồng nghiệp, cũng như học sinh 
trong quá trình giảng dạy và học tập.
2/Mục tiêu nghiên cứu:
 Nhằm hệ thống được các kiến thức về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ 
song song trong không gian, trình bày các kết quả qua quá trình nghiên cứu. Giúp 
các em học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản và vận dụng linh hoạt vào việc 
giải bài tập, đồng thời định hướng cho các em học sinh suy nghĩ và sáng tạo 
những bài toán mới. 
 Hệ thống được các ví dụ theo dạng giúp củng cố lý thuyết và rèn luyện kỹ 
năng giải bài tập thông qua đó nâng cao khả năng phân tích, định hướng cách giải 
bài tập.
 ========================================================== 
 1 Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian
============================================================
 II . PHẦN NỘI DUNG
1/ Cơ sở lý khoa học của đề tài
1.a) Cơ sở lý luận của đề tài 
1.a.1 Các tính chất thừa nhận của hình học không gian
 Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
 Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
 Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì 
 mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
 Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
 Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có 
 một điểm chung khác nữa.
 Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều 
 đúng. 
1.a.2 Hai đường thẳng song song
 a) Định nghĩa: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một 
mặt phẳng và không có điểm chung.
 b) Các tính chất:
 Định lý 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, 
có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
 Định lý 2(về giao tuyến của ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo 
ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
 Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì 
giao tuyến của chúng ( nếu có)cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với 
một trong hai đường thẳng đó.
 Định lý 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì 
chúng song song với nhau.
1.a.3 Đường thẳng song song với mặt phẳng
 a) Định nghĩa: Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu 
chúng không có điểm chung.
 b) Các tính chất:
 Định lý 1: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng và d song song với 
đường thẳng d' nằm trong thì d song song với .
 Định lý 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng . Nếu mặt phẳng  
chứa a và cắt theo giao tuyến b thì b song song với a .
 Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì 
giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
 Định lý 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chúa đường 
thẳng này và song song với đường thẳng kia.
1.a.4 Hai mặt phẳng song song
 ========================================================== 
 3 Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian
============================================================
 Từ kết quả thu được ta thấy mặc dù bài tập tương đối dễ, dạng toán cơ bản và thời 
gian chuẩn bị thoải mái nhưng học sinh vẫn chưa nắm được kỹ năng giải nên việc 
thực hiện đề tài là cần thiết. 
3/Nội dung nghiên cứu:
3.1 Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
3.1.a) Lý thuyết
 - Tìm điểm chung của 2 mặt phẳng 
 - Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng .
 Chú ý : Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta thường tìm hai đường thẳng đồng 
phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó . Giao điểm , nếu có của hai đường thẳng 
này chính là điểm chung của hai mặt phẳng .
3.1.b) Ví dụ áp dụng 
Ví dụ 1 : Trong mặt phẳng ( ) cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối không song 
song và điểm S ( ) .
 a. Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD).
 b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD).
Giải:
a. Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD)
 Ta có : 
S là điểm chung của (SAC) và (SBD)
Trong ( ), gọi O = AC  BD 
O AC mà AC  (SAC) O (SAC) 
O BD mà BD  (SBD) O (SBD) 
 O là điểm chung của (SAC) và (SBD) 
 Vậy: SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD) 
b.Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD)
 Ta có: 
S là điểm chung của (SAC) và (SBD)
 Trong ( ) , AB không song song với CD, Gọi I = AB  CD 
 I AB mà AB  (SAB) I (SAB) 
 I CD mà CD  (SCD) I (SCD)
 Nên I là điểm chung của (SAB) và (SCD)
Vậy : SI là giao tuyến của (SAB) và (SCD).
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD , M là một điểm thuộc miền trong tam giác ABD , N là 
một điểm thuộc miền trong tam giác ACD . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng 
sau: a. (AMN) và (BCD).
 b. (DMN) và (ABC).
 ========================================================== 
 5 Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian
============================================================
 E là điểm chung của ( A’,a) và (SAB )
Vậy: A’E là giao tuyến của ( A’,a) và (SAB) 
b. Xác định giao tuyến của mp (A’,a) và (SAC)
 • A’ SA mà SA  ( SAC) A’ ( SAC)
 • A’ ( A’,a)
 A’ là điểm chung của ( A’,a) và (SAC ) 
 Trong ( P) , ta có a không song song với AC, Gọi F = a  AC
 • F AC mà AC  (SAC ) F (SAC )
 • F ( A’,a)
 F là điểm chung của ( A’,a) và (SAC )
 Vậy: A’F là giao tuyến của ( A’,a) và (SAC )
3.1c) Bài tập tương tự :
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M,N lần lượt là 
trung điểm SB,SD; P là điểm thuộc cạnh Sc sao cho PC<PS. Tìm giao tuyến của :
a) (SAC) và (SBD).
b) (NMP) và các mặt của hình chóp. 
Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình thang đáy lớn AD. Gọi M,N là trung điểm 
BC,CD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a) (SAC) và (SBD). b) (SMN) và (SAD).
c) (SAB) và (SCD). d) (SMN) và (SAC). e) (SMN) và (SAB).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thng đáy lớn AD. Gọi I là trung điểm 
 1
SA, M là điểm nằm trên AD sao cho MD AD; K là điểm nằm trên cạnh SB sao 
 4
cho SK=2BK. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a) (IMK) và (ABCD).
b) (INK) và (SBD).
c) (IMK) và (SBC).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD coa đáy là hình bình hành tâm O. M, N lần lượt là các 
 1 3
điểm thuộc cạnh SA,SB sao cho: BM BS;SN SA . Tìm giao tuyến của :
 4 4
a) (OMN) và (SAB).
b) (OMN) và (SAD).
c) (OMN) và (SBC).
d) (OMN) và (SCD).
3.2) Dạng 2: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
3.2.a) Lý thuyết 
 Bài toán : Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng ( ) 
Phương pháp : • Tìm đường thẳng b nằm trong mặt phẳng ( )
 • Giao điểm của a và b là giao đường thẳng a và mặt phẳng ( ) 
 Chú ý : Đường thẳng b thường là giao tuyến của mp ( ) và mp ()  a
 Cần chọn mp () chứa đường thẳng a sao cho giao tuyến của
 mp ( ) và mp () dễ xác định và giao tuyến không song song với a
 ========================================================== 
 7 Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian
============================================================
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, trên cạnh AB lấy một điểm M , trên cạnh SC lấy 
một điểm N ( M , N không trùng với các đầu mút ) . 
 a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) 
 b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD)
Giải:
a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN 
với mặt phẳng (SBD) S
 • Chọn mặt phẳng phụ (SAC)  AN 
 • Tìm giao tuyến của ( SAC) và 
(SBD) Trong (ABCD) , gọi P = AC  BD ( SAC)  (SBD) = SP 
 • Trong (SAC), gọi I = AN  SP I N I AN I SP mà SP  (SBD) I (SBD) 
 Vậy : I = AN  (SBD)
 b. Tìm giao điểm của đường thẳng J
MN với mặt phẳng (SBD) A D
 • Chọn mặt phẳng phụ (SMC)  MN
 • Tìm giao tuyến của ( SMC ) và P
(SBD)
 M
 Trong (ABCD) , gọi Q = MC  BD Q C
 ( SAC)  (SBD) = SQ
 B
 • Trong (SMC), gọi J = MN  SQ
 J MN 
 J SQ mà SQ  (SBD) J (SBD)
 Vậy: J = MN  (SBD)
3.2.c) Bài tập tương tự :
Bài 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AD//BC). M,N là hai 
điểm bất kỳ trên SB,SD. Tìm giao điểm của:
a) SA và (MCD) b) MN và (SAC) c) SA và (MNC)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD là hình bình hành, M là trung điểm SC.
a) Tìm giao điểm I của AM và (SBD)
b) Tìm giao điểm J của SD và (ABM).
c) Gọi N là điểm thuộc cạnh AB. Tìm giao điểm của MN và (SBD).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi M,N,P 
lần lượt là các điểm nằm trên cạnh SA, AB, BC. Tìm giao điểm của 
 a) MP và (SBD) b) SD và (NMP) c) SC và (MNP)
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần 
lượt là trung điểm SB,AD và G là trọng tâm tam giác SAD.Tìm giao tuyến của:
a) GM và (ABCD) b) AD và (OMG) c) SA và (OMG)
Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB//CD,AB>CD). Lấy 
các điểm I,M,K lần lượt nằm trên các cạnh SA,CD,BC.
a) Tìm giao tuyến của (IMK) với mặt phẳng (SAB).
b) Tìm giao tuyến của (IMK) với mặt phẳng (SAC).
 ========================================================== 
 9 Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian
============================================================
TH2: M ở ngoài đoạn CD: A
 Trong (BCD), gọi L = KM  BD M
 Vậy : thiết diện là tam giác HKL H
 D
 B L
 K
 C
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD .Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SC . Giả sử 
AD và BC không song song .
 a. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC) 
 b. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN) .
 Giải: 
a. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC):
 Trong (ABCD) , gọi I = AD  BC
 Vậy : SI = (SAD)  ( SBC)
b. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD 
cắt bởi mặt phẳng (AMN)
 Trong (SBC) , gọi J = MN  SI
 Trong (SAD) , gọi K = SD  AJ 
 Vậy : thiết diện là tứ giác AMNK
 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC lấy một điểm M, trong tam 
giác SCD lấy một điểm N.
 a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC)
 b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) 
 c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD
Giải: 
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN 
 S
với mặt phẳng(SAC):
 • Chọn mp phụ (SMN)  MN N
 • Tìm giao tuyến của (SAC ) và 
 E D
(SMN) O
Ta có : S là điểm chung của (SAC ) và 
(SMN) A
 M N'
 Trong (SBC), gọi M’ = SM  BC
 B I
 Trong (SCD), gọi N’ = SN  CD M' C
 Trong (ABCD), gọi I = M’N’  AC 
 ========================================================== 
 11 Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian
============================================================
Bài 4: Cho tứ diện ABCD , trên cạnh AB lấy điểm I và lấy các điểm J,K lần lượt là 
điểm thuộc miền trong các tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm của JK và 
(ABC).
a) Hãy xác định điểm L.
b) Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IJK).
3.4) Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy.
3.4.a) Lý thuyết 
 Phương pháp:
- Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó là các điểm chung 
của hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt 
phẳng đó .
- Muốn chúng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường 
này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba .
3.4.b) Ví dụ áp dụng 
Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. S là điểm không thuộc (ABCD), M và N lần 
lượt là trung điểm của đoạn AB và SC . 
 a. Xác định giao điểm I = AN  (SBD) 
 b. Xác định giao điểm J = MN  (SBD) 
 c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng
Giải: 
a. Xác định giao điểm I = AN  (SBD ) 
• Chọn mp phụ (SAC)  AN S
• Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SBD)
 ( SAC)  (SBD) = SO
 N
 • Trong (SAC), gọi I = AN  SO
 I AN I
 D
 I SO mà SO  ( SBD) C
 I ( SBD) Vậy: I = AN  ( SBD) J
b. Xác định giao điểm J = MN  (SBD) O
• Chọn mp phụ (SMC)  MN A E
 M B
• Tìm giao tuyến của (SMC ) và (SBD)
 S là điểm chung của (SMC ) và (SBD)
 Trong (ABCD) , gọi E = MC  BD ( SAC)  (SBD) = SE
• Trong (SMC), gọi J = MN  SE
 J MN, J SE mà SE  ( SBD) J ( SBD) 
 Vậy J = MN  ( SBD)
 c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng
 Ta có :
 B là điểm chung của (ANB) và ( SBD)
• I SO mà SO  ( SBD) I ( SBD)
 ========================================================== 
 13 
 S
 I N
 A J D
 M
 O
 B E
 C Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian
============================================================
 M là điểm chung của (SAC) và (AJO)
 Vậy: A ,K ,L ,M thẳng hàng.
Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB 
và AC sao cho LM không song song với AB, LN không song song với SC.
 a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
 b. Tìm giao điểm I = BC  ( LMN) và J = SC  ( LMN)
 c. Chứng minh rằng ba đường thẳng IJ, SB, MN đồng quy.
 Giải: 
a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và S
(ABC)
 Ta có : 
 N là điểm chung của (LMN) và (ABC) L
 C
 Trong (SAB) , LM không song song N
với AB, Gọi K = AB  LM
 K LM mà LM  (LMN ) A M I
 J
 K (LMN )
 K AB mà AB  ( ABC) B K
 K ( ABC)
Vậy KN là giao tuyến của (LMN) và (ABC)
 b. Tìm giao điểm I = BC  ( LMN)
 • Chọn mp phụ (ABC)  BC 
 • Tìm giao tuyến của (ABC ) và (LMN)
 (ABC)  ( LMN) = NK 
 • Trong (ABC), gọi I = NK  BC
 I BC 
 I NK mà NK  (LMN )
 I (LMN)
 Vậy : I = BC  ( LMN)
 Tìm giao điểm J = SC  ( LMN)
 • Trong (SAC), LN không song song với SC, gọi J = LN  SC
 J SC 
 J LN mà LN  (LMN ) 
 J (LMN). Vậy : J = SC  ( LMN)
 c. Chứng minh rằng ba đường thẳng IJ, SB, MN đồng quy
 Ta có: M = SB  MN M ( LMN)  (SBC)
 Mặt khác: IJ=( LMN)  (SBC)
 Vậy: M IJ hay ba đường thẳng IJ, SB, MN đồng quy tại M.
Ví dụ 4: Cho tứ giác ABCD và S (ABCD). Gọi M , N là hai điểm trên BC và SD.
 a. Tìm giao điểm I = BN  ( SAC) 
 b. Tìm giao điểm J = MN  ( SAC)
 c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng
 ========================================================== 
 15 Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian
============================================================
3.5) Dạng 5: Chứng minh hai đường thẳng song song.
3.5.a) Lý thuyết 
 Các phương pháp thường dùng để chứng minh hai đường thẳng song song:
 • Chứng minh a và b đồng phẳng và không có điểm chung (áp dụng các tính 
 chất của hình học phẳng)
 • Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba 
 • Sử dụng các định lý .
 • Chứng minh bằng phản chứng.
3.5.b) Ví dụ áp dụng 
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD .Gọi I ,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và 
ABD. Chứng minh rằng: IJ ∕ ∕ CD
 Giải: 
Gọi E là trung điểm AB 
 I CE A
 Ta có : IJ và CD đồng 
 J DE
 E
phẳng I
 EI EJ 1
 Do đó : (tính chất trọng B J C
 EC ED 3
tâm)
 Vậy : IJ // CD .
 D
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và 
CD (AB CD). Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB 
 a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD
 b. Tìm P = SC  (ADN)
 c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I .Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD . 
 Tứ giác SABI là hình gì ?
Giải: 
a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD :
 S
 Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ I
AB 
 Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD là hình M N
thang )
 Vậy : MN ∕ ∕ CD
 b. Tìm P = SC  (ADN): A B
• Chọn mp phụ (SBC)  SC P
• Tìm giao tuyến của (SBC ) và (ADN)
 Ta có : N là điểm chung của (SBC ) D C
và (ADN)
 E
 Trong (ABCD), gọi E = AD  AC
 ( SBC)  (ADN ) = NE
 ========================================================== 
 17 Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian
============================================================
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’,B’,C’ 
,D’ lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD .
a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành. 
b. Gọi M là điểm bất kì trên BC. Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD
Giải: 
a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình 
hành : S
 Trong tam giác SAB, ta có : 
 A’B’= 1 AB, A’B’//AB
 2 D' C'
 A'
 Trong tam giác SCD, ta có : B'
 1
C’D’= CD , C’D’//CD D C
 2
 Mặt khác AB =CD. AB=CD. N
 M
 A’B’ // C’D’, A’B’ =C’D’ A
 B
 Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành
 b. Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD:
 Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là điểm chung của (A’B’M) và (ABCD)
 Do đó giao tuyến của (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song AB và A’B’
 Gọi N = Mx  AD
Vậy : thiết diện là hình thang A’B’MN.
3.5.c) Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, có M,N,P,Q lần lượt là 
trung điểm của BC,CD,SB,SD.
a) CMR: PQ//MN.
 KS 1
b) Gọi I là trọng tâm tam giác ABC, K là điểm thuộc cạnh SA sao cho . 
 KA 2
CMR: IK//SM.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB, Gọi M,N lần lượt là 
trung điểm SA,SB.
a) Chứng minh rằng MN//CD.
b) Tìm giao điểm P của SD và (AND).
c) AN cắt DP tại I. CMR: SI//AB//CD. Tứ giác SABI là hình gì?
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là trung 
điểm của SC, N là trung điểm OB.
a) Tìm giao điểm I của SD và (AMN).
b) Tính tỉ số SI .
 ID
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M,N,P là trung điểm AB,BC,SC, SB=AC.
a) Tìm giao điểm E của SA và (MNP).
b) CMR: NP//ME//SB. Tứ giác MNPE là hình gì?
c) Tìm giao tuyến (ANP) và (SMC)
 ========================================================== 
 19 Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian
 ============================================================
 S
 c. Chứng minh G1G2 // (SAB) : 
 IG IG 1
 Xét SAI , ta có : 1 2 
 IA IS 3 Q
 G1G2 // SA
 Do đó : P G
 D N 2 C
 G1G 2  (SAB)
 G1G 2 // SA G1G 2 //(SAB)
 I
 SA  (SAB)
 G1
 A M B
 Ví dụ 2: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên 
 các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các 
 đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M , N .
 a) Chứng minh: 
 b) Chứng minh: M’N’//(DEF) .
 c) Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động.
 Giải: 
 a) Ta có :
 AD // BC; AF // BE
 mà AF  AD A và BC  BE B
 nên (CBE) // (ADF).
 b) Vì MM' // AB nên MM' // DC
 AM AM ' BN AN '
 ; 
 MC M ' D NF N ' F
 AM BN
 mà ( vì AC = BF)
 MC NF
 AM ' AN '
 nên M ' N '/ /DF
 M ' D N ' F
 Mà: DF  (DEF) nên M’N’//(DEF) .
 c) Phần thuận: 
 * Gọi P; Q lần lượt là trung điểm của AB; CF.
 Nếu M  A N  B nên I  P.
 Nếu M  C N  F nên I  Q.
 Vậy quỹ tích của I là đoạn thẳng PQ.
 Phần đảo: Gọi I PQ bất kì. Chứng minh 
t tồn tại 2 điểm M; N: M AC; N BF : AM BN 
v và MN nhận I làm trung điểm.
 Thật vậy: Trong mặt phẳng (CPF). 
 Qua I, dựng đường thẳng song song với FC, 
 cắt PC; PF lần lượt tại M1; N1.
 ========================================================== 
 21 Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian
============================================================
 ( ) // CD
 Ta có : CD  (ACD) FG // CD (4) 
 P ( )  (ACD)
 ( ) // CD
 Tương tự : CD  (BCD) EH // CD (5)
 Q ( )  (BCD)
 Từ (4) và (5) , suy ra FG // EH // CD (6)
 Từ (3) và (6) , suy ra EFGH là hình bình hành 
 Mà AB  CD (*)
 Từ (3) , (6) và (*), suy ra EFGH là hình chữ nhật 
 c. Tính diện tích thiết diện của hình chữ nhật biết IM = 1 IJ 
 3
 Ta có : S EFGH EF.FG PQ.LN
 LN IN
 Xét tam giác ICD : Ta có : LN // CD (7)
 CD ID
 IN IM
 Xét tam giác IJD : Ta có : MN // JD (8)
 ID IJ
 LN IM 1 CD b
 Từ (7) và (8), suy ra LN 
 CD IJ 3 3 3
 PQ JM 2 2 2
 Tương tự : PQ .AB .a
 AB JI 3 3 3
 2ab
 Vậy : S 
 EFGH 9
3.6.c Bài tập tương tự 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Gọi M,N, P lần lượt là 
trung điểm của SB,SO,OD.
a) CMR: MN//(ABCD); MO//(SCD).
b) CMR: NP//(SAD); Tứ giác NPOM là hình gì?
c) Gọi I là điểm thuộc SD sao cho SD=4ID. CMR: PI//(SBC).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD . M,N là hai điểm trên AB, CD . Mặt phẳng ( ) qua 
MN, song song với SA. 
 a. Tìm các giao tuyến của ( ) với (SAB) và (SAC).
 b. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( ) 
 c. Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang
Bài 3: Cho tứ diện ABCD .Trên cạnh AD lấy trung điểm M , trên cạnh BC lấy điểm 
N bất kỳ . Gọi ( ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD .
 a. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng ( ) với tứ diện ABCD.
 b. Xác định vị trí của N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành .
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi I,M lần lượt là 
trung điểm BC,SC.
a) CMR: OM//(SAD).
b) CMR: OI//(SCD); IM//(SBD).
 ========================================================== 
 23 Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian
============================================================
 PQ  (MNO)
Mà PQ //(SBC) Vậy : PQ // (SBC)
 (MNO) // (SBC)
b) Chứng minh: PQ // (SBC), (MOR) // (SCD)
 MR // AB
 Ta có : MR // DC (1)
 AB // DC
 Xét tam giác SDB : ta có OR // SD (2)
 MR // DC và OR // SD
 Từ (1) và (2) , ta được MR  (MOR) và OR  (MOR) (MOR) //(SCD)
 DC  (SCD) và SD  (SCD)
 Ví dụ 2: Cho các hình bình hành ABCD , ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau 
.Trên các đường chéo AC, BF theo thứ tự lấy các điểm M,N sao cho:
 MC = 2AM , NF = 2BN . Qua M, N lần lượt kẻ các đường thẳng song song với 
cạnh AB, cắt các cạnh AD, AF theo thứ tự tại M 1 , N 1 .
 Chứng minh rằng :
 a. MN // DE
 b. M 1 N1 //(DEF)
 c. (MNM 1 N1 ) //(DEF)
Giải:
 a. MN // DE :
 Giả sử EN cắt AB tại I
 Xét NIB  NEF
 IB NB 1
 Ta có : 
 EF NF 2
 IN 1
 I là trung điểm AB và (1)
 NE 2
 Tương tự : Xét MAI  MCD
 MA MI 1
 Ta có : 
 MC MD 2
 IM 1
 I là trung điểm AB và (2)
 MD 2
 IM IN
 Từ (1) và (2) , suy ra 
 MD NE
 MN // DE
 Vậy : MN // DE
 b. M 1 N1 //(DEF) :
 AN1 IN 1
 Ta có : NN1 // AI (3) (3)
 N1F NE 2
 AM 1 IM 1
Tương tự : MM 1 // AI (4)
 M 1D MD 2
 AN1 AM 1 1
 Từ (3) và (4) , suy ra M 1 N1 // DF
 N1F M 1D 2
 ========================================================== 
 25 Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian
============================================================
 2
 EF .BC
 3
 2 2
 Tương tự : FG .CD GE .BD
 3 3
 2 2 2 2
 EF FG GE .BC .CD .GE (BC CD GE)
 3 3 3 3
 Diện tích thiết diện: 
 1
 S . (EF FG GE).(EF FG GE).(EF GE FG).(FG GE EF). 
 EFG 4
 =
 1 4 4
 . . (BC CD DB).(BC CD DB).(BC DB CD).(CD DB BC) = .S
 4 9 9 BCD
 4
 Vậy : S .S
 EFG 9 BCD
 Ví dụ 4: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và nằm trong 
hai mặt phẳng phân biệt. Gọi M , N thứ tự là trung điểm của AB , BC và I , J , K theo 
thứ tự là trọng tâm các tam giác ADF , ADC , BCE . Chứng minh (IJK) // (CDFE)
Giải: 
Xét tam giác MFC :
 MI MJ 1 D C
 Ta có : 
 MF MC 3
 IJ // FC (1)
 J
 Xét hình bình hành MNEF : M N
 MI NK 1
 Ta có : 
 MF NE 3 I K
 IK // FE (2)A B
 Từ (1) và (2) , ta có:
 IJ // FC
 (IJK) //(CEF) F E
 IK // FE
 Vậy : (IJK) //(CEF)
 3.7.c) Bài tập tương tự 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I,M,G,P,Q lần lượt là 
trung điểm của DC,AB,SB,BG,BI.
a) CMR : (IMG)//(SAD).
b) CMR : PQ //(SAD).
c) Tìm giao tuyến của (SAC) và (IMG).
d) Tìm giao tuyến của (ACG) và (SAD).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. M là trung điểm cạnh bên 
SA, N là trung điểm cạnh bên SC.
a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi các mặt phẳng đi qua M và song 
song với (SBD), mặt phẳng  đi qua N và song song với (SBD) .
 1
 b) Gọi I,J là giao điểm của hai mặt phẳng nói trên với AC. CMR : IJ AC .
 2
 ========================================================== 
 27 Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian
============================================================
c) J là điểm thuộc cạnh AC : JA=3JC. Kí hiệu là mặt phẳng đi qua J và song song 
với AB’,IC. Xác định thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng ( ).
 Giải: 
a) Gọi O là trung điểm của A’C ta có: 
AB’//IO mà IO  (A’IC)
 Do đó AB’//(A’IC).
b) Ta có PQ là giao tuyến của hai mặt 
phẳng (AB’M) và (A’IC) nên 
PQ//A’B//IO.
 2 A'Q 2
 S S 
 A'PQ 9 A'OI A' I 3
 Vậy Q là trọng tâm tam giác A’B’C’ 
suy ra M là trung điểm A’C’.
c) Do AB’//(A’IC) nên là mặt 
phẳng đi qua J và song song với (A’IC).
 Trong mặt phẳng (ACC’A’) kẻ đường 
thẳng đi qua J song song với A’C cắt 
AA’, A’C’, C’C lần lượt tại N,R,S.
 Trong mặt phẳng (BCC’B’), kẻ đường 
thẳng qua S và song song với IC cắt 
BC,B’C’ lần lượt tại K,H.
 Ngũ giác JKHLN là thiết diện cần tìm.
 Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’B’ và M là một điểm thay đổi trên đoạn B’C 
( không trùng với hai đầu mút).
a) Chứng minh rằng: D’M//(A’BD).
b) Xác định giao điểm K của AM với (A’B’C’D’). Chứng minh rằng K luôn thuộc 
một đường thẳng cố định. 
c) N là điểm thuộc đoạn AC: AN=2CN. Kí hiệu là mặt phẳng đi qua N và song 
song với DA’,D’M. Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng ( ).
Giải: 
 ========================================================== 
 29 Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian
============================================================
 S
 • Với ( ) // SD I S x
 ( ) // SD
 SD  (SAD) PQ // SD N
 ( )  (SAD) PQ
 P
 • Với ( ) // SA A M B
 ( ) // SA
 SA  (SAB) MN // SA
 ( )  (SAB) MN
 D Q C
 • Với ( ) // AD 
 ( ) // AD
 AD  (ABCD) MQ // AD (1)
 ( )  (ABCD) MQ
 BC // MQ
 •Vì ( ) // BC
 BC  ( )
 ( ) // BC
 BC  (SBC) PN // BC (2)
 ( )  (SBC) PN
 Từ (1) và (2) , suy ra : MQ // PN MNPQ là hình thang 
 Vậy : MNPQ là hình thang.
b. Tính diện tích của thiếtdiện theo a và x : 
 AB // DC
Ta có : AB  (SAB), DC  (SCD) Sx // AB // CD
 S (SAB)  (SCD)
 I PQ mà PQ  (SCD)
 Mà I (SAB)  (SDC) I Sx
 I MN mà MN  (SAB)
 Nên: S MNPQ S IMQ S INP S SAD S INP
 Tính : S SAD
 Ta có: SAD vuông cân tại A 
 1
 Do đó : S .a 2
 SAD 2
 Tính : S INP
 Đường thẳng qua B song song với SA cắt Sx tại S0
 Xét tam giác SBC , tam giác SBS 0 và tam giác SAB
 NI SN
 Ta có : NI // S0 B (1)
 S0 B SB
 PN SN
 PN // BC (2)
 BC SB
 AM SN
 MN // SA (3)
 AB SB
 ========================================================== 
 31 Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian
============================================================
 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1/Kết luận:
 Kiến thức về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian là 
những kiến thức nền tảng của môn hình học không gian trong chương trình môn 
Toán THPT. Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó và học sinh hay 
thiếu tự tin vào bản thân khi làm bài tập dạng này.
 Sau khi thực hiện đề tài, để kiểm tra hiệu quả của đề tài tôi tiến hành cho học sinh 
làm bài tập kiểm tra với đề bài tương tự kết quả thu được như sau:
 Tổng Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến 8 Điểm dưới 5
 Lớp
 số Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ
 11A3 45 14 31,1% 24 53,3% 07 15,6%
 11A4 45 12 26,7% 26 57,7% 07 15,6%
 11A10 44 9 20,5% 27 61,4% 08 18,1%
 Qua bảng số liệu thu được ta thấy đề tài đã có tác dụng định hướng cho học sinh 
trong quá trình giải bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong 
không gian, đó là nền tảng để học sinh tiếp tục học, nghiên cứu về hình học không 
gian. Các em không còn lúng túng khi vẽ hình, tưởng tượng không gian mà đã có 
nhìn nhận bài toán đúng đắn hơn, tổng quát hơn. Đề tài được học sinh đồng tình đã 
có kết quả tốt cho học sinh ba lớp được khảo sát. Các em nâng cao được khả năng 
giải toán và hứng thú trong học tập hơn.
2/ Kiến nghị:
 Sau khi thực hiện đề tài này tôi thấy đề tài có xuất phát điểm là những kiến thức 
tương đối đơn giản, tư duy rõ ràng, tự nhiên, dễ hiểu có thể áp dụng cho các học sinh 
có học lực từ trung bình, hiệu quả của đề tài tương đối tốt. Tôi đề nghị các thầy cô 
giáo dạy khối 11 cố gắng dành một số tiết tự chọn hoặc tiết tăng buổi để đề cập sâu 
hơn tới chủ đề này và có những góp ý, những ví dụ đóng góp cho đề tài được tốt hơn. 
 Kính đề nghị các cấp trên bổ sung, góp ý, yêu cầu chỉnh sữa( nếu cần) các đề tài của 
các giáo viên nộp về và phổ biến để các đồng nghiệp có thể học hỏi và vận dụng vào 
công tác giảng dạy để kết quả giáo dục ngày càng tốt hơn.
 Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có những điểm hạn chế. 
Tôi rất mong nhận được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý 
cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3/Tài liệu tham khảo:
 • SGK Hình học 11
 • SBT Hình học 11
 • Tài liệu chuyên toán BÀI TẬP HÌNH HỌC 11 ( Đoàn Quỳnh )
 • Một số tài liệu khác 
 ========================================================== 
 33