Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Lớp 12 - Dùng kiến thức hình học giải bài tập số phức

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH 
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
DÙNG KIẾN THỨC HÌNH HỌC GIẢI BÀI TẬP SỐ PHỨC 
 Tháng 2 năm 2016 MỤC LỤC Trang 
Phần I: MỞ ĐẦU . 04 
1. Lý do chọn đề tài  04 
2. Mục đích nghiên cứu ... 05 
3. Đối tượng nghiên cứu . 05 
4. Phạm vi nghiên cứu  05 
5. Giả thuyết khoa học  0 5 
6. Nhiệm vụ nghiên cứu . 05 
7. Phương pháp nghiên cứu  06 
8. Đóng góp mới của đề tài . 06 
Phần II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ ... 07 
Chƣơng 1. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA VIỆC CHỌN ĐỀ TÀI  07 
1. Cơ sở lí luận  07 
2. Cơ sở thực tiễn  07 
Chƣơng 2. QUÁ TRÌNH ĐIỀU TRA VÀ KHẢO SÁT THỰC TẾ  08 
1. Các nguồn thông tin khảo sát . 08 
2. Những nhận định chung . 08 
Chƣơng 3. MỘT SỐ GIẢI PHÁP 09 
1. Dạng toán biểu diễn hình học của số phức . 09 
2. Một số bài toán sử dụng kiến thức hình học để giải bài tập số 
 phức  12 
Chƣơng 4. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM . 25 
1. Mục đích thực nghiệm  25 
2. Nội dung thực nghiệm  25 
3. Kết quả thực nghiệm .. 25 
Phần III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 26 
1. Kết luận .. 26 
2. Kiến nghị, đề xuất .. 26 
 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 28
 3 đặt ở trên cũng đều có mục đích là cung cấp thêm một phương pháp để giải 
bài tập số phức. 
2. Mục đích nghiên cứu. 
 Cũng cố, khắc sâu kiến thức về số phức và hình học phẳng. 
 Gợi ý thêm một phương pháp để giải bài tập số phức. 
 Làm rõ thêm mối liên hệ giữa hai chủ đề số phức và hình học phẳng. 
 Nghiên cứu khả năng vận dụng kiến thức tổng hợp vào giải quyết những 
 vấn đề thực tiễn nãy sinh khi học tập môn toán. 
3. Đối tƣợng nghiên cứu. 
 Hệ thống kiến thức chủ đề số phức và hình học phẳng trong môn toán 
 THPT. 
 Mối liên hệ giữa hình học phẳng và số phức. 
 Bản chất hình học của một số bài toán về số phức. 
 Kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào tình huống khi giải toán. 
 Các tài liệu liên quan đến đề tài: SGK THPT, đề thi thử đại học, THPT 
 quốc gia của các trường THPT trên cả nước các năm 2011, 2012, 2013  
4. Phạm vi nghiên cứu. 
 Kiến thức môn Toán phổ thông, chủ đề số phức và hình học phẳng. 
 Phương pháp dạy học môn Toán ở bậc THPT. 
 Nghiên cứu dựa trên đối tượng là học sinh THPT. 
5. Giả thuyết khoa học. 
Chúng ta đã biết khá rõ mối liên hệ giữa số phức và hình học phẳng, đặc biệt 
là ở toán cao cấp. Đã có nhiều GV và HS viết các chuyên đề ứng dụng số 
phức để giải bài tập hình học phẳng rất hay và bổ ích. Vậy điều ngược lại thì 
thế nào?. Dựa vào đặc điểm mỗi số phức đều được biểu diễn hình học bởi 
một điểm có toạ độ xác định trong hệ toạ độ đề các và căn cứ vào các quy tắc 
khi thực hiện phép toán trên tập số phức. Tác giả đề tài cho rằng: Một bài toán 
về số phức cũng có thể được chuyển về giải bằng hình học phẳng. 
6. Nhiệm vụ nghiên cứu. 
 5 Phần II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
Chƣơng 1. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA VIỆC CHỌN ĐỀ TÀI 
1. Cơ sở lí luận. 
 Ở sách giáo khoa chỉ đề cập đến việc điểm M a; b trong mặt phẳng 
Oxy là điểm biểu diễn hình học cho số phức z a bi , z OM . Ngoài ra thì 
OM (;) a b có thể coi là biểu diễn vectơ cho số phức . Nếu điểm 
 biểu diễn hình học cho số phức , điểm M' a '; b ' biểu diễn 
hình học cho số phức z''' a b i thì OM OM ' và MM' lần lượt biểu diễn 
cho zz ' và zz ' . Vì vậy một số bài tập về số phức có thể chuyển về bài 
toán hình phẳng, dùng kiến thức vectơ và toạ độ để giải. 
2. Cơ sở thực tiễn. 
2.1. Đặc điểm tình hình: 
- Về học sinh: Phần chủ đề số phức chỉ nắm được kiến thức cơ bản, giải được 
các bài tập ở mức độ nhận biết thông hiểu. Những bài tập mang tính vận dụng 
ít em làm được và không làm được dạng bài toán lạ, phải vận dụng nhiều kiến 
thức hình học. Qua đó bộc lộ kiến thức hình học phẳng nắm chưa chắc chắn, 
chưa được đào sâu, thậm chí đã quên. 
- Về giáo viên: Chưa chú trọng việc liên hệ kiến thức giữa số phức và các chủ 
đề khác khi dạy toán để cũng cố kiến thức cho học sinh. 
- Về điều kiện khách quan: Thời lượng dành cho chủ đề số phức chưa nhiều, 
lại được bố trí học cuối chương trình lớp 12. SGK chỉ cung cấp những kiến 
thức cơ bản, bài tập liên hệ số phức với các chủ đề khác còn hạn chế. 
2.2. Nguyên nhân: 
Nguyên nhân là chủ đề số phức chưa được học kĩ. thời lượng chưa nhiều và 
các bài tập trong SGK chưa đa dạng. Các phương pháp giải bài tập số phức 
còn ít. HS chưa có khả năng vận dụng kiến thức cũ để học kiến thức mới. 
 7 Chƣơng 3. MỘT SỐ GIẢI PHÁP 
 Cần phải làm cho HS thấy được mối liên hệ giữa hình học phẳng và số 
 phức từ đó khai thác để ứng dụng vào việc giải bài tập. 
 Trước hết rèn luyện cho các em dạng toán sau: 
 1. Dạng toán biểu diễn hình học của số phức. 
Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thoả mãn điều 
kiện Tz nào đó. 
 Giải: Gọi M x; y biểu diễn hình học cho số phức z x yi . Từ điều kiện 
 dấn tới phương trình F x;0 y . Tuỳ vào dạng của phương trình này 
mà ta kết luận. Các kết quả hay thu được là: 
1.1. Tập hợp điểm biểu diễn là đường thẳng. 
VD1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức 
thoả mãn hệ thức 2z 1 z z 2 . 
 ( Trích đề thi thử THPT Cầu Xe Hải Dương Khối A lần 1 năm 2012). 
Giải: Gọi biểu diễn hình học cho số phức , ( xy, ). 
 2
 2 x 1 y22 4 4 y x 1 
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường thẳng . 
 9 
Bài tập: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức 
z thỏa mãn điều kiện: zz 4 4 10 . 
 ( Trích đề thi thử Khối D năm 2010). 
1.4. Tập hợp điểm biểu diễn là đường hypebol. 
VD4. Trong mặt phẳng phức, xác định tập hợp các điểm M biểu diễn các số 
phức z thoả mãn: 1 i z 1 i z 2 z 1 . 
 ( Trích đề thi thử ĐH Vinh Khối A lần 3 năm 2012). 
Giải: Gọi M x; y biểu diễn hình học cho số phức z x yi , ( xy, ). 
 2
 x y x 1 y2 
 xy 
 222 
 x y x 1 y
 xy 
 21x 
 y 
 2x
Vậy tập hợp điểm biểu 
diễn các số phức là 
phần đường hypebol 
 21x 
 y nằm dưới đường thẳng yx . 
 2x
 11 a)Giải: 
Gọi H là hình chiếu của 
A lên đường thẳng (d ) 
thì AM AH . Từ đó AM 
nhỏ nhất khi MH . 
b)Bài tập áp dụng: 
VD6. Tìm số phức z có modun nhỏ nhất thoả mãn: z z 43 i . 
Giải. Gọi z x yi xy, , điểm M x; y biểu diễn hình học của z. 
Từ giả thiết ta có: 8xy 6 25 . Vậy M thuộc :8xy 6 25 0. và z OM 
Bài toán trở thành: Tìm M 
thuộc sao cho OM nhỏ nhất 
 M trùng với hình chiếu H 
của O lên . 
Lập đường thẳng d qua O và 
 d d:3 x 4 y 0 
Toạ độ H thoả mãn hệ 
 x 2
 3xy 4 0 
 3 
 8xy 6 25 0 y 
 2
 3 
 zi 2 
 2
Bài tập: 
1. Tìm số phức z thoả mãn (z 1) z 2 i là số thực và z nhỏ nhất. 
2. Tìm số phức z có modun nhỏ nhất thoả mãn 23 i z z i . 
 (Trích đề thi thử THPT Nguyễn Huệ - Phú Yên 2011). 
3. Cho số phức z thoả mãn z 1 5 i z 3 i . Tìm z có modun nhỏ nhất. 
 (Trích đề thi thử THPT An Dương – Hải Phòng 2013). 
 13 Phương trình đường thẳng 
 AB' là: 133xy 119 91. 
 Toạ độ M là nghiệm của hệ: 
 503
 x 
 133xy 119 91 250
 8xy 6 25 371
 y 
 250
 503 371
 zi . 
 250 250
2.3. Tìm điểm M nằm trên đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ M đến một 
điểm cố định A là nhỏ nhất. 
a)Giải: 
Trường hợp A nằm ngoài đường tròn 
(C). Đường thẳng đi qua A và tâm O của 
(C) cắt (C) tại H và H’ với H nằm giữa 
A và O. Với mọi điểm M thuộc (C) ta 
có: OA OM AM OA OM hay 
 AH AM AH '. Từ đó AM AH 
 min 
khi đó MH . 
Trường hợp A nằm trong đường tròn 
(C). Đường thẳng đi qua A và tâm O của 
(C) cắt (C) tại H và H’ với A nằm giữa 
H và O. Với mọi điểm M thuộc (C) ta 
có: OM OA AM OA OM 
 OH OA AM OA OH ' hay 
 . Từ đó 
khi đó . 
b)Bài tập áp dụng: 
 15 (Trích đề thi thử THPT Chuyên Nguyễn Huệ 2013). 
4. Cho số phức z thoả mãn z 22. Tìm z sao cho zi (1 3 ) nhỏ nhất. 
 (Trích đề thi thử THPT Quốc học Quy Nhơn 2013) 
 zi 15
5. Tìm z có z nhỏ nhất biết 2 . 
 zi 3
 ( Trích đề thi thử THPT Phượng Bình lần 3 2011). 
 (1 iz )
6. Trong các số phức z thoả mãn 21. Tìm z có nhỏ nhất, lớn 
 1 i
nhất. 
 (Thanh Chương I Nghệ An Lần 2 2011). 
 3
7. Cho số phức z thoả mãn zi 23 . Tìm z có nhỏ nhất, lớn nhất. 
 2
8. Cho số phức z thoả mãn zi 1 2 1. Tìm z có nhỏ nhất. 
* Tìm một điểm thuộc đường tròn để khoảng cách từ nó đến một điểm cố định 
là lớn nhất. 
 zi 3
VD9. Cho z thoả mãn 2 . Tìm z có z lớn nhất. 
 zi 2
Giải. Gọi z x yi 
 xy, . Điểm M x; y 
biểu diễn hình học của z. Từ 
giả thiết suy ra điểm M 
thuộc đường tròn (C): 
 xy 1 22 3 10 . Bài 
toán trở thành tìm MC () để 
OM lớn nhất. 
Ta thấy OCMC ()() để OM lớn nhất khi OM là đường kính hay 
 M 2;6 hay zi 26. 
Bài tập: 
 17 VD11. Tìm tất cả các số phức z sao cho z 22 và zz 1 đạt giá trị nhỏ 
nhất. 
 ( Trích đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc 2011). 
 2
Giải. Gọi z x yi , xy 22 2 , M(;) x y biểu diễn 
hình học của z nằm trên đường tròn C : xy 22 2 2 . 
Xét điểm A 1;0 ,khi 
đó 
 z 1 AM MA vì vậy 
 z z 1 OM MA. 
Bài toán trở thành tìm 
 MC sao cho tổng 
OM MA nhỏ nhất. 
Gọi H là giao điểm của 
 và OI. 
Ta có: OM OI MI OH , MA AI IM AH . Sử dụng bất đẳng thức tam 
giác OM MA OH AH . Dấu "" xảy ra khi MH . 
 y 0 y 0
H thoả mãn hệ : 2 2 
 xy 22 x 22
Vì H nằm giữa I và O nên x 22. Vậy M H(2 2;0) z 2 2 
2.6. Tìm một điểm chạy trên đường tròn để hiệu các bình phương khoảng 
cách từ đó đến hai điểm cố định nhỏ nhất, lớn nhất. 
VD12. Tìm số phức z sao cho zi (3 4 ) 5 và biểu thức P z 2 22 z i 
đạt giá trị lớn nhất. 
Giải. Gọi , xy, và điểm M x; y biểu diễn hình học của z. 
Từ điều kiện suy ra M thuộc đường tròn C : xy 3 22 4 5 . 
 19 Gọi I1 , I 2 lần lượt là tâm của C1 và C2 , các điểm A , B lần lượt là giao 
điểm của , với trục Ox ( , nằm ngoài đoạn II12). Ta có theo bất 
đẳng thức trong tam giác thì 
 MM12 MI 1112 IM MI 1112 II IM 22 R 1 R 212 II AB 
Vậy M12 M AB , dấu “=” xảy ra khi MAMB12; . 
 B 6;0
Giải ta được A 1 2;0 , , z1 12 , z2 6 . 
2.8. Một điểm chạy trên đường thẳng, một điểm chạy trên đường tròn, tìm vị 
trí để chúng gần nhau nhất. 
VD14. Cho các số phức zz12, thoả mãn: z1 1 i z 1 ; z 2 2 2 i 1. Tìm 
 sao cho zz12 đạt giá trị nhỏ nhất. 
 (Trích đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc ). 
 '' ''
Giải Giả sử z1 x yi , z2 x y i và M1 x; y , M2 (;) x y biểu diễn 
hình học của z1 và z2 . Từ giả thiết z11 1 i z xy 10 , 
 ''22
 z2 2 2 i 1 x 2 y 2 1. Suy ra điểm M1 thuộc :xy 1 0, 
 ''22
điểm M 2 thuộc đường tròn C : x 2 y 2 1. 
 21 Ta thấy OM12 M vuông cân, 
 M1 M 22. OM 1 , MM12 
nhỏ nhất khi OM1 nhỏ nhất. 
Gọi A là giao điểm của đoạn 
OI1 với C thì 
 1
 OM OI I M OA 2 . 
 1 1 1 1 2
 1
Suy ra MM12 2. 2 . 
 2 
 1 1
Vậy min MM12 2 . Hay giá trị nhỏ nhất của zz12 là 2 . 
 2 2
2.10. Bài toán phải biết kết hợp tính chất zz tìm một điểm trên đường 
tròn có khoảng cách đến O nhỏ nhất. 
VD16. Xét số phức z thoả mãn 2z z 1 i 1 tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn 
nhất của biểu thức E z2 z . 
 (Trích đề thi thử THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị 2013). 
Giải. Đặt w 2 z z thì ta có w 2 z z E w w . 
Bài toán trở thành tìm w sao cho wi 11 và w có mođun nhỏ nhất. 
Giả sử w x yi xy, và điểm M x; y biểu diễn hình học của w và 
 w 1 i MA với A 1; 1 và MA 1. Vậy điểm M thuộc đường tròn : 
 22
 xy 1 1 1. Bây giờ chỉ cần tìm MC sao cho OM nhỏ nhất. Suy 
 xy 2 1
ra toạ độ điểm M thoả mãn hệ 22 y 1 . 
 xy 1 1 1 2
 1 1
 y 1. Để w có mođun nhỏ nhất thì ta chọn y 1 
 2 2
 1 11
 x 1 wi 1 ( 1 ) , w 21 . 
 2 22
 23 Chƣơng 4. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 
1. Mục đích thực nghiệm. 
Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài, rút kinh nghiệm để có thể áp 
dụng vào dạy học nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy. 
2. Nội dung thực nghiệm. 
 Triển khai vào các tiết ôn tập chương, các tiết tự chọn và các giờ ôn tập 
 cho HS khối 12. 
 Đối tượng áp dụng: học sinh lớp 12A3, 12A10. 
 Thời gian thực hiện: 
* Đối với lớp 12A3: 
+ Thực hiện nội dung các bài toán liên quan đến điểm biểu diễn hình học của 
số phức lồng trong tiết ôn tập chương IV môn Toán Giải tích lớp 12 CB. 
+ Thực hiện nội dung giải một số bài toán về số phức bằng phương pháp ứng 
dụng hình học phẳng trong một buổi dạy học tự chọn. 
* Đối với lớp 12A10: 
+ Thực hiện nội dung các bài toán liên quan đến điểm biểu diễn hình học của 
số phức lồng trong tiết ôn tập chương IV môn Toán Giải tích lớp 12 CB. 
+ Thực hiện nội dung giải một số bài toán về số phức bằng phương pháp ứng 
dụng hình học phẳng trong một buổi ôn tập tổng hợp cuối năm. 
3. Kết quả thực nghiệm. 
* Đối với lớp 12A3: 
+ Đa số các em giải được các bài toán liên quan đến điểm biểu diễn hình học 
của số phức. 
+ Nhiều em đã nắm được phương pháp chuyển một số bài toán số phức về 
giải theo phương pháp hình học. Các em cũng thể hiện sự hiểu biết thông qua 
việc giải và nộp bài tập tương tự, đặt câu hỏi về những cách giải khác mà các 
em tham khảo được chẳng hạn như phương pháp dùng bất đẳng thức. 
* Đối với lớp 12A10: 
 25 điểm thoả mãn một số tính chất nào đó. VD bài toán ở mục 2.5 trang 19 “Tìm 
một điểm chạy trên đường tròn sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai điểm 
cố định là nhỏ nhất” dẫn tới cần dựng được một elip có hai tiêu điểm cố định 
và tiếp xúc với một đường tròn cố định. 
 27 
29