Tài liệu tự học môn Toán Lớp 11 - Vấn đề 1: Giới hạn của dãy số - Phạm Thị Thanh Huyền

 Tài liệu tự học lần 1. Lớp 11 Giáo viên : Phạm Thị Thanh Huyền
 Vấn đề 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
 A - GIỚI HẠN HỮU HẠN
  Giới hạn hữu hạn
 • lim un 0 un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
 n 
 • Dãy số un có giới hạn là L nếu: lim vn L lim vn L 0
 n n 
  Lưu ý: Ta có thể viết gọn: limun 0, limun L . 
  Giới hạn đặc biệt
 1 1 1
 1) lim 0 2) lim 0 3) lim 0 4) u 0 limu 0 
 n n 3 n n n
 1
 5) limC C,C ¡ 6) lim qn 0 nếu q 1 ) 7) lim 0, k ¥ *
 nk
 8) lim qn nếu q 1 9) lim nk , k ¥ *
  Định lí về giới hạn
 • Nếu hai dãy số un và vn cùng có giới hạn thì ta có:
 1) lim(un vn ) limun limvn 2) lim un .vn limun .limvn 
 un limun
 3) lim (Nếu limvn 0 ) 4) lim k.un k.limun , (k ¡ ) 
 vn limvn
 2k 2k
 5) lim | un | | limun | 6) lim un limun (nếu un 0 ) (căn bậc chẵn)
 2k 1 2k 1
 7) lim un limun (căn bậc lẻ) 8) Nếu un vn và limvn 0 thì limun 0 .
 - Định lí kẹp về giới hạn của dãy số: Cho ba dãy số un , vn , wn và L ¡ . Nếu un vn wn , 
 n ¥ * và limun lim wn L thì vn có giới hạn và limvn L .
 un
 • Nếu limun a và limvn thì lim 0 . 
 vn
 1) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.
 2) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
 n
 1 
  Chú ý: e lim 1+ 2,718281828459..., là một số vô tỉ.
 n 
  Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
 • Một cấp số nhân có công bội q với | q | 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. 
 u
 Ta có : S u u q u q2  1 (với | q | 1)
 1 1 1 1 q
 B - GIỚI HẠN VÔ CỰC
  Định nghĩa
 • lim un un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi.
 n 
 • lim un un có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi.
 n 
 • lim un lim un 
 n n 
  Lưu ý: Ta có thể viết gọn: limun . 
 1
  Định lí Neáu lim un = + thì lim = 0
 un
 1
 Nếu limun 0, un 0,n ¥ lim 
 un
  Một vài qui tắc tìm giới hạn
 Qui tắc 1: Qui tắc 2: Qui tắc 3: 
 Nếu limun Nếu limun Nếu limun L , 
 và limvn , và limvn L 0 , limvn 0 và vn 0 hoặc 
 1 Tài liệu tự học lần 1. Lớp 11 Giáo viên : Phạm Thị Thanh Huyền
 A B2 A B3
 A B =  3 A B =
 A B 3 A2 B.3 A B2
 A B A B3
  A B =  3 A B =
 A B 3 A2 B.3 A B2
 A B2 A B
  A B =  3 A 3 B =
 A B 3 A2 3 A.B 3 B2
 A B A B
  A B =  3 A 3 B =
 A B 3 A2 3 A.B 3 B2
 • Đặc biệt, đôi khi ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xác định các giới hạn mới có cùng dạng vô định, 
 chẳng hạn:
 3 n3 2 n2 1 3 n3 2 n n n2 1 ;
 n2 n 3 2 n3 n2 n n n 3 2 n3 
 • Đối với các biểu thức khá, biểu thức hỗn hợp thì xem xét đặt thừa số chung của mũ có cơ số lớn nhất, 
 lũy thừa của n lớn nhất.
 B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.5 Tính các giới hạn sau:
a) lim n2 14n 7 b) lim 2n2 3n 19 c) lim 2n2 n 1 d) lim 3 8n3 n2 n 3
VD 1.6 Tính các giới hạn sau:
 a) lim n2 n 1 n b) lim n 1 n n c) lim 3 n3 n2 3 n3 1 
VD 1.7 các giới hạn sau:
 a) lim n n 2 n 1 b) lim 3 n2 7 2n c) lim 2.3n n 2
 1 2
 d) lim n2 n 2 n 1 e) lim f) lim
 n 2 n 1 3n 2 2n 1
 Dạng 4. Cấp số nhân lùi vô hạn
 A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Một cấp số nhân có công bội q với | q | 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. 
 u
 Ta có : S u + u q u q2 + 1 , với | q | 1.
 1 1 1 1 q
 B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.8 Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: 0,444; 0,212121
 5 39
VD 1.9 Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là , tổng ba số hạng đầu tiên của nó là . Tìm số hạng đầu và công bội 
 3 25
của cấp số đó.
VD 1.10 Cho q 1 . Tính tổng vô hạn sau:
 a) A 1 2q 3p2 ... nqn 1 ... b) B 1 4q 9 p2 ... n2qn 1 ...
 BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 1
1.1 Tìm các giới hạn sau:
 1) lim( 2n3 3n 5) 2) lim 3n4 5n3 7n 3) lim(3n3 7n 11) 
 4) lim 2n4 n2 n 2 5) lim 3 1 2n n3 6) lim( n3 3n 2) 
1.2 Tìm các giới hạn sau:
 4n2 n 1 2n 3n3 1 3n3 5n 1
 1) lim 2) lim 3) lim
 3 2n2 n3 n2 n2 4
 3 Tài liệu tự học lần 1. Lớp 11 Giáo viên : Phạm Thị Thanh Huyền
1.8 Tìm phân số phát sinh ra số thập phân vô hạn tuần hoàn sau:
 1) 34, 12  2) 0, 25  3) 3, 123  4) 2,131131 
1.9 Cho hai dãy số un và vn . Chứng minh rằng nếu limvn 0 và | un | vn với mọi n thì limun 0 . Áp dụng 
 tính giới hạn của các dãy số sau:
 1 ( 1)n 2 n( 1)n
 1) u 2) u 3) u 
 n n! n 2n 1 n 1 2n2
 n n
 4) un (0,99) cos n 5) un 5 cos n 
 5 Tài liệu tự học lần 1. Lớp 11 Giáo viên : Phạm Thị Thanh Huyền
TN1.14 lim 3n4 4n2 n 1 có giá trị bằng
 A. .B. .C. 3 .D. 7 .
 9n2 n n 2
TN1.15 lim có giá trị bằng
 3n 2
 A. 1.B. 3 .C. 0 .D. .
TN1.16 lim n2 4 n2 1 có giá trị bằng
 A. 3 .B. 1. C. 0 .D. .
TN1.17 lim n2 2n 1 2n2 n có giá trị bằng
 A. 1 2 .B. .C. 1.D. .
TN1.18 lim n2 2n 3 n có giá trị bằng
 A. 1. B. 0 .C. . D. 1.
TN1.19 lim 2n2 n 1 2n2 3n 2 có giá trị bằng
 1
 A. . B. 0 .C. . D. .
 2
 1 1 
TN1.20 lim có giá trị bằng
 n 1 n 2 
 1
 A. 1.B. 0 .C. . D. .
 2
TN1.21 lim n n 2 n 3 có giá trị bằng
 A. 1. B. 0 .C. 1. D. .
 3
TN1.22 Nếu limun L thì lim un 8 có giá trị bằng
 A. L 2 .B. 3 L 8 .C. 3 L 2 .D. L 8 .
 1
TN1.23 Nếu limun L thì lim có giá trị bằng
 un 9
 1 1 1 1
 A. .B. .C. . D. .
 L 3 L 9 L 3 L 9
 3 n 1
TN1.24 lim có giá trị bằng
 3 n 8
 1 1
 A. 1.B. .C. .D. .
 2 8
 3 8n3 2n2 1
TN1.25 lim có giá trị bằng
 2n2 1
 A. 2 .B. 2 .C. 1.D. .
 3n ( 1)n cos3n 
TN1.26 lim có giá trị bằng
 n 1 
 3
 A. .B. 3 .C. 5 . D. 1.
 2
 n
TN1.27 lim 3n 5 có giá trị bằng
 A. 3 . B. .C. . D. 5 .
 7 Tài liệu tự học lần 1. Lớp 11 Giáo viên : Phạm Thị Thanh Huyền
 1 1 1
TN1.41 Tổng S ... ... có giá trị bằng
 5 52 5n
 1 1 2 5
 A. .B. .C. . D. . 
 5 4 5 4
 n 1
 1 1 1 1 
TN1.42 Tổng S +...+ n ... là
 2 4 8 2
 1 3 2
 A. 1. B. . C. . D. 
 3 4 3
 1 3 5 ... (2n 1)
TN1.43 lim có giá trị bằng
 5n2 4
 1 1
 A. 0 . B. .C. .D. .
 4 5
 1 2 3 ... n
TN1.44 lim có giá trị bằng
 n2 2
 1
 A. 1.B. .C. 0 .D. .
 2
 1 1 1 
TN1.45 lim ... có giá trị bằng
 1.2 2.3 n n 1 
 1
 A. .B. 1. C. 0 .D. .
 2
 n 2 cos 2n 
TN1.46 Kết quả đúng của lim 5 là:
 2 
 n 1 
 1
 A. 4. B. 5. C. –4. D. .
 4
 2 5n 2
TN1.47 Kết quả đúng của lim là:
 3n 2.5n
 5 5 25
 A. –. B. 1. C. . D. –.
 2 2 2
 n 2 2n 1
TN1.48 Kết quả đúng của lim là
 3n 4 2
 3 2 1 1
 A. –. B. –. C. –. D. .
 3 3 2 2
 3n n 4
TN1.49 Giới hạn dãy số u với un = là: 
 n 4n 5
 3
 A. – . B. + . C. . D. 0.
 4
 3n 4.2n 1 3
TN1.50 lim bằng :
 3.2n 4n
 A. + . B. – . C. 0. D. 1.
 n3 2n 5
TN1.51 Chọn kết quả đúng của lim :
 3 5n
 2
 A. 5. B. . C. – . D. + .
 5
TN1.52 Giá trị đúng của lim n 2 1 3n 2 2 là:
 A. + . B. – . C. –2. D. 0. 
TN1.53 Giá trị đúng của lim 3n 5n là:
 A. – . B. C. 2. D. –2.
 9 Tài liệu tự học lần 1. Lớp 11 Giáo viên : Phạm Thị Thanh Huyền
 1 1 1 
TN1.67 Tính giới hạn: lim
 1 2 1 2 ..... 1 2 
 2 3 n 
 1 1 3
 A. 1. B. . C. . D. .
 2 4 2
 n 2 1 1
TN1.68 Chọn kết quả đúng của lim3 .
 3 n 2 2n
 1
 A. 4. B. 3. C. 2. D. .
 2
 27 81
TN1.69 Tổng vô hạn 12 9  bằng:
 4 16
 48 39 75
 A. B. C. D. Không tồn tại
 7 4 16
TN1.70 Biểu diễn số thập phân 1,245454545 như một phân số:
 249 137 27 69
 A. B. C. D.
 200 110 22 55
 11 Tài liệu tự học lần 1. Lớp 11 Giáo viên : Phạm Thị Thanh Huyền
 f(x)
 • Quy tắc tìm giới hạn của tích f x .g x • Quy tắc tìm giới hạn của thương 
 g(x)
 lim f (x) lim g(x) lim f (x).g(x) Dấu f (x)
 x x x x lim f (x) lim g(x) lim
 0 0 x x0 x x x x
 0 0 của
 x x x x x x x x0 g(x)
 0 0 0 x x x x
 x x 0 0 x x 
 x x x g x 0
 x 
 + + 
 L > 0 L Tùy ý 0
 + + 
 L > 0 0
 + 
 L < 0 + 
 L < 0 0
 + + 
 Dạng 1. Định nghĩa giới hạn
 A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 • Định nghĩa và các tính chất (Xem trong phần tóm tắt lí thuyết)
 • Chú ý:
 1) Theo định nghĩa thì giới hạn hàm số f x trên cơ sở giới hạn các dãy f xn . Nếu có 2 dãy xn 
 và xn cùng tiến đến x0 mà lim f (xn ) lim f (xn ) thì không tồn tại lim f (x)
 x x0
 1
 2) Với mọi số nguyên dương k , ta có: lim xk ; lim x2k , lim x2k 1 , lim 0
 x x x x xk
 3) Xác định dấu hoặc – dựa trên dấu của tích số, thương số, x x0 , x x0 , x 
 B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.11 Dùng định nghĩa, tính các giới hạn sau:
 x2 3x 4 1
 a) . lim(3x2 x 1) . b) lim 3 x 6 c) lim d) lim
 x 4 x 1 x 1 x 1 x 2 5 x
 2 5
 e) lim x cos f) lim 2 g) lim sin x h) lim cos 2x
 x 0 x x 2 (x 2) x x 
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
 13 Tài liệu tự học lần 1. Lớp 11 Giáo viên : Phạm Thị Thanh Huyền
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
 x 2 x 4 x2
VD 1.16 Tính các giới hạn sau: a) lim b) lim
 x 0 x x x 2 2 x
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
 x2 2x 3 khi x 2
VD 1.17 Cho hàm số: f (x) . Tính lim f (x) , lim f (x) và lim f (x) (nếu có)
 3 
 4x 29 khi x 2 x 2 x 2 x 0
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
 2 x 1 khi x 1
VD 1.18 Cho f (x) . Tính lim f (x) , lim f (x) và lim f (x) (nếu có)
 2 x 1
 2x 1 khi x 1 x ( 1) x ( 1)
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
 2
 4x 5x khi x 2
VD 1.19 Cho . f (x) .. Tìm a để hàm số có giới hạn khi x 2.
 x 7 4a khi x 2
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
 Dạng 3. Khử dạng vô định 
 A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 1. Phương pháp chung:
 15 Tài liệu tự học lần 1. Lớp 11 Giáo viên : Phạm Thị Thanh Huyền
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
VD 1.21 Tính các giới hạn sau:
 x2 x 2x 2x2 7x 1 x2 2x
 a) lim b) lim c) lim 3
 x 2x 3 x 3 x 7 x 8x2 x 5
 x x 5 x4 x x6 8x
 d) lim e) lim f) lim
 x x2 x 2 x 1 3x x x4 2x2 2
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
 17 Tài liệu tự học lần 1. Lớp 11 Giáo viên : Phạm Thị Thanh Huyền
VD 1.23 Tính các giới hạn sau:
 3 x 2 4 x x3 1 1
 a) lim b) lim c) lim
 x 9 9 x x 0 x x 0 x2 x
 2x x2 1 8 2x 2 1 x x 1
 d) lim 2 e) lim f) lim
 x 1 x x x ( 2) x 2 x 1 x2 x3
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
VD 1.24 Tính các giới hạn sau:
 3 3x 8 2 3 2x 1 3 x x 2 2x
 a) lim b) lim c) lim
 x 0 5x x 1 x 1 x 2 x 1 3 x
 4 x2 2 x 1 2x 1 x2 3x 1 x 2 x2 x 1
 d) lim e) lim f) lim
 x 1 x 1 x 1 x2 1 x 1 x2 4x 3
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
 19