Sáng kiến kinh nghiệm Vật lí - Phương pháp giải bằng cách chia nhỏ vật thành các đoạn vi phân

 I – ĐẶT VẤN ĐỀ
 1.1. Lý do chọn đề tài
 Khi làm các bài tập vật lý chúng ta sẽ gặp một kiểu bài toán khó không có 
công thức tường minh. Nếu dùng các công thức cơ bản quen thuộc thì không thể 
giải được. Ví dụ như bài toán tính công của lực ma sát khi vật chuyển động trên 
cung tròn. Bài toán tính lực từ tác dụng lên một đoạn dây không thẳng mang 
dòng điện đặt trong từ trường, bài toán tính điện trường do nửa vòng tròn mang 
dòng điện gây ra tại tâm vòng tròn đó
 Muốn giải đầy đủ, dứt điểm bài toán thì chúng ta cần tới phương pháp 
tính tích phân, mà ở lớp 10, lớp 11 học sinh chưa có công cụ tích phân để giải 
do đó khi gặp dạng bài tập này học sinh thường lúng túng thậm chí mơ hồ, 
không biết hướng giải quyết tìm ra đáp số.
 Để giải quyết được những khó khăn trên tôi nêu ra phương pháp giải 
bằng cách chia nhỏ vật thành các đoạn vi phân, từ đó áp dụng các công thức 
quen thuộc đã học. Sau đó tính tổng của các đoạn chia nhỏ ta sẽ được kết quả 
cuối cùng của bài toán.
 1.2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
 Đối tượng nghiên cứu là các bài tập vật lý không rời rạc với phạm vi các 
bài tập cơ, nhiệt, điện không có công thức tường minh vì các đại lượng vật lý 
trên biến thiên một cách liên tục.
 1.3. Giả thiết khoa học của đề tài:
 Khi tính các đại lượng vật lý bằng tổng các đại lượng vật lý khác phân bố 
một cách rời rạc. Nếu là đại lượng véc tơ thì ta dùng biểu thức cộng véc tơ 
A A1 A2 ... An . Nếu là biểu thức đại số ta dùng cách tính tổng đại số 
A=A1+A2++ An. Giả thiết nếu các đại lượng trên biến thiên một cách liên tục 
thì ta có thể chia nhỏ chúng tạo thành các đại lượng Ai rời rạc sau đó tính tổng 
được không? Giải quyết được vấn đề này thì chúng ta sẽ hoàn thiện được một 
phương pháp mới trong giải toán Vật lý.
 Phương pháp giải bằng cách chia nhỏ vật thành các đoạn vi phân giúp học 
sinh có kỹ năng giải bài tập vật lý một cách hoàn thiện. Sau khi truyền đạt cho 
học sinh kiến thức trong đề tài tôi thấy học sinh có cách nhìn tổng quát, hiểu sâu 
vấn đề đang nghiên cứu và tự tin giải bài tập.
 1 b
Đại lượng A được tính bằng phép tích phân A = f (x)dx
 a
 b. Tình hình thực tiễn và thực trạng của vấn đề
 Khi giải bài tập vật lý đa số học sinh dùng công thức tường minh đã biết 
trong SGK, trong quá trình giảng dạy tôi đã cho học sinh làm hai ví dụ sau 
 Ví dụ 1: Tính cường độ điện trường do hai điện tích điểm tích điện dương 
q1= q2=q đặt tại hai điểm A và B trong chân không cách nhau một đoạn a gây ra 
tại một điểm M nằm trên đường trung trực của AB cách AB một đoạn h.
 Với bài toán này học sinh dùng công thức tính cường độ điện trường E = 
kq
 từ đó tính được các thành phần điện trường do E1, E2 ,sau đó dùng công thức 
r 2
tổng véc tơ E E1 E2 tìm được điện trường do 2 điện tích đó gây ra tại M. Đa 
số học sinh làm được bài tập này nhưng khi đến ví dụ 2:
 Ví dụ 2: Yêu cầu học sinh tính cường độ điện trường do một vòng dây 
tích điện đều gây ra tại một điểm M trên trục đi qua tâm và vuông góc với mặt 
phẳng chứa vòng tròn thì đa số học sinh không hình dung ra cách giải .
 Quá trình kiểm tra lớp 11A 1 và 11A2 về hai bài trên ta thu được bảng số 
liệu 
 Số học sinh giải Số học sinh giải Số học sinh chưa 
 Số 
 Lớp đúng sai có cách giải
 lượng
 Câu1 Câu2 Câu1 Câu2 Câu1 Câu2
Lớp 11A1 45 33/45 1/45 7/45 4/45 5/45 40/45
Lớp 11A2 46 32/46 0/46 9/45 3/46 5/45 43/46
 Với tình trạng trên buộc giáo viên phải hướng dẫn đưa ra cách giải quyết 
bài bài tâp ví dụ hai bằng cách chia vòng tròn thành các đoạn vi phân. Khi đã 
được truyền thụ kiến thức này thì đa số học sinh hiểu và làm bài tốt vì vậy 
phương pháp chia đại lượng vật lý thành các đoạn vi phân giúp học sinh có tư 
duy sáng tạo, rèn luyện kỹ năng giải bài tập rất cần thiết cho việc dạy học sinh 
khá giỏi. 
 3 Trên đoạn đường BC ta chia thành các đoạn S rất nhỏ ta có: Scos = Z 
Công của trọng lực trên đoạn S là:
 A = p Scos = p. Z . Công của trọng lực trên đoạn BC
 ABC =  A P  Z P.(Z B ZC ) ABC = mg( Z B ZC )
 Một cách tính hoàn toàn tương tự để tìm công thức đường đi trong 
chuyển động thẳng biến đổi đều.
 Câu 2: Cho chuyển động thẳng biến đổi đều theo công thức vận tốc: 
v=v0+at. Xác định quảng đường vật đi được trong thời gian t
 Giải: 
Theo bài ra ta có đồ thị vận tốc thời gian:
 Xét một khoảng thời gian t rất bé 
 C
ta coi như trong thời gian đó vận tốc v
không thay đổi v = vB. Quảng đường vật 
 vB
đi trong thời gian t là s = vB . t. bằng 
điện tích phần gạch chéo trong hình vẽ. 
Tổng quảng đường vật đi được trong thời 
 v
gian t là: o
S =  S diện tích hình thang OV0CT.
 O t t
 2 2
 v0 v v0 v0 at at at
 S = t = .t = v 0 t + ;S = v 0 t + 
 2 2 2 2
 là công thức tính đường đi của vật cần tìm.
 Với phương pháp trên SGK Vật lý nâng cao 10 đưa ra cách tìm thế năng 
đàn hồi khi vật chịu tác dụng của lực đàn hồi (F = -kx), xét câu 3 như sau:
 Câu 3: Xét một con lắc lò xo gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m gắn ở 
đầu một lò xo nằm ngang, đầu kia được giữ cố định. Xác định công do lực đàn 
hồi thực hiện khi đầu lò xo di chuyển tại vị trí x1 đến vị trí x2 . Từ đó xây dựng 
công thức tính thế năng đàn hồi. 
 5 Giải:
 R
 h
 O
 Chia vòng tròn thành các đoạn S vô cùng nhỏ
 Xét hai phần tử S đối xứng nhau qua tâm O của vòng tròn:
 M G M.m
 Khối lượng mỗi phần tử đó là: M = l , F = F = F
 l 1 h2 h2 2
 Các thành phần lực vuông góc Ox triệt trên lẫn nhau còn lại các thành 
phần lực trên phương Ox
 h G Mm h G Mmh
 x
 F x = F.cos = F. , F = 2 2 . = Tổng hợp 
 R R h R 2 h2 (R 2 h2 )3
lực tác dụng lên điểm có khối lượng m
 l
 x GMmh  GMmh
F =  Fx = . = 
 (R 2 h2 )3 L (R 2 h2 )3
 Nếu xét vòng tròn trên tích điện ta lại có bài toán tính cường độ điện 
trường trên trục tại điểm M đi qua tâm vòng tròn và vuông góc với vòng tròn đó 
như sau:
 Câu 5: Cho vòng tròn tích điện đều (Q>0) tính cường độ điện trường do 
vòng tròn đó gây ra tại một điểm M trên trục đi qua tâm vòng tròn vuông góc 
với mặt phẳng chứa vòng tròn, M cách tâm vòng tròn một đoạn h
 Giải:
 Xét hai phần tử sợi dây l 1 và l 2 đối xứng với nhau qua tâm O . Điện 
tích mỗi phần tử:
 7 Giải:
 '
 Chọn hai phần tử vô cùng bé l 1 và l 2 đối xứng với nhau qua Ox các 
vectơ cường độ điện trường do hai phần tử này gây ra tại O được minh họa như 
hình vẽ.
 Các thành phần điện trường theo phương vuông góc với Ox triệt tiêu lẫn 
nhau còn lại các thành phần điện trường theo phương Ox 
 E = E = K Q với Q = Q S ; E = E = E = K Q cos
 1 2 R 2 L 1x 2x x R 2
 KQ KQ KQ.2R KQ.2R 2KQ
 E = E = S cos = h E = = = 
  x LR 2  LR 2  LR 2 R.R 2 R 2
 Đáp số: E = 2KQ
 R 2
 * với cánh giải tương tự như câu 6 ta tính được lực hấp dẫn do nửa vòng 
tròn tác dụng lên một vật đặt tại tâm vòng tròn đó
 Câu 7: Cho nửa vòng tròn khối lượng m phân bố đều bán kính R. Tìm 
lực hấp dẫn cho nửa vòng tròn trên tác dụng vào vật khối lượng m đặt tại tâm vòng 
tròn
 Giải:
 Chia nhỏ nửa vòng tròn thành các đoạn 
 l vô cùng bé
 Chọn hai phần tử vô cùng bé l 1 , l 2 
đối xứng với nhau qua trục Ox
 m = m = m = m l , F = F = F = G.m. m = GMm. l
 1 2 L 1 2 R 2 LR 2
 9 Giải
 Theo bài ra ta vẽ hình dạng sợi dây:
 -2 -1 O 1 2
 Xét hai đoạn dây l1 và l2 vô cùng x
bé nằm đối xứng nhau qua Oy
 F = F1 = F2 = BI l các thành phần 
theo phương Ox triệt tiêu lẫn nhau. Chỉ có 
thành phần theo phương Oy độ lớn lực từ 
 Fx = F1 cos = BI lcos = BI x 
 F =  Fx = BI.4
 Đáp số: F = 4BI
 2.6. Bài toán tính công của lực ma sát trên cung tròn
 Để xác định công của lực ma sát tác dụng lên vật chuyển động trên một 
cung tròn ta xét các đoạn s rất bé sau đó áp dụng biểu thức tính công 
 A=F Scos từ đó tính tổng công của lực trên cả đoạn đường ta được kết quả 
cần tìm.
 Câu 10: Một vật nhỏ khối lượng m=50g được kéo trượt thật chậm trên 
đoạn đường là ¼ vòng tròn. Bán kính R = 1m. Hệ số ma sát  =0,1 (hình vẽ) lực 
tác dụng hướng tiếp tuyến với quỹ đạo. Tính công của lực ma sát
 (Sách giải toán Vật lý 10 – tác giả Bùi Quang Hân)
 Giải
 Để tính công của lực ma sát ta xét một đoạn đường 
 S rất bé, phân tích các lực tác dụng lên vật chuyển động 
trên đoạn đường đó (hình vẽ)
 Ta có: công của lực ma sát trên đoạn đường này là:
 A = Fms S = - N S; trong đó 
 N = mgcos 
 A = - mg Scos ; mà Scos = R => A = - mg R 
 11 Trên đoạn AB xét đi trên đoạn đường S rất nhỏ. Các lực tác dụng lên xe 
minh họa như hình vẽ.
    
 P + N + Fms + N = ma (1) : Chiếu (1) trên phương N ta có :
 mv2 mv2
 N - mgcos = ; N= mgcos + ; Ams = -Fms. S = - N S
 R R
 mv2
 Ams = - (mgcos . S +  . S ) Mà S.cos = x
 R
 2 2
 A ms ' mv R 0 mv 
 Ams =  = - mg. BB - . Ams = - mgR sin 30 
 R 6 6
 mg.R mv2 
 Ams = - ( )
 2 6
 Tính công của lực kéo theo định luật bảo toàn năng lượng
 0
 Ađộng cơ = mgR(1 – cos30 ) – Ams = 320567,2 (J)
 Xét chuyển động của ô tô trên cung BC
  ' '
 P + N + Fms + F = ma (2)
 
 Chiếu (2) xuống hướng ngược hướng N '
 2 2 2
 ' ' mv ’ ’ v ’ v
 mgcos - N = N = m(g.cos - ) Fms = m(g.cos - )
 R R R
 Xét khi ô tô đi đoạn rất nhỏ S
 2
 ’ v
 Ams = - Fms. S = -m.(g S.cos - . S)
 R
 2 0 2 
 AmsBC = -m(g.BC’ - v ) = -m(gRsin30 - v )
 6 6
 Theo định luật bảo toàn năng lượng:
 0 0
 AF = 2mgR(1-cos30 ) + 2mgsin30 635898,4 (J)
 Đáp số: Ađộng cơ AB = 320567,2 (J); Ađộng cơ ABC = 635898,4 (J)
 13 2 2
 F= m v . Trong đó m là khối lượng chất lỏng trong đoạn ống R , v là gia 
 R R
tốc hướng tâm làm m lượn quanh đoạn ống. 
 2 2 2
 m = d R ,F = m v = d v 2 Trong đó là khối lượng 
 4 R 4
 F 1 2 2
riêng của nước,Ta có F = Fht = 2Tsin T ; T = = d v
 2 4
 Câu 13: Trong một ống rỗng được uốn thành dạng nhẫn người ta cho 
nước chảy với vận tốc v. Cho biết bán kính nhẫn là R và đường kính của ống là 
d. Hãy xác định lực căng của ống
 Tìm sức căng của ống tròn khi nước trong nó chảy với vận tốc v
 Giải:
 Xét một đoạn ống nhỏ, do khối lượng nước trong ống chuyển động tròn 
 mv2
nên nó chịu một lực hướng tâm Fht = Lực hướng tâm này có nguyên nhân 
 R
là sự ép của ống lên mức theo định luật III Niu tơn khối lượng nước tác dụng 
 mv2
lên ống một lực là N = Fht = . 
 R
N = 2Tsin , : là góc ở tâm chắn cung
 2
 T1 T2
 N mv2 mv 2 mv 2
T = T = = = Mv 2
 2sin 2R sin R S
 2 2
M là khối lượng nước trên một đơn vị dài của ống.
 Đáp số: T = Mv 2
 Câu 14: Một vòng dây cao su có chu vi là l0 , 
khối lượng m. Hệ số đàn hồi k của vòng dây không 
đổi theo độ giãn, vòng dây được đặt nằm ngang trên 
 T1 T2
một đĩa trục thẳng đứng đi qua tâm vòng dây. Khi 
chuyển động ổn định vòng dây và đĩa cùng quay đến 
quanh trục với cùng vận tốc góc . Tìm bán kính của 
vòng dây theo l0,k, m và 
 15 Độ lớn công của lực ma sát khi thanh dịch chuyển một đoạn x vô cùng bé là
 A  gx x
 1
 Độ lớn công của lực ma sát tác dụng bằng hoặc A  gx2 khi thanh vừa 
 2
 1 1
nằm trọn trong miền có ma sát thì: A =  gx 2  gl 2
 2 2
 Để thanh nằm trọn trong miền có ma sát là:
 2
 E A mv 1 2
 đ m  gl V gl
 2 2
 b/ Thời gian chuyển động của thanh:
  g 2
 Áp dụng định luật II Niutơn a = x a  x
 m
  g T m L
  ; t 
 m 4 2 2  g 2 g
 L
 Đáp số: a/ V gl ; b/ t = 
 2 g
 Câu 16: Cho đồ thị vận tốc thời gian của một vật chuyển động như hình vẽ
 v (m/s)
 20
 5
 S2 S3
 O 2 4 8 t (s)
Tính quảng đường vật đi được
 Giải:
 Bằng cách chia nhỏ thời gian như trên ta thấy quảng đường vật đi được 
bằng tổng diện tích s 1, s2, s3 (hình vẽ) dễ dàng tính được quảng đường vật đi 
được 
 5 20 20.4
 S= s1 + s2 + s3 = 5.2 + .2 75m
 2 2
 Đáp số: S = 75m
 Xét bài toán tương tự như sau:
 17 2.9. Một vài ví dụ giải bài tập bằng cách chia các đoạn vi phân và ứng 
dụng tích phân tính tổng các đại lượng vật lý:
 Khi bài toán phức tạp hơn thì chúng ta phải chia nhỏ thành các đoạn vi 
phân và dùng phương pháp tính tích phân để tính. Xét hàm số f(x) ta có: df(x) = 
f’(x)dx
 f (x) = df (x) f '(x)dx
Sau đây là một vài ví dụ cơ bản về cách dùng tích phân để tính các đại lượng vật 
lý.
 Câu19: Cho dòng điện xoay chiều i= Iocost ( A). tìm điện lượng q 
chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn trong thời gian T tính từ thời điểm ban đầu.
 4
 (Đề thi thử ĐH vinh)
 GIẢI:
 Xét thời gian t rất bé ta có: q i t hay dq=idt điện lượng q chuyển 
qua tiết diện thẳng của dây dẫn trong thời gian T : 
 4
 T T T
 4 4 4 T
 2 T 2 4 T
 q= dq idt q= I0cos( t )dt=I0 sin( t ) = I0.
 0
 0 0 0 T 2 T 2 
 T
 Đáp số: q = I0.
 2 
 Câu 20: Xét khối khí có khối lượng xác định, biến đổi đẳng nhiệt từ trạng 
thái có thể tích v1 áp suất p1 sang trạng thái có thể tích v2, áp suất p2. Tìm công 
thức tính công do khối khí thực hiện trong quá trình trên.
 Giải:
 nR
 Từ phương trình trạng thái của khí lý tưởng: PV = nRT P = T 
 V
 nR
 Xét vi phân thể tích dv ta có dA = Pdv = T .dv Công của khối khí 
 V
thực hiện trong quá trình trên
 v
 v2 v2 dv 2
 A = dA pdv nRT nRT.lnv = nRT(lnv2 – lnv1)
 v v1 
 1 V v1
 19 tài ngày một hoàn thiện hơn ,thực sự là một phương pháp giải toán bổ ích cho 
môn Vật lý.
 *KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT
 Nếu đề tài được công nhận ở ngành tôi đề nghị phổ biến rộng rãi đề tài 
tạo thành một tài liệu tham khảo bồi dưỡng học sinh khá và giỏi đặc biệt bồi 
dưỡng đội tuyển học sinh giỏi đi dự thi học sinh giỏi các cấp.
 Đề xuất nội dung tiếp tục nghiên cứu: Tìm thêm các dạng bài tập ở các 
phần cơ, nhiệt, điện, quang cùng dạng; tiếp tục nghiên cứu phương pháp tích 
phân trong xây dựng kiến thức Vật lý.
 Tôi xin chân thành cảm ơn/. 
 IV – TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK nâng cao Vật lý 10
2. Sách giải toán Vật lý 10, 11 (tác giả Bùi Quang Hân)
3. Sách tuyển tập các đề thi Olympic Vật lý 30/4
4.Các đề thi học sinh giỏi các cấp, đề thi thử Đại học của các trường THPT
5. Các tài liệu liên quan khác
 21 23