Tài liệu ôn thi THPT môn Toán - Chuyên đề 31: Phương trình đường thẳng

 TÀI LIỆU ÔN THI THPT 2022 
 Chuyên đề 31 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM 
 Dạng 1. Xác định VTCP 
 Véctơ chỉ phương u của đường thẳng d là véctơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d. 
 Nếu d có một véctơ chỉ phương là u thì ku. cũng là một véctơ chỉ phương của d. 
 Nếu có hai véctơ n1 và n2 cùng vuông góc với d thì d có một véctơ chỉ phương là u= [ n12 , n ]. 
 Để viết phương trình đường thẳng d , ta cần tìm điểm đi qua và một véctơ chỉ phương. 
 Qua M ( x ; y ; z )
 Nếu đường thẳng d : thì ta có hai dạng phương trình đường thẳng: 
 VTCP:(;;) ud = a1 a 2 a 3
 ku. d 
 x=+ x a1 t
 u 
 Phương trình đường thẳng d dạng tham số y= y + a2 t, ( t ). 
 z=+ z a3 t
 x− x y − y z − z
 Phương trình đường thẳng d dạng chính tắc = =, (a1 a 2 a 3 0). 
 a1 a 2 a 3
 x−3 y − 4 z + 1
Câu 1. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : ==. Vecto 
 2− 5 3
 nào dưới đây là một vecto chỉ phương của d ? 
 A. u2 (2;4;− 1). B. u1 (2;− 5;3) . C. u3 (2;5;3) . D. u4 (3;4;1) . 
 Lời giải 
 Chọn B. 
 x−2 y + 5 z − 2
Câu 2. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : ==. 
 3 4− 1
 Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ? 
 A. u2 =−(3;4; 1) . B. u1 =−(2; 5;2) . C. u3 =−(2;5; 2) . D. u3 = (3;4;1) . 
 Lời giải 
 Chọn A 
 Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là . 
 x−3 y + 1 z + 2
Câu 3. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : ==. Vecto 
 4− 2 3
 nào dưới đây là một vecto chỉ phương của d 
 A. u3 =(3; − 1; − 2) . B. u4 = (4;2;3) . C. u2 =−(4; 2;3) . D. u1 = (3;1;2) . 
 Lời giải 
 Chọn C 
 Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u2 (4;− 2;3). 
 x−4 y + 2 z − 3
Câu 4. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : ==. 
 3−− 1 2
 Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ? 
 A. u2 =−(4; 2;3) . B. u4 =−(4;2; 3) . C. u3 =(3; − 1; − 2) . D. u1 = (3;1;2) . 
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPT 2022 
 Lời giải 
 Chọn C 
 xt=−2
Câu 5. (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz , đường thẳng d: y=+ 1 2 t có một vectơ chỉ phương là: 
 zt=+3
 A. u1 =−( 1;2;3) B. u3 = (2;1;3) C. u4 =−( 1;2;1) D. u2 = (2;1;1) 
 Lời giải 
 Chọn C 
 có một vectơ chỉ phương là . 
 x−132 y − z +
Câu 6. (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : ==. Vectơ nào 
 2− 5 3
 dưới đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng d 
 A. u =−(1;3; 2). B. u = (2;5;3) . C. u =−(2; 5;3) . D. u = (1;3;2) . 
 Lời giải 
 Chọn C 
 Dựa vào phương trình đường thẳng suy ra một vectơ chỉ phương của d là u =−(2; 5;3) 
Câu 7. (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1;0) và B(0;1;2) . 
 Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB . 
 A. d =−( 1;1;2) B. a =( −1;0; − 2) C. b =−( 1;0;2) D. c = (1;2;2) 
 Lời giải. 
 Chọn C 
 Ta có AB =−( 1;0;2) suy ra đường thẳng AB có VTCP là b =−( 1;0;2) . 
 x+3 y − 1 z − 5
Câu 8. (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : == có một vectơ chỉ 
 1− 1 2
 phương là 
 A. u1 =−(3; 1;5) B. u4 =−(1; 1;2) C. u2 =−( 3;1;5) D. u3 =(1; − 1; − 2) 
 Lời giải 
 Chọn B 
 x+3 y − 1 z − 5
 Đường thẳng d : == có một vectơ chỉ phương là u =−(1; 1;2) . 
 1− 1 2 4
 x+2 y − 1 z − 3
Câu 9. (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :.== Vectơ nào 
 1− 3 2
 dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ? 
 A. u4 = (1;3;2) . B. u3 =−( 2;1;3) . C. u1 =−( 2;1;2) . D. u2 =−(1; 3;2) . 
 Lời giải 
 Chọn D 
 x+2 y − 1 z − 3
 Đường thẳng d : ==có một vectơ chỉ phương là 
 1− 3 2
 Trang 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT 2022 
 x--21 y z
Câu 10. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :.== Đường 
 - 1 2 1
 thẳng d có một vectơ chỉ phương là 
 r uur r r
 4 3 1
 A. u =-( 1;2;0) B. u2 = (2;1;0) C. u = (2;1;1) D. u =-( 1;2;1) 
 Lời giải 
 Chọn D 
 x−3 y + 1 z − 5
Câu 11. (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : ==. Vectơ nào 
 1− 2 3
 sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d ? 
 A. u2 =−(1; 2;3) B. u3 =−(2;6; 4) . C. u4 =( − 2; − 4;6) . D. u1 =−(3; 1;5) . 
 Lời giải 
 Chọn A 
 Ta thấy đường thẳng d có một vectơ chỉ phương có tọa độ . 
 x−2 y − 1 z + 3
Câu 12. (Mã 101 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : ==. Vectơ nào 
 −1 2 1
 dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ? 
 A. u4 =−(1;2; 3) . B. u3 =−( 1;2;1) . C. u1 =−(2;1; 3) . D. u2 = (2;1;1) . 
 Lời giải 
 Chọn B 
 Một vectơ chỉ phương của là: u =−( 1;2;1) . 
 x−1 y − 2 z − 3
Câu 13. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : == đi qua 
 2− 1 2
 điểm nào dưới đây? 
 A. Q(2;− 1;2) B. M (−1; − 2; − 3) C. P(1;2;3) D. N (−−2;1; 2) 
 Lời giải 
 Chọn C 
Câu 14. (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3). Gọi M1 , M 2 lần 
 lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox , Oy . Vectơ nào dưới đây là một véctơ chỉ 
 phương của đường thẳng MM12? 
 A. u4 =−( 1;2;0) B. u1 = (0;2;0) C. u2 = (1;2;0) D. u3 = (1;0;0) 
 Lời giải 
 Chọn A 
 M1 là hình chiếu của lên trục Ox M1 (1;0;0) . 
 M 2 là hình chiếu của lên trục Oy M 2 (0;2;0) . 
 Khi đó: MM12=−( 1;2;0) là một vectơ chỉ phương của . 
 x y−−43 z
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : ==. Hỏi trong các 
 −1 2 3
 vectơ sau, đâu không phải là vectơ chỉ phương của d ? 
 A. u1 =−( 1;2;3) . B. u2 =(3; − 6; − 9) . C. u3 =(1; − 2; − 3) . D. u4 =−( 2;4;3) . 
 Lời giải 
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPT 2022 
 Ta có một vectơ chỉ phương của là . 
 uu21=−3 , uu31=− các vectơ uu23, cũng là vectơ chỉ phương của . 
 Không tồn tại số k để u41= k. u nên không phải là vectơ chỉ phương của . 
Câu 16. (Sở Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng nào sau đây nhận 
 u = (2;1;1) là một vectơ chỉ phương? 
 x---2 y 1 z 1 x y--12 z
 A. == B. == 
 1 2 3 2 1- 1
 x-+11 y z x+2 y + 1 z + 1
 C. == D. == 
 ---2 1 1 2- 1 1
 Lời giải 
 Chọn C 
 Xét đường thẳng được cho ở câu C, có một vectơ chỉ phương là (−2; − 1; − 1) = −( 2;1;1) (thỏa đề 
 bài). 
Câu 17. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường 
 x−1 y − 2 z + 1
 thẳng d : == nhận véc tơ u( a;2; b) làm véc tơ chỉ phương. Tính ab+ . 
 2 1 2
 A. −8. B. 8 . C. 4 . D. −4 . 
 Lời giải 
 Đường thẳng d có một véc tơ chỉ phương là v(2;1;2) . 
 ab2 a = 4
 làm véc tơ chỉ phương của suy ra u và v cùng phương nên == 
 2 1 2 b = 4
Câu 18. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz, tọa độ nào sau đây là tọa độ của 
 xt=+24
 một véctơ chỉ phương của đường thẳng : y = 1 − 6 t ,( t ) ? 
 zt= 9
 1− 1 3 1 1 3
 A. ;; . B. ;; . C. (2;1;0) . D. (4;− 6;0) . 
 3 2 4 3 2 4
 Lời giải 
 1− 1 3
 Cách 1: Từ phương trình suy ra véctơ chỉ phương của là u =(4; − 6;9) = 12 ; ; .
 3 2 4 
Câu 19. (Chuyên KHTN 2019) Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng 
 x+2 y + 1 z − 3
 == 
 3−− 2 1
 A. (−−2;1; 3) . B. (−3;2;1). C. (3;− 2;1) . D. (2;1;3) . 
 Lời giải 
 Vectơ chỉ phương của đường thẳng là u =(3; − 2; − 1) = − 1( − 3;2;1) nên u1 =−( 3;2;1) cũng là 
 một vectơ chỉ phương của đường thẳng. 
Câu 20. (Chuyên Thái Bình 2019) Trong không gian vớdi hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng 
 x−1u =− y −1;2;3 3 z − 7 u =−2;4;3
 (d ) : 1==( ) nhận vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương? 4 ( )
 2− 4 1
 Trang 4 TÀI LIỆU ÔN THI THPT 2022 
 A. (−−2; 4;1) . B. (2;4;1). C. (1;− 4;2) . D. (2;− 4;1) . 
 Lời giải 
 Từ phương trình chính tắc của đường thẳng d ta có vectơ chỉ phương là ud =−(2; 4;1) . 
Câu 21. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Trong không gian Oxyz véc tơ nào dưới đây là một véc tơ chỉ 
 xt=+1
 phương của đường thẳng d : y = 4 , 
 zt=−32
 A. u = (1;4;3) . B. u =−(1;4; 2) . C. u =−(1;0; 2) . D. u = (1;0;2) . 
 Lời giải 
 Từ phương trình tham số của đường thẳng d , ta suy ra một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d 
 là u =−(1;0; 2) . 
 Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng 
Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và dạng chính tắc (nếu có), biết d đi qua điểm 
 M(;;) x y z và có véctơ chỉ phương ud = ( a1 ; a 2 ; a 3 ). 
 Qua M ( x ; y ; z )
 Phương pháp. Ta có: d : 
 VTCP : ud = ( a1 ; a 2 ; a 3 )
 x=+ x a1 t
 Phương trình đường thẳng d dạng tham số d: y= y + a2 t , ( t ). 
 z=+ z a3 t
 x− x y − y z − z
 Phương trình đường thẳng d dạng chính tắc d:= = , ( a1 a 2 a 3 0). 
 a1 a 2 a 3
Dạng 2. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường thẳng d đi qua A và B. 
 Qua A ( hay B )
 Phương pháp. Đường thẳng d : (dạng 1) B d 
 A 
 VTCP: ud = AB
Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và chính tắc (nếu có), biết d đi qua điểm M 
 và song song với đường thẳng . 
 u 
 Qua M ( x ; y ; z ) 
 Phương pháp. Ta có d : (dạng 1) M d 
 VTCP : ud = u 
Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và chính tắc (nếu có), biết d đi qua điểm M 
 và vuông góc với mặt phẳng (P ) : ax+ by + cz + d = 0. d 
 un= 
 Qua M dP M 
 Phương pháp. Ta có d : (dạng 1) 
 VTCP : u== n ( a ; b ; c )
 dP() P 
Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng d qua M và song song với hai mặt phẳng ( PQ ), ( ). 
 Qua M
 Phương pháp. Ta có d : (dạng 1) 
 VTCP : ud= [ n P ,n Q ]
 Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng cơ bản 
Câu 22. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M (1;0;1) và N(3;2;− 1) . 
 Đường thẳng MN có phương trình tham số là 
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPT 2022 
 xt=+12 xt=+1 xt=−1 xt=+1
 A. yt= 2. B. yt= . C. yt= . D. yt= . 
 zt=+1 zt=+1 zt=+1 zt=−1
 Lời giải 
 Chọn D 
 Đường thẳng MN nhận MN =−(2;2; 2) hoặc u(1;1;− 1) là véc tơ chỉ phương nên ta loại ngay 
 phương án A, B và C. 
 Thay tọa độ điểm vào phương trình ở phương án D ta thấy thỏa mãn. 
Câu 23. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương 
 xt=+12
 trình chính tắc của đường thẳng d: y= 3 t ? 
 zt= −2 +
 x+−12 y z x−+12 y z x+−12 y z x−+12 y z
 A. == B. == C. == D. == 
 2 3 1 1 3− 2 2 3− 2 2 3 1
 Lời giải 
 Chọn D 
 xt=+12
 Do đường thẳng d:3 y= t đi qua điểm M (1;0;− 2) và có véc tơ chỉ phương u(2;3;1) nên có 
 zt= −2 +
 x−+12 y z
 phương trình chính tắc là == . 
 2 3 1
Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M (1;− 2;1) , N (0;1;3) . Phương trình đường 
 thẳng qua hai điểm M , N là 
 x+1 y − 2 z + 1 x+1 y − 3 z − 2
 A. ==. B. ==. 
 −1 3 2 1− 2 1
 x y−−13 z x y−−13 z
 C. ==. D. ==. 
 −1 3 2 1− 2 1
 Lời giải 
 MN =−( 1;3; 2) . 
 Đường thẳng MN qua N nhận làm vectơ chỉ phương có phương trình 
 . 
Câu 25. Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M (2;0;− 1) và có 
 véctơ chỉ phương a =−(2; 3;1) là 
 xt=+42 xt= −22 + xt= −24 + Mxt=+(1;0;1)22
 A. y =−6. B. yt=−3. C. yt=−6. D. yt=−3. 
 zt=−2 zt=+1 zt=+12 zt= −1 +
 Lời giải 
 Trang 6 TÀI LIỆU ÔN THI THPT 2022 
 Theo lý thuyết về dường thẳng trong không gian Oxyz, ta có phương trình tham số của đường 
 thẳng đi qua điểm M( x0;; y 0 z 0 ) và có véctơ chỉ phương a= ( a1;; a 2 a 3 ) là 
 x=+ x01 a t
 y= y02 + a t,.( t ) 
 z=+ z03 a t
 Do đó, đáp án D đúng. 
Câu 26. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , cho E(− 1;0;2) và F(2;1;− 5) . Phương 
 trình đường thẳng EF là 
 x−+12 y z x+−12 y z
 A. == B. == 
 3 1− 7 3 1− 7
 x−+12 y z x+−12 y z
 C. == D. == 
 1 1− 3 1 1 3
 Lời giải 
 Chọn B 
 Ta có: EF =−(3;1; 7) . Đường thẳng EF đi qua điểm E(− 1;0;2) và có VTCP u= EF =(3;1; − 7) 
 x+−12 y z
 có phương trình: == . 
 3 1− 7
Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng đi qua điểm M (2;0;− 1) và có một vectơ chỉ 
 phương a =−(4; 6;2) .Phương trình tham số của là 
 xt= −24 + xt=+22 xt=+42 xt= −22 +
 A. yt= 6 . B. yt=−3 . C. y =−6 . D. yt= 3 . 
 zt=+12 zt= −1 + zt=+2 zt=+1
 Lời giải 
 a =(4; − 6;2) = 2( 2; − 3;1) \ 
 Do đó đường thẳng có một vectơ chỉ phương là u =−(2; 3;1) . Vậy phương trình tham số của 
 đi qua và có một vectơ chỉ phương là là: . 
Câu 28. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng 
 đi qua hai điểm P(1;1;− 1) và Q(2;3;2) 
 x−1 y − 1 z + 1 x−1 y − 1 z + 1
 A. ==. B. ==. 
 2 3 2 1 2 3
 x−1 y − 2 z − 3 x+2 y + 3 z + 2
 C. ==. D. ==. 
 1 1− 1 1 2 3
 Lời giải 
 Ta có PQ = (1;2;3) . Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm PQ, 
 Khi đó d có một vec tơ chỉ phương là ud == PQ (1;2;3) 
 Trang 7 TÀI LIỆU ÔN THI THPT 2022 
 x−1 y − 1 z + 1
 Phương trình đường thẳng d đi qua điểm P(1;1;− 1) là d : ==. 
 1 2 3
Câu 29. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng 
 đi qua hai điểm A(1;2;3) và B(5;4;− 1) là 
 x−5 y − 4 z + 1 x+1 y + 2 z + 3
 A. ==. B. ==. 
 2 1 2 4 2− 4
 x−1 y − 2 z − 3 x−3 y − 3 z − 1
 C. ==. D. ==. 
 4 2 4 −−2 1 2
 Lời giải 
 Ta có AB(4;2;− 4) . Suy ra AB cùng phương với u (−−2; 1;2) . 
 Phương trình đường thẳng AB đi qua B(5;4;− 1) nhận u (−−2; 1;2) làm vectơ chỉ phương là: 
 x−5 y − 4 z + 1
 ==,1( ) . Do đó loại A, C. 
 −−2 1 2
 Có tọa độ C (−1; − 2; − 3) không thỏa mãn phương trình (1) nên phương án B. 
 Lại có tọa độ D(3;3;1) thỏa mãn phương trình (1) nên phương trình đường thẳng AB cũng được 
 x−3 y − 3 z − 1
 viết là: ==. 
 −−2 1 2
Câu 30. Trong không gian Oxyz , đường thẳng Oy có phương trình tham số là 
 xt= x = 0 x = 0 xt=
 A. y= t( t ) . B. y=2 + t( t ) . C. yt= 0( ) . D. yt= 0( ) . 
 zt= z = 0 zt= z = 0
 Lời giải 
 Đường thẳng Oy đi qua điểm A(0 ; 2 ; 0) và nhận vectơ đơn vị j = (0; 1; 0) làm vectơ chỉ 
 x=0 + 0. t x = 0
 phương nên có phương trình tham số là y=2 + 1. t( t ) y = 2 + t( t ) . 
 z=0 + 0. t z = 0
Câu 31. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz có đường thẳng có phương trình 
 xt=+12
 tham số là (d ) : y=− 2 t . Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng d là 
 zt= −3 +
 x−1 y − 2 z + 3 x−1 y − 2 z − 3
 A. == B. == 
 2− 1 1 2− 1 1
 x−1 y − 2 z + 3 x+1 y + 2 z − 3
 C. == D. == 
 2 1 1 2− 1 1
 Lời giải 
 Chọn A 
 Đường thẳng d đi qua điểm M (1;2;− 3) nhận véc tơ u =−(2; 1;1) nên có phương trình dạng chính 
 x−1 y − 2 z + 3
 tắc là == 
 2− 1 1
 Trang 8 TÀI LIỆU ÔN THI THPT 2022 
Câu 32. (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Trong không gian Oxyz , cho E (−1;0;2) và F (2;1;− 5) . Phương 
 trình đường thẳng EF là 
 x−+12 y z x+−12 y z x−+12 y z x+−12 y z
 A. == . B. == . C. == . D. == . 
 3 1− 7 3 1− 7 1 1− 3 1 1 3
 Lời giải 
 Chọn B 
 Đường thẳng EF có véctơ chỉ phương là EF =−(3;1; 7) và đi qua E (−1;0;2) nên có phương 
 x+−12 y z
 trình: == . 
 3 1− 7
Câu 33. (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương 
 trình tham số trục Oz là 
 x = 0 xt= x = 0
 A. z = 0. B. yt= . C. y = 0 . D. y = 0 . 
 z = 0 z = 0 zt=
 Lời giải 
 Chọn D 
 r
 Trục Oz đi qua gốc tọa độ O(0;0;0) và nhận vectơ đơn vị k = (0;0;1) làm vectơ chỉ phương nên 
 có phương trình tham số . 
Câu 34. (THPT Cẩm Bình 2019) Trong không gian Oxyz , trục Ox có phương trình tham số 
 x = 0 xt=
 A. x = 0. B. yz+=0. C. y = 0. D. y = 0. 
 zt= z = 0
 Lời giải 
 Chọn D 
 Trục đi qua O(0;0;0) và có véctơ chỉ phương i (1;0;0) nên có phương trình tham số là: 
 x=0 + 1. t x = t
 y=0 + 0. t y = 0. 
 z=0 + 0. t z = 0
 xt=
 Vậy trục có phương trình tham số y = 0 . 
 z = 0
Câu 35. (Ngô Quyền - Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng 
 d đi qua điểm M (1;2;3) và có véctơ chỉ phương a(1;−− 4; 5) là 
 xt=+1
 x−1 y − 2 z − 3 
 A. ==. B. yt= −42 + . 
 1−− 4 5 
 zt= −53 +
 Trang 9 TÀI LIỆU ÔN THI THPT 2022 
 xt=−1
 x−1 y + 4 z + 5 
 C. ==. D. yt=+24. 
 1 2 3 
 zt=+35
 Lời giải 
 Chọn D 
 Đường thẳng có véctơ chỉ phương , do av=− với v(−1;4;5) nên cũng nhận 
 véctơ làm véctơ chỉ phương do đó phương trình tham số của đường thẳng là 
 xt=−1
 yt=+2 4 . . 
 zt=+35
Câu 36. (Chuyên Nguyễn Huệ 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình tham số 
 của đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương u = (1;3;2) là 
 x = 0 x =1 xt= xt=−
 A. d:3 y= t . B. dy:3 = . C. d:3 y= t . D. d:2 y=− t . 
 zt= 2 z = 2 zt= 2 zt=−3
 Lời giải 
 Chọn C 
 Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O(0;0;0) và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương có 
 phương trình tham số là . 
Câu 37. (Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;2;3) 
 và có vectơ chỉ phương u =(2; − 1; − 2) . 
 x−2 y + 1 z + 2 x+1 y + 2 z + 3
 A. ==. B. ==. 
 1 2 3 2−− 1 2
 x+2 y − 1 z − 2 x−1 y − 2 z − 3
 C. ==. D. ==. 
 1 2 3 2−− 1 2
 Lời giải 
 Chọn D 
Câu 38. (Sở Bình Thuận 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d đi qua điểm M (0;− 1;4) 
 và nhận vectơ u =−(3; 1;5) làm vectơ chỉ phương. Hệ phương trình nào sau đây là phương trình 
 tham số của d ? 
 xt= 3 x = 3 xt= 3 xt= 3
 A. ytd=−1 . B. yt= −1 − . C. yt=a −(11; −−− 4;. 5) D. yt=−1 . 
 zt=+45 zt=+54 zt=+45 zt= −45 +
 Lời giải 
 Chọn C 
 Trang 10 TÀI LIỆU ÔN THI THPT 2022 
 Đường thẳng d đi qua điểm M (0;− 1;4) và nhận vectơ u =−(3; 1;5) làm vectơ chỉ phương. 
 xt= 3
 Phương trình tham số của d là: yt= −1 − . 
 zt=+45
Câu 39. (Sở GD Nam Định - 2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua M (1;2;− 3) nhận 
 vectơ u =−( 1;2;1) làm vectơ chỉ phương có phương trình là 
 x+1 y + 2 z − 3 x−1 y − 2 z + 3
 A. ==. B. ==. 
 −1 2 1 1− 2 1
 x−1 y − 2 z − 3 x−1 y − 2 z + 3
 C. ==. D. ==. 
 1 2− 1 −1 2 1
 Lời giải 
 Chọn D 
 Đường thẳng đi qua nhận vectơ làm vectơ chỉ phương có phương 
 trình là  
 Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố vuông góc 
Câu 40. (Mã 101 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1;− 2;3) và mặt phẳng 
 (P) : 2 x− y + 3 z + 1 = 0 . Phương trình của đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) là 
 xt=+12 xt= −12 + xt=+2 xt=−12
 A. yt= −2 − . B. yt=−2 . C. yt= −12 − . D. yt= −2 − . 
 zt=+33 zt= −33 + zt=+33 zt=−33
 Lời giải 
 Chọn A 
 Đường thẳng cần tìm đi qua M (1;− 2;3) , vuông góc với (P) nên nhận n(P) =−(2; 1;3) là véc tơ 
 xt=+12
 chỉ phương. Phương trình đường thẳng cần tìm là yt= −2 − . 
 zt=+33
Câu 41. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho M (1;2;− 3) và mặt phẳng 
 (P ) : 2 x− y + 3 z − 1 = 0 . Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với ()P là 
 xt=+2 xt= −12 + xt=+12 xt=−12
 A. yt= −12 + . B. yt= −2 − . C. yt=−2 . D. yt=−2 . 
 zt=−33 zt=+33 zt= −33 + zt= −33 −
 Lời giải 
 Chọn C 
 Ta có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n =−(2; 1;3) . 
 Đường thẳng đi qua điểm và và vuông góc với có phương trình là . 
 Trang 11 TÀI LIỆU ÔN THI THPT 2022 
Câu 42. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1;− 2;2) và mặt phẳng 
 (P): 2 x+ y − 3 z + 1 = 0 . Phương trình của đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) 
 là 
 xt=+12 xt=+1 xt=+2 xt= −12 +
 A. yt= −2 + . B. yt= −22 − . C. yt=−12 . D. yt=+2 . 
 zt=−23 zt=+2 zt= −32 + zt= −23 −
 Lời giải 
 Chọn A 
 Đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng nhận véc tơ pháp tuyến của mặt 
 phẳng làm véc tơ chỉ phương có phương trình tham số là . 
Câu 43. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1;2;− 2) và mặt phẳng 
 (P): 2 x+ y − 3 z + 1 = 0 . Phương trình của đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) là: 
 xt= −12 + xt=+12 xt=−12 xt=+2
 A. yt= −2 + . B. yt=+2 . C. yt=+2 . D. yt=+12 
 zt=−23 zt= −23 − zt= −23 − zt= −32 −
 Lời giải 
 Chọn B 
 Mặt phẳng (P): 2 x+ y − 3 z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến n =−(2;1; 3) 
 đường thẳng đi qua M (1;2;− 2) và vuông góc với (P) nên nhận n =−(2;1; 3) làm vectơ chỉ 
 xt=+12
 phương. Vậy phương trình tham số là yt=+2 . 
 zt= −23 −
Câu 44. (Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương 
 trình của đường thẳng đi qua A(2;3;0) và vuông góc với mặt phẳng (P) : x+ 3 y − z + 5 = 0? 
 xt =1 + xt =1 + xt =13 + xt =13 +
 A. yt=+13 B. yt= 3 C. yt=+13 D. yt=+13 
 zt=−1 zt=−1 zt=−1 zt=+1
 Lời giải 
 Chọn B 
 r
 Vectơ chỉ phương của đường thẳng là u =−(1;3; 1) nên suy ra chỉ đáp án A hoặc B đúng. Thử tọa 
 độ điểm A(2;3;0) vào ta thấy đáp án B thỏa mãn 
Câu 45. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng 
 ( ) :x− y + 2 z = 1. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với ( ) . 
 xt= 2
 x y−1 z x y+1 z x y−1 z 
 A. d1 : ==. B. d2 : ==. C. d3 : ==. D. dy4 :0 = 
 1− 1 2 1−− 1 1 1−− 1 1 
 zt=−
 Lời giải 
 Trang 12 TÀI LIỆU ÔN THI THPT 2022 
 Chọn A 
 222
 Gọi VTCP của đường thẳng cần tìm là a= ( a1;; a 2 a 3 ) với aaa1+ 2 + 3 0 . 
 a a a
 Đường thẳng vuông góc với ( ) a cùng phương n 1 = 2 = 3 
 1− 1 2
 Chọn a1 = 1 thì a2 =−1 và a3 = 2 . 
Câu 46. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm 
 A(1;1;1) và vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oxy)có phương trình tham số là: 
 xt=+1 x =1 xt=+1 xt=+1
 A. y =1 . B. y =1 . C. y =1 . D. yt=+1 . 
 z =1 zt=+1 z =1 z = 1
 . 
 Lời giải 
 Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxy nên nhận k = 0;0;1 làm vectơ chỉ 
 ( ) ( )
 phương. Mặt khác d đi qua nên: 
 x =1
 Đường thẳng d có phương trình là: y =1 . 
 zt=+1
Câu 47. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm M (1;− 3; 2) và mặt phẳng 
 (P): x− 3 y + 2 z − 1 = 0 . Tìm phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với (P) . 
 x+132 y − z + x−1 y + 3 z − 2
 A. ==. B. ==. 
 1− 3 2 1− 3 2
 x y z x+1 y + 3 z − 2
 C. ==. D. ==. 
 1− 3 2 1− 3 2
 Lời giải 
 Chọn B 
 Mặt phẳng có VTPT là n =−(1; 3;2) . 
 Vì d vuông góc với nên nhận là VTCP. 
 Đường thẳng qua và nhận là VTCP có phương trình: . 
Câu 48. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;0;2) và đường thẳng 
 x−+11 y z
 d : == . Đường thẳng đi qua A , vuông góc và cắt d có phương trình là 
 1 1 2
 x−2 y − 1 z − 1 x−−12 y z
 A. : = = . B. : = = . 
 1 1− 1 1 1 1
 x−2 y − 1 z − 1 x−−12 y z
 C. : = = . D. : = = . 
 2 2 1 1− 3 1
 Lời giải 
 Trang 13 TÀI LIỆU ÔN THI THPT 2022 
 Gọi giao điểm của và là B( t+−1; t ;2 t 1) . Khi đó u = AB =( t, t ,2 t − 3) . 
 Vì đường thẳng vuông góc với đường thẳng có ud = (1,1,2) thì: 
 t+ t +2( 2 t − 3) = 0 t = 1 u =( 1,1, − 1) . 
 Phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là 
Câu 49. (Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A(3;1;2) và vuông góc với 
 mặt phẳng x+ y +3 z + 5 = 0 có phương trình là 
 x−3 y − 1 z − 2 x+1 y + 1 z + 3
 A. ==. B. ==. 
 1 1 3 3 1 2
 x−1 y − 1 z − 3 x+3 y + 1 z + 2
 C. ==. D. ==. 
 3 1 2 1 1 3
 Lời giải 
 Chọn A 
 Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nên nó có véc tơ chỉ phương là 
 u = (1;1;3) . Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 
Câu 50. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; 2;− 1) và mặt phẳng (P ) : x+ z − 2 = 0. Đường thẳng đi 
 qua M và vuông góc với ()P có phương trình là 
 xt =3 + xt =3 + xt =3 + xt =3 +
 A. y = 2. B. yt=+2. C. yt= 2. D. yt=+1 2 . 
 zt= −1 + z =−1 zt=−1 zt=−
 Lời giải 
 Chọn A 
 Ta có mặt phẳng (P ) : x+ z − 2 = 0 
 Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là n(P) = (1;0;1) 
 Gọi đường thẳng cần tìm là . Vì đường thẳng vuông góc với (P) nên véc tơ pháp tuyến của 
 mặt phẳng (P) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng . 
 un =(P) = (1;0;1) 
 Vậy phương trình đường thẳng đi qua và có véc tơ chỉ phương u = (1;0;1) là: 
 xt =3 +
 y = 2. 
 zt= −1 +
Câu 51. (SGD Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ oxyz , phươngd trình đường thẳng d đi 
 qua điểm A(x1;2;1−2) và y −vuông 1 z −góc 1 với mặt phẳng (P) : x− 2 y + z − 1 = 0 có dạng 
 : = =
 x+1 y1 + 2 1z + 1 − 1 x++22 y z
 A. d : ==. B. d : == . 
 1− 2 1 1− 2 1
 x−1 y − 2 z − 1 x−−22 y z
 C. d : ==. D. d : == . 
 1 2 1 2− 4 2
 Trang 14 TÀI LIỆU ÔN THI THPT 2022 
 Lời giải 
 Chọn D 
 Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến nP =−(1; 2;1). Vì dP⊥ ( ) nên cũng là vecto 
 chỉ phương của đường thẳng . Suy ra phương trình đường thẳng thường gặp là 
 x−1 y − 2 z − 1
 ==. So với đáp án không có, nên đường thẳng theo bài là đường có vecto chỉ 
 1− 2 1
 phương cùng phương với nP và đi qua điểm . Thay tọa độ điểm vào 3 đáp án 
 A, B, D thấy đáp án D thỏa mãn. 
Câu 52. (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 
 (P): 2 x− 5 y + z − 1 = 0 và A(1;2;− 1) . Đường thẳng qua A và vuông góc với (P) có phương 
 trình là 
 xt=+2 xt=+32 xt=+12 xt=−32
 A. yt= −52 + . B. yt= −35 − . C. yt=−25. D. yt= −35 + . 
 zt=−1 zt=+1 zt=+1 zt=−
 Lời giải 
 Chọn D 
 Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là n =−(2; 5;1) . 
 Đường thẳng vuông góc với (P) nên có một vectơ chỉ phương là un= − =( −2;5; − 1) . 
 xt=−12
 đi qua A nên có phương trình yt=+25. 
 zt= −1 −
 Cho t =−1 ta được điểm B(3;− 3;0) . 
 xt=−32
 Vì thế có phương trình yt= −35 + . 
 zt=−
Câu 53. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2 x− y + z + 3 = 0 và điểm A(1;− 2;1) . 
 Phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P) là 
 xt=+12 xt=+12 xt=+2 xt=+12
 A. d: y= − 2 − t . B. d: y= − 2 − 4 t . C. yt= −12 − . D. d: y= − 2 − t . 
 zt=+1 zt=+13 zt=+1 zt=+13
 Lời giải 
 Chọn A 
 Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là n =−(2; 1;1) . 
 d
 Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận n =−(2; 1;1) làm vectơ chỉ phương. Mà 
 A(1;2;1)
 xt=+12
 d đi qua A(1;− 2;1) nên có phương trình: yt= −2 − (t ). 
 zt=+1
 Trang 15 TÀI LIỆU ÔN THI THPT 2022 
Câu 54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;1) và 
 vuông góc với mặt phẳng (P) : x− 2 y − z − 1 = 0 có dạng 
 x+ 2 y z x−1 y − 2 z − 1
 A. d : ==. B. d : ==. 
 1−− 2 1 1 2 1
 x+1 y + 2 z + 1 x− 2 y z
 C. d : ==. D. d : ==. 
 1−− 2 1 2−− 4 2
 Lời giải 
 Chọn D 
 có n(P) =(1; − 2; − 1) 
 Vì dP⊥ ( ) nên d có một VTCP là a =(1; − 2; − 1) chọn A, C, D 
 1− 2 2 1
 Thay tọa độ điểm A vào các câu đã chọn, ta thấy câu D thỏa yêu cầu. d : == 
 2−− 4 2
Câu 55. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng đi qua 
 điểm A(−2;4;3) và vuông góc với mặt phẳng ( ) :2x − 3 y + 6 z + 19 = 0 có phương trình là 
 x−2 y + 3 z − 6 x+2 y − 4 z − 3
 A. ==. B. ==. 
 −2 4 3 2− 3 6
 x+2 y − 3 z + 6 x−2 y + 4 z + 3
 C. ==. D. ==. 
 −2 4 3 2− 3 6
 Lời giải 
 Chọn B 
 Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là n =−(2; 3;6) . 
 Đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng ( ) nhận 
 x+2 y − 4 z − 3
 làm vectơ chỉ phương, khi đó phương trình đường thẳng là: ==. 
 2− 3 6
 Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song 
Câu 56. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1;0;1) , B(1;1;0) và 
 C (3;4;− 1) . Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là 
 x−−11 y z x++11 y z x−−11 y z x++11 y z
 A. == . B. == . C. == . D. == . 
 4 5− 1 2 3− 1 2 3− 1 4 5− 1
 Lời giải 
 Chọn C 
 Đường thẳng d đi qua A và song song với BC nhận BC =−(2;3; 1) làm một véc tơ chỉ 
 phương. 
 x−−11 y z
 Phương trình của đường thẳng d : == . 
 2 3− 1
Câu 57. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm ABC(1;2;3) ,( 1;1;1) ,( 3;4;0) . 
 Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là 
 x+1 y + 2 z + 3 x−1 y − 2 z − 3
 A. ==. B. ==. 
 4 5 1 4 5 1
 x−1 y − 2 z − 3 x+1 y + 2 z + 3
 C. ==. D. ==. 
 2 3− 1 2 3− 1
 Trang 16 TÀI LIỆU ÔN THI THPT 2022 
 Lời giải 
 Chọn C 
 Ta có BC =−(2;3; 1) , đường thẳng song song nên có vec tơ chỉ phương cùng phương với 
 . 
 Do vậy đường thẳng đi qua và song song với có phương trình là 
Câu 58. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm AB(1;2;0), (1;1;2) và C(2;3;1) . 
 Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là 
 x−−12 y z x−−12 y z x++12 y z x++12 y z
 A. ==. B. ==. C. ==. D. ==. 
 1 2− 1 3 4 3 3 4 3 1 2− 1
 Lời giải 
 Chọn A 
 Gọi d là phương trình đường thẳng qua A(1;2;0) và song song với BC . 
 x−−12 y z
 Ta có BC =−(1;2; 1) d : = = . 
 1 2− 1
Câu 59. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm ABC(1;1;0) ,( 1;0;1) ,( 3;1;0) . 
 Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là: 
 x++11 y z z++11 y z
 A. ==. B. ==. 
 2 1 1 4 1 1
 x−−11 y z x−−11 y z
 C. ==. D. ==. 
 2 1− 1 4 1 1
 Lời giải 
 Chọn C 
 Đường thẳng đi qua A(1;1;0) , song song với BC nên nhận BC =−(2;1; 1) là véc tơ chỉ phương do 
 đó có phương trình là: . 
Câu 60. (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(0;− 1;3) , B(1;0;1) , 
 C (−1;1;2) . Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và 
 song song với đường thẳng BC ? 
 xt=−2
 A. x−20 y + z = . B. yt= −1 + . 
 zt=+3
 x y+−13 z x−−11 y z
 C. ==. D. == . 
 −2 1 1 −2 1 1
 Lời giải 
 Chọn C 
 Đường thẳng A đi qua A và song songBC BC nhận BC =−( 2;1;1) làm vectơ chỉ phương 
 x y+−13 z
 Phương trình chính tắc của đường thẳng : ==. 
 −2 1 1
 x−Chú1 yý: − Đáp 2 zán − 3A không nhận được, vì đó là phương trình tham số của đường thẳng cần tìm, chứ 
 ==
 2không 3phải phương− 1 trình chính tắc. 
 Trang 17 TÀI LIỆU ÔN THI THPT 2022 
Câu 61. (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1;−− 2; 3); B(−1;4;1) và 
 xz++23y − 2
 đường thẳng d : ==. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường 
 1− 1 2
 thẳng đi qua trung điểm của đoạn AB và song song với d ? 
 xzy −1 +1 xzy −1 +1
 A. == B. == 
 1 1 2 1− 1 2
 xz−+11y −1 xzy − 2 + 2
 C. == D. == 
 1− 1 2 1− 1 2
 Lời giải 
 Chọn B 
 Trung điểm của AB là I (0;1;− 1) 
 xz++23y − 2 r
 d : == có VTCP là u(1;− 1; 2) nên đường thẳng cần tìm cũng có VTCP 
 1− 1 2
 r
 u(1;− 1; 2) . 
 xxy −1 +1
 Suy ra phương trình đường thẳng :. = = 
 1− 1 2
Câu 62. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A(1;− 2; 3) và hai mặt phẳng 
 (P) : x+ y + z + 1 = 0 , (Q) : x− y + z − 2 = 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường 
 thẳng đi qua A , song song với (P) và (Q) ? 
 =x 1 xt = −1 + xt =12 + xt =1 +
 A. y =−2 B. y = 2 C. y =−2 D. y =−2 
 zt=−32 zt= −3 − zt=+32 zt=−3
 Lời giải 
 Chọn D 
 r
 n = 1;1;1
 (P) ( ) rr
 Ta có r và nn,=( 2;0;2 −) = 21;0;1( − ) . Vì đường thẳng d song song với 
 n =−1; 1;1 (PQ) ( )
 (Q) ( )
 hai mặt phẳng, nên nhận véc tơ (1;0;− 1) làm véc tơ chỉ phương. 
Câu 63. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(0;− 1;3), B(1;0;1) , C(−1;1;2) . Phương 
 trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và song song với đường 
 thẳng BC ? 
 xt = −2
 xzy +1 − 3
 A. yt= −1 + . B. ==. 
 −2 1 1
 zt=+3
 xz−−11y
 C. == . D. x−20 y + z = . 
 −2 1 1
 Lời giải 
 Chọn B 
 uuur
 Đường thẳng đi qua A và song song BC nhận BC =−( 2;1;1) làm vecto chỉ phương 
 Trang 18 TÀI LIỆU ÔN THI THPT 2022 
 xzy +1 − 3
 Phương trình đường thẳng cần tìm: ==. 
 −2 1 1
 Chú ý: Đáp án A không nhận được, vì đó là phương trình tham số của đường thẳng cần tìm, chứ 
 không phải phương trình chính tắc. 
Câu 64. Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;0;− 1) và mặt phẳng (P) : x+ y − 1 = 0 . Đường thẳng đi 
 qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy) có phương trình là 
 xt =3 + xt =2 + xt =12 + xt =3 +
 A. yt= 2 . B. yt=− . C. y =−1 . D. yt=+12. 
 zt=−1 z =−1 zt=− zt=−
 Lời giải 
 Chọn B 
 Ta có: n(Oxy) = (1;1;0) , n(Oxy) = (0;0;1) . 
 Gọi d là đường thẳng đi qua đồng thời song song với và mặt phẳng . Khi đó: 
 xt=+2
 undP⊥ ( ) 
 d: y=− t
 ud = n( P) , n( Oxy) =( 1; − 1;0). Vậy . 
 und ⊥ (Oxy) 
 z =−1
Câu 65. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (−−2;3; 1) , N (−1;2;3) và P(2;− 1;1). 
 Phương trình đường thẳng d đi qua M và song song với NP là 
 xt= −13 + xt=+23 xt= −23 + xt=−32
 A. yt=−23. B. yt= −13 − . C. yt=−33. D. yt= −33 + . 
 zt=−32 zt=−12 zt= −12 − zt= −2 −
 Lời giải 
 Chọn C 
 Phương trình đường thẳng đi qua và song song với nên có vectơ chỉ phương là: 
 NP =(3; − 3; − 2) . 
 Vậy phương trình đưởng thẳng d là: 
 x−112 y + z −
Câu 66. (Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :.== Đường 
 −−1 2 1
 thẳng đi qua điểm M (2;1;− 1) và song song với đường thẳng d có phương trình là: 
 x+2 y + 1 z − 1 x y−+53 z
 A. ==. B. ==. 
 −−1 2 1 1− 2 1
 x+1 y − 2 z + 1 x−2 y − 1 z + 1
 C. ==. D. ==. 
 2 1− 1 1− 1 2
 Lời giải 
 Chọn B 
 Trang 19 TÀI LIỆU ÔN THI THPT 2022 
 Vì đường thẳng song song với đường thẳng nên nó có vectơ chỉ phương là u =( −1;2; − 1) hoặc 
 u =−(1; 2;1) nên loại phương án C và D. 
 x y−+53 z
 Vì điểm thuộc đường thẳng ==nên chọn phương án B. 
 1− 2 1 
 Vậy phương trình của đường thẳng là 
Câu 67. (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm 
 AC(0; 0; 1),B(− 1; − 2;0) ,( 2;1; − 1) . Đường thẳng đi qua C và song song với AB có phương 
 trình là 
 xt=+2 xt=+2
 A. y=1 + 2 t ,( t R) . B. y=1 − 2 t ,( t R) . 
 zt= −1 + zt= −1 +
 xt=+2 xt=−2
 C. y=1 + 2 t ,( t R) . D. y=1 + 2 t ,( t R) . 
 zt= −1 − zt= −1 +
 Lời giải 
 Chọn A 
 AB(−1; − 2; − 1) nên chọn là véc tơ chỉ phương của là u (1;2;1) . 
 Do đó phương trình của là 
Câu 68. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng 
 ( ):x− 2 y + z − 1 = 0, ( ): 2x+ y − z = 0 và điểm A(1;2;− 1). Đường thẳng đi qua điểm A 
 và song song với cả hai mặt phẳng ( ),( ) có phương trình là 
 x−1 y − 2 z + 1 x−1 y − 2 z + 1
 A. ==. B. ==. 
 −−2 4 2 1 3 5
 x−1 y − 2 z + 1 x y+−23 z
 C. ==. D. ==. 
 1−− 2 1 1 2 1
 Lời giải 
 Chọn B 
 mp( ) có véc tơ pháp tuyến là n1 =−(1; 2;1) , mp( ) có véc tơ pháp tuyến là n2 =−(2;1; 1). 
 Đường thẳng có véc tơ chỉ phương là u== n; n 1;3;5 . 
 12 ( )
 M (2;1;− 1x)−1 y − 2 z + 1 d
 Phương trình của đường thẳng : = = . 
 1 3 5 x y−+53 z
 ==.
 Dạng 3 Bài toán liên quan điểm (hình chiếu) thuộc đường,1 giao− 2 điểm 1đường với mặt phẳng 
Câu 69. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng 
 x+1 y − 2 z − 1
 d : ==? 
 −1 3 3
 A. P(−1;2;1). B. Q(1;−− 2; 1) . C. N (−1;3;2). D. P(1;2;1) . 
 Lời giải 
 Trang 20